經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)-可降階的二階微分方程

1、四、小結(jié)四、小結(jié) 思考題思考題第四節(jié)第四節(jié) 可降階的二階微分方程可降階的二階微分方程型型的的微微分分方方程程二二、),(yxfy ),(yyfy 三、三、 型的微分方程型的微分方程),(yyfy ( )yf x 一一、型型的的微微分分方方程程解法：解法：特點(diǎn)：特點(diǎn)：.x等等式式右右端端僅僅含含有有自自變變量量視為新的未知函數(shù)，將 y可得通解可得通解.)(xfy 一、一、 型型211)(.)(CdxCdxxfyCdxxfy+ 同理可得則1例例.3sin2的的通通解解求求微微分分方方程程xeyx 解解次次，得得對對所所給給方方程程連連續(xù)續(xù)積積分分兩兩2113cos23xxyeC +21219sin

2、43xxyeC xC+例例2解解代入題設(shè)方程代入題設(shè)方程, , 得得解線性方程解線性方程, ,即即兩端積分兩端積分, , 得得求方程求方程的通解的通解. .0)3()4( yxy設(shè)設(shè)),(xPy ),0(0 PPPx得得xCP1 (為任意常數(shù)為任意常數(shù)), ,1C,1xCy ,21221CxCy+ + ,63231CxCxCy+ + + 再積分再積分, , 得到所求題設(shè)方程的通解為得到所求題設(shè)方程的通解為例例2解解求方程求方程的通解的通解. .0)3()4( yxy,224432241CxCxCxCy+ + + + 再積分再積分, ,進(jìn)一步通解可改進(jìn)一步通解可改寫為寫為其中其中為任意常數(shù)為任意

3、常數(shù). .)4 , 3 , 2 , 1( iCi.432241dxdxdxdy+ + + + 其中其中為任意常數(shù)為任意常數(shù). .)4 , 3 , 2 , 1( idi得到所求題設(shè)方程的通解為得到所求題設(shè)方程的通解為py 設(shè)設(shè)d,dpypx特點(diǎn)：特點(diǎn)：. y 右右端端不不顯顯含含未未知知函函數(shù)數(shù)解法：解法：. ），（方程變?yōu)榉匠套優(yōu)閜xfp ),(yxfy 二、二、 型型關(guān)于關(guān)于x, p的一的一階微分方程階微分方程，設(shè)其通解為，設(shè)其通解為),(1Cxp 即即 關(guān)于關(guān)于y, x一階微分方程一階微分方程1d( ,)dypx Cx 故方程的故方程的 通解為：通解為：12( ,)dyx CxC + 例例

4、3 求微分方程求微分方程 yxyx + +212)(滿足初滿足初始條件始條件3 100 xxyy,的特解的特解.)( )1()1ln(ln .12 , 12122CeCxCypCxpdxxxpdppy + + + + + + + 即即兩端積分得兩端積分得可得可得代入方程并分離變量后代入方程并分離變量后設(shè)設(shè)解：解：. 13 3+ + + xxy所求特解為所求特解為 33 10 Cyx，得，得由條件由條件233Cxxy+ + + 積分得積分得 )1(3 2xy+ + 故故1120 Cyx得得又又由由條條件件三、三、 ),(yyfy 型型特點(diǎn)：特點(diǎn)：方程中不明顯地含有自變量方程中不明顯地含有自變量x

5、.解法：解法：)(ypy 設(shè)設(shè)ddd,ddpypypyxdy 方程化為方程化為關(guān)于關(guān)于y , p 的一階微分方程的一階微分方程d( , )dppf y py 設(shè)它的通解為：設(shè)它的通解為：),(1Cypy 分離變量并積分，可得原方程的通解為：分離變量并積分，可得原方程的通解為：21d.( ,)yxCy C + 則則一階微分方程一階微分方程.02的通解的通解求方程求方程 yyy解一解一),(ypy 設(shè)設(shè)代入原方程得代入原方程得 2d0,dpy ppyd()0,dpp ypy即即d0dpypy由，由，1,pC y 可可得得.12xCeCy 所以原方程的通解為所以原方程的通解為1ddyC yx 即，即

6、，例例 4d,dpypy 則則解二解二,12y兩端同乘不為零因子兩端同乘不為零因子22d()0,dyyyyyxy ,1yCy 故故從而通解為從而通解為.12xCeCy 解三解三原方程變?yōu)樵匠套優(yōu)?yyyy 兩邊積分兩邊積分,得得，1lnlnlnCyy+ + ，即即yCy1 原方程的通解為原方程的通解為.12xCeCy 例例5滿足初始條件滿足初始條件解解代入方程并化簡得代入方程并化簡得上式為可分離變量的一階微分方程上式為可分離變量的一階微分方程, , 解得解得再分離變量再分離變量, ,求微分方程求微分方程)(22yyyy , 1)0( y的特解的特解. .2)0( y令令, py 則則,dydppy ).1(2 pdydpy, 12+ + Cyyp得得,12dxCydy + +由初始條件由初始條件, 1)0( y從而得從而得定出定出2)0( y, 1 C再兩邊積分再兩邊積分, , 得得或或,12dxydy + +1arctanCxy+ + ),tan(1Cxy+ + 由由定出定出1)0( y,41arctan1 C從而所求特解為從