概率論與數(shù)理統(tǒng)計公式總結(jié)【已整理可直接打印】

1、弟一早P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)特別地，當A、B互斥時，P(A+B)=P(A)+P(B)條件概率公式概率的乘法公式P(AB)=P(B)P(A|B)=P(A)P(B|A)全概率公式：從原因計算結(jié)果nP(A)-P(Bk)P(A|Bk)k1Bayes公式：從結(jié)果找原因P(Bi)P(A|BJn'P(B"(A|Bk)k1P(Bk|A)項分布(Bernoulli分布)XB(n,p)對連續(xù)型隨機變量匚/xF(x)=P(X_x)=i-f(t)dt分布函數(shù)與密度函數(shù)的重要關(guān)系：xF(x)=P(X<x)-J-f(t)dtF'(x)=f(x)二元隨機變量及其邊緣分布

2、分布規(guī)律的描述方法聯(lián)合密度函數(shù)f(x,y)聯(lián)合分布函數(shù)F(x,y)f(x,y)-0f(x,y)dxdy=10MF(x,y)<1F(x,y)=PX<x,Y<y、y'口聯(lián)合密度與邊緣密度fX(x)=£f(x,y)dyfY(y)=f(xy)dx6-beE(X)=£xkRk=jooE(X)=xf(x)dxL-iiOa、b為常數(shù)Y為任意隨機變量RX=k)=Ckpk(1-p)n"，(k=0n.n)泊松分布一一X-P(入)-kP(X=k)(k=0,1，)k!概率密度函數(shù)Cf(x)dx=1怎樣計算概率P(a<X<b)bP(a三X三b)=f(x

3、)dxa均勻分布XU(a,b)1f(x)=-1-(a<x<b)b-a指數(shù)分布X-Exp(0)1一/日f(x)=-e"/(x'0)分布函數(shù)對離散型隨機變量F(x)=P(X三x)=二P(X=k)k<x離散型隨機變量的獨立性PX=i,Y=j=PX=iPY=j連續(xù)型隨機變量的獨立性f(x,y戶fX(x)fy(y)第三章數(shù)學期望離散型隨機變量，數(shù)學期望定義連續(xù)型隨機變量，數(shù)學期望定義E(a)=a，其中a為常數(shù)E(a+bX)=a+bE(X),其中E(X+Y)=E(X)+E(Y),X、隨機變量g(X)的數(shù)學期望E(g(X)=£g(xk)Pkk常用公式E(X)=工

4、Zx自|E(X)="xf(x,y)dxdy正態(tài)分布E(XY)=xyjPj(x)21-92f(x)：-e2二2二二E(XY)=E(X)E(Y)E(XY)=xyf(x,y)dxdy._2E(X)=.；，D(X)=。標準正態(tài)分布的概率計算標準正態(tài)分布的概率計算公式當X與Y獨立時，E(XY)=E(X)E(Y)方差定義式D(X)=；x-E(X)2f(x)dx常用計算式D(X)=E(X2)E(X)2P(ZMa)=P(Za)(a)P(Z-a)=P(Za)=1-(a)PZ£b)=：'(b)-(a)P(-a三Z三a)=：,(a)-(a)=2>(a)-1一般正態(tài)分布的概率計算,2

5、X-XN(J,二2)=ZN(0,1)CT常用公式D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2E(X-E(X)(Y-E(Y)當X、Y相互獨立時：D(X+Y)=D(