統(tǒng)計學(xué)課件第6章參數(shù)估計概述配套講義

1、2022-3-101第六章 參數(shù)估計概述第一節(jié) 總體參數(shù)估計概述第二節(jié) 總體平均數(shù)和比例的區(qū)間估計第三節(jié) 兩個總體平均數(shù)之差的區(qū)間估計第四節(jié) 兩個總體比例之差的區(qū)間估計第五節(jié) 樣本容量的確定第六節(jié) 總體方差和方差之比的區(qū)間估計第一節(jié) 總體參數(shù)估計概述2022-3-102第六章 參數(shù)估計概述一、點估計 （一）點估計的定義 點估計就是直接以樣本統(tǒng)計量作為相應(yīng)總體參數(shù)的估計量。在統(tǒng)計中經(jīng)常使用的點估計量就是我們熟悉的樣本均值（ ），樣本標(biāo)準(zhǔn)差（s）和（Bernoulli試驗的）樣本比例（p），人們用它們來分別估計總體的均值（ ）、總體標(biāo)準(zhǔn)差（ ）和總體比例（P），即有： 2022-3-103 3x2

2、221xP px xsn一、點估計 （二）點估計的評價標(biāo)準(zhǔn) 1.無偏性： ，即估計量的期望值等于欲估計的總體參數(shù)。 是總體方差的無偏估計。 2.有效性：假設(shè) 和 都是總體參數(shù) 的無偏估計量，如果 ，則說明估計量 比 更有效。 3.一致性：指隨著樣本容量不斷增大，樣本統(tǒng)計量接近總體參數(shù)的可能性就越來越大。即： 2022-3-104 4 E221()1ixxnslim1nP 122212( )( ) 12第二節(jié) 總體平均數(shù)和比例的區(qū)間估計2022-3-105第六章 參數(shù)估計概述一、區(qū)間估計的含義 所謂區(qū)間估計，就是給出總體參數(shù)的估計的區(qū)間范圍，同時給出總體參數(shù)在該范圍內(nèi)的保證程度，即概率值。用公式

3、表示：式中(01)是區(qū)間估計的顯著性水平，1-稱為置信度或置信水平。 因此，總體參數(shù)的估計區(qū)間也稱為置信區(qū)間，其中區(qū)間的最小值 稱為置信下限，最大值 稱為置信上限。特別地，上下限 、 都是由樣本來決定的，隨著樣本的變化而變化，所以， 、 都是統(tǒng)計量。 所以 確切表述是：置信區(qū)間 以1-的概率覆蓋欲估計的總體參數(shù) 。2022-3-106 612() 1P 12121212() 1P 12 , 二、總體平均數(shù)的區(qū)間估計 （一）正態(tài)總體、總體方差 已知 首先把 標(biāo)準(zhǔn)化，得到服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的Z統(tǒng)計量，即： 整理得到： 于是置信區(qū)間的上下限是： 總體均值的置信度為 的置信區(qū)間上下限公式如下：2022-

4、3-107 72/2/2(+) 1xxP xzx z x0,1xxzN圖圖6-1 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的概率密度函數(shù)及雙側(cè)臨界值標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的概率密度函數(shù)及雙側(cè)臨界值/2xxz1/2/2()()1xznNnxzNn重復(fù)抽樣時不重復(fù)抽樣時90% 樣本95% 樣本99% 樣本 X_ _nZXXZXX2.581.6451.6452.58XXXX1.961.96XX置信區(qū)間2022-3-108 8二、總體平均數(shù)的區(qū)間估計 【例6-2】在某飲料公司生產(chǎn)的10000罐飲料中，飲料包裝上標(biāo)注的每罐重量是500克?，F(xiàn)按不重復(fù)簡單隨機抽樣方法抽取50罐進(jìn)行檢查，測得平均每罐的重量為497克。已知該種罐裝飲料的重量服從正

5、態(tài)分布，且標(biāo)準(zhǔn)差為5克。試以95%的置信度估計該種飲料平均重量的置信區(qū)間。如果要求估計的誤差不超過2克，這時的置信度是多少？ 2022-3-109 9二、總體平均數(shù)的區(qū)間估計 解：(1)查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表或利用Excel的NORM.S.INV函數(shù)得到臨界值 。 置 信 度 為 9 5 % ， 即 1 - = 9 5 % ， 則 = 5 % ， 臨 界值 。已知 =497克，n=50， =5克。由于總體服從正態(tài)分布，不重復(fù)抽樣，所以置信區(qū)間上下限是： 因此，該種飲料置信度為95%的平均重量的置信區(qū)間為495.62498.38克。顯然，平均來說，罐上標(biāo)注的重量與實際情況不符。 (2)要求極限誤差等于

6、2克，即 =2克。由 ，有 2022-3-101010 x/20.0251.96zz/2510000504971.964971.38110000150NnNxzn/2222.840.7151000050110000 150NnNnz/2=xz二、總體平均數(shù)的區(qū)間估計 （二）正態(tài)總體、總體方差 未知 樣本均值經(jīng)過標(biāo)準(zhǔn)化后得到的隨機變量服從自由度為n-1的t分布，即： 總體均值置信區(qū)間為： 在大樣本場合（樣本容量大于30），t分布與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布非常接近， 值可以用 代替。2022-3-1011112/2,1/2,1()()1nnsxtnsNnxtNn重復(fù)抽樣時不重復(fù)抽樣時 (1)xtt nsn/2

7、,1nt/2z二、總體平均數(shù)的區(qū)間估計 t 分布與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布比較2022-3-1012120 0t (df = 5)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布 t (自由度df = 10)二、總體平均數(shù)的區(qū)間估計 【例6-3】某軟件公司開辦了一家服務(wù)中心，該服務(wù)中心的員工負(fù)責(zé)接聽顧客的咨詢電話，回答關(guān)于該公司開發(fā)的軟件包的各種問題，一個研究小組收集了一個包含24個電話的簡單隨機樣本，并基于樣本數(shù)據(jù)估計總體平均服務(wù)時間。假設(shè)該小組不知道服務(wù)時間的標(biāo)準(zhǔn)差。24個電話的樣本數(shù)據(jù)如下，假設(shè)總體服從正態(tài)分布。求置信度為95%的顧客咨詢時間的平均數(shù)的估計區(qū)間。 2022-3-10131311.511.03.46.312.46.20.

8、88.50.411.17.11.83.76.29.113.616.914.76.91.42.78.73.67.6表6-1 軟件公司的樣本服務(wù)時間二、總體平均數(shù)的區(qū)間估計 解：第1步 計算樣本的均值： 樣本標(biāo)準(zhǔn)差 ：抽樣平均誤差的近似值： 第2步 計算臨界值： 第3步 計算置信區(qū)間總體平均咨詢時間下限：總體平均咨詢時間上限：2022-3-101414220.304.5024iixxxsn（）（）/2,1/2,15.41=7.31 2.07 0.92=7.31 2.07 0.2929. 1nnsxtnsxtn/2, 10.05/2,24 12.07ntt7.3124iixxxn4.500.9224

9、sn總體分布總體分布樣本容量樣本容量已知已知未知未知正態(tài)分布正態(tài)分布大樣本（大樣本（n30）或或 小樣本（小樣本（n30）非正態(tài)分布非正態(tài)分布 大樣本（大樣本（n30） 二、總體平均數(shù)的區(qū)間估計 （三）非正態(tài)總體 此時只考慮大樣本情況。2022-3-101515/2x zn表6-2 不同情況總體均值的區(qū)間估計/2xzn/2xzn/2,1nsx tn/2xzn/2, 1nsx tn/2,1nsxzn三、總體比例的區(qū)間估計 只討論大樣本情況下的區(qū)間估計問題。 在實踐中，由于總體比例P常常未知，這時可以用樣本比例p來代替。 2022-3-101616/2/2()()111PPpznPPNnpznN重

10、復(fù)抽樣時不重復(fù)抽樣時三、總體比例的區(qū)間估計 【例6-4】在某一大城市對1200人隨機調(diào)查結(jié)果顯示，有823人支持限制小轎車的現(xiàn)有政策，假定該樣本為簡單隨機樣本，試計算全市支持該政策的人的比例的置信區(qū)間。(置信度是95%)。 解解：很容易計算出樣本中，支持現(xiàn)有政策的人的比例 置信度1-=95%，=5%，/2=2.5%。臨界值 。由于本例中全市人口未知，同時也可認(rèn)為全市人口數(shù)遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于樣本容量1200人，n很大，可以按照大樣本近似計算重復(fù)抽樣的區(qū)間估計計算公式來近似計算。因此，支持現(xiàn)有政策的人比例的區(qū)間估計是： 即支持現(xiàn)有政策的人比例的置信區(qū)間為65.95%，71.21%。2022-3-101717

11、82368.58%1200p /20.0251.96zz/20.6858 1 0.68580.6858 1.960.68580.02612001pppzn第三節(jié) 兩個總體平均數(shù)之差的區(qū)間估計2022-3-1018第六章 參數(shù)估計概述一、兩個總體服從正態(tài)分布，它們的方差已知 根據(jù)中心極限定理，樣本平均數(shù)之差的抽樣分布就逼近正態(tài)分布，其標(biāo)準(zhǔn)差為 所以計算 的置信水平為 的置信區(qū)間的公式為 2022-3-10191912221212x xnn112 一、兩個總體服從正態(tài)分布，它們的方差已知 【例6-5】某高校教務(wù)部門想了解兩個學(xué)院英語期末考試成績的平均差異，隨機地分別從兩個學(xué)院各抽取50名同學(xué)的成績

12、組成隨機樣本。樣本平均值如下：學(xué)院A：85分，學(xué)院B：79分。兩個總體均服從方差分別為 12和 8的正態(tài)分布。試構(gòu)造 的95%的置信區(qū)間。 解：由于兩個總體均服從正態(tài)分布，因此， 也服從正態(tài)分布，從而計算總體均值之差的置信區(qū)間為 已知 ,所以95%的置信區(qū)間為 即（2.00,10.00），這就意味著有95%的把握認(rèn)為總體均值之差在2.0010.00分之間。 2022-3-102020ABABxx222()ABABABxxznn1446414464(8579)1.96(8579)1.9650505050，0.0522=1.96zz二、兩個總體服從正態(tài)分布，方差未知但相等 此時樣本均值之差 標(biāo)準(zhǔn)差

13、為 ，其中統(tǒng)計量 服從自由度為 的t分布。置信度為 的兩個總體均值之差（ ）的置信區(qū)間為 或2022-3-10212112x x222121211pppsssnnnn 12121211pxxtsnn12(2)n n 112222112212(1)(2)2pnsnssnn2211221212122(1)(1)11()2nsnsxxtnnnn1221211()pxxtsnn二、兩個總體服從正態(tài)分布，方差未知但相等 【例6-6】某企業(yè)有兩臺生產(chǎn)設(shè)備。由設(shè)備A生產(chǎn)的零件中隨機抽取21件；由設(shè)備B生產(chǎn)的零件中隨機抽取28件。兩個來自不同生產(chǎn)設(shè)備的零件的平均內(nèi)徑及方差數(shù)據(jù)如下： cm， cm； ， 。假定

14、兩個總體近似服從正態(tài)分布，且總體方差相等。試構(gòu)造 的90%的置信區(qū)間。 解：根據(jù)總體方差相等的假設(shè)，可以算出共同方差 的一個估計值 ： 的置信區(qū)間為 自由度為21+28-2=47，可靠性為90%， ，代入上式得： 所以，兩臺設(shè)備所加工零件的平均內(nèi)徑差別在0.510.69cm之間，這種估計的可靠性為90%2022-3-102222220.025Ascm22=1.678t55.6Bx AB220.04Bscm2ps56.2Ax 211()ABpABxxt snn11(56.2 55.6) 1.67530.034=0.60.089321282222(21 1)0.025(281)0.040.0342

15、1282(1)(2)2AABpABnsnssnn三、兩個總體均服從正態(tài)分布，方差未知且不相等 當(dāng)兩個總體方差不相等時，兩個平均值之差經(jīng)標(biāo)準(zhǔn)化后的統(tǒng)計量 服從自由度為 的t分布。其中， 根據(jù)自由度 查t分布表可得置信區(qū)間為：2022-3-102323df 22211222222112212()()()11snsndfsnsnnn 1212221212()()xxtssnn df 221212122()pssxxt snn 【例例6-66-6】某企業(yè)有兩臺生產(chǎn)設(shè)備。由設(shè)備某企業(yè)有兩臺生產(chǎn)設(shè)備。由設(shè)備A A生產(chǎn)的零件中隨機抽取生產(chǎn)的零件中隨機抽取2121件；由設(shè)備件；由設(shè)備B B生產(chǎn)的零件中隨機抽取

16、生產(chǎn)的零件中隨機抽取2828件。兩個來自不同生產(chǎn)設(shè)備的零件。兩個來自不同生產(chǎn)設(shè)備的零件的平均內(nèi)徑及方差數(shù)據(jù)如下：件的平均內(nèi)徑及方差數(shù)據(jù)如下： cmcm， cmcm； ， 。假定兩個總體近似服從正態(tài)分布，且總體方差。假定兩個總體近似服從正態(tài)分布，且總體方差不相等。試構(gòu)造不相等。試構(gòu)造 的的90%90%的置信區(qū)間。的置信區(qū)間。 解：解：其其自由度為自由度為得到得到 ，代入公式得：代入公式得： 即置信區(qū)間為（即置信區(qū)間為（0.51,0.690.51,0.69）。）。三、兩個總體均服從正態(tài)分布，方差未知且不相等2022-3-10242411(56.255.6)0.034=0.60.0892212178

17、.67222(0.025 210.04 28)49(0.025 21)(0.04 28)2128df21.677=t220.025Ascm55.6Bx AB220.04Bscm56.2Ax 四、兩個總體均不服從正態(tài)分布且方差未知 對于不服從正態(tài)分布的兩個總體，考慮大樣本的情形。根據(jù)中心極限定理，如果兩個總體方差未知，就用 和 分別作為 和 的估計值，當(dāng) 和 足夠大時， 的置信水平為 的近似置信區(qū)間為 2022-3-1025251n1s12s22n121221212212()ssxxznn四、兩個總體均不服從正態(tài)分布且方差未知 【例6-8】某部隊甲、乙兩個連隊進(jìn)行技能比賽，各參賽項目總分100。

18、根據(jù)歷年成績，甲連隊認(rèn)為該隊?wèi)?zhàn)士此次技能比賽成績比乙隊高15分。為了證實這種推斷，現(xiàn)從兩隊各抽取一個樣本，樣本資料如下： 人 ， 人 ， 分 ， 分， 分， 分。試在95%的置信程度下確定兩個連隊平均成績之差的置信區(qū)間。 解解：根據(jù)上述數(shù)據(jù)可算得： 當(dāng)置信程度為95%時， ，從而其置信區(qū)間為 即置信區(qū)間為（0.54,8.46）。根據(jù)這個結(jié)果，我們有95%的把握說甲、乙兩個連隊技能比賽成績之差在0.548.46分之間。這一結(jié)果說明，甲連隊的平均成績確實高于乙連隊，但并未高出15分。 2022-3-10262622226.45.22.021520ABABxxABsssnn0.050.02521.9

19、6zz15An 222(75.871.3)1.962.024.53.96ABABABssxxznn20Bn 71.3Bx 5.2Bs 6.4As 75.8Ax 第四節(jié) 兩個總體比例之差的區(qū)間估計2022-3-1027第六章 參數(shù)估計概述兩個總體比例之差的區(qū)間估計 因為一般情況下，總體比例 和 都是未知的，所以上述標(biāo)準(zhǔn)差中的總體比例用樣本比例 和 來代替，即于是總體比例之差 的置信度為 的置信區(qū)間由下式給出： 2022-3-1028281P11p112212/21211ppppppznn2P2p12112212(1)(1)ppppppSnn12()PP兩個總體比例之差的區(qū)間估計 【例6-9】某汽

20、車制造集團(tuán)有兩個同類的下屬制造企業(yè)A和B。為了提高產(chǎn)品質(zhì)量，該集團(tuán)首先對下屬企業(yè)A的員工進(jìn)行生產(chǎn)培訓(xùn)。培訓(xùn)結(jié)束后，該企業(yè)負(fù)責(zé)人對兩個企業(yè)的產(chǎn)品質(zhì)量進(jìn)行了檢驗。從企業(yè)A抽取了320件產(chǎn)品，從B企業(yè)抽取了300件產(chǎn)品。檢驗的次品率A企業(yè)為 ，B企業(yè)為 試在95%的把握程度下，構(gòu)造兩企業(yè)廢品率之差的置信區(qū)間。 解：根據(jù)公式可得從而其區(qū)間估計為即（-0.0375,-0.1225）。因此，我們有95%的把握說，企業(yè)A和企業(yè)B的廢品率之差為3.75%12.25%。這說明，該集團(tuán)對企業(yè)A人員的生產(chǎn)培訓(xùn)收到了效果。2022-3-102929/2()(0.04 0.12) 1.96 0.0217ABABpppp

21、zS0.04 (1 0.04)0.12 (1 0.12)0.0217320300(1)(1)ABAABBppABppppSnn=4%Ap =12%Bp 第五節(jié) 樣本容量的確定2022-3-1030第六章 參數(shù)估計概述估計總體均值時樣本容量的確定 （一）總體方差已知，簡單重復(fù)抽樣由 整理后可得： 即在給定極限誤差、概率度要求下，應(yīng)抽取的樣本容量的最小值。 （二）總體方差已知，簡單不重復(fù)抽樣由 整理后可得： 2022-3-103131/2zn22/2222/2NznNz 22/22zn/21nzNn估計比例時樣本容量的確定 2022-3-1032321. 重復(fù)抽樣2. 不重復(fù)抽樣2/221pzPP

22、n2/222/211pNzPPnNzPp P 應(yīng)注意的問題 （一）計算樣本容量時，上述公式都涉及到總體的方差與比例，而這些一般都是要估計的對象，是未知的。由此在抽樣之前要計算必要的樣本容量。 （二）如果進(jìn)行一次抽樣調(diào)查，同時估計總體均值與比例，用上面的公式同時計算出兩個樣本容量，可采用其中一個最大的樣本容量的計算結(jié)果，這樣就可同時滿足兩方面的需要。 （三）上面的公式計算結(jié)果如果帶小數(shù)，這時樣本容量不按四舍五入法則取整數(shù)，而是采用比計算結(jié)果大的最小整數(shù)。這樣可以滿足精度和可靠程度的雙重要求。 2022-3-103333樣本容量的確定 【例6-10】某餐飲業(yè)對其顧客滿意率進(jìn)行抽樣調(diào)查，之前進(jìn)行的二

23、次調(diào)查資料顯示，滿意率分別是46%和38%，這次調(diào)查要求誤差不超過10%，概率保證程度為99.73%，請問至少需要抽查多少顧客作為樣本？ 解解：已知1-=99.73%， ， =0.1。通過之前進(jìn)行的兩次調(diào)查資料，分別求得成數(shù)方差為：0.46(1-0.46)=0.2484，和0.38(1-0.38)=0.2356。取方差最大者，因此選P=46%。由于一般情況下餐飲業(yè)顧客數(shù)量較大，抽出樣本在總體中所占的比重很小，無論是重復(fù)抽樣還是不重復(fù)抽樣，結(jié)果相差不是很大，因此可按重復(fù)抽樣方式計算；即，至少應(yīng)抽取的樣本容量為 根據(jù)結(jié)果可知，應(yīng)抽取224位顧客進(jìn)行調(diào)查。2022-3-10343422/222(1)

24、30.46 (1 0.46)2230. 615pzPPn/23zp樣本容量的確定 【例6-11】某電子加工企業(yè)為了提高市場競爭力，對其中一種型號的電子產(chǎn)品進(jìn)行性能檢驗，根據(jù)歷年正常生產(chǎn)的經(jīng)驗數(shù)據(jù)，已知其標(biāo)準(zhǔn)差 為0.69，質(zhì)量合格率P=95%。需要在95%的概率保證下，抽樣平均性能的誤差范圍不超過0.24，抽樣合格率誤差范圍不超過8%，問必要的抽樣單位數(shù)為多少？ 解解：已知=5%， ?？梢哉J(rèn)為總體容量遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于樣本容量，所以用重復(fù)抽樣公式近似計算：因此，取以上計算結(jié)果中較大者，即n=32，應(yīng)抽取32件電子產(chǎn)品作樣本以同時保證產(chǎn)品性能檢驗與合格率調(diào)查的雙重要求。2022-3-10353522222

25、/2121.960.69320.24()Pzn件/21.96z222/222(1)1.960.95 0.0529(0.08)PzPPn件第六節(jié) 總體方差和方差之比的區(qū)間估計2022-3-1036第六章 參數(shù)估計概述一、正態(tài)總體方差的區(qū)間估計 總體服從正態(tài)分布，則有即故 的置信度為 對應(yīng)的置信區(qū)間為 2022-3-103737222(1)-1nsn （）12222221(1)(1),nsns22222221(1)(1)()1nsnsP 圖圖6-4 自由度為自由度為n-1的的分布分布一、正態(tài)總體方差的區(qū)間估計 【例6-12】某汽車制造企業(yè)為了計算完成某個工序所需的時間，進(jìn)行一項試驗，最終得出20個觀察值組成的隨機樣本，根據(jù)樣本數(shù)據(jù)計算得到的標(biāo)準(zhǔn)差為2.1工時。試求：（1）構(gòu)造總體方差 的95%的置信區(qū)間？（2）構(gòu)造置信區(qū)間作了何種假定？ 解：（1）由題意可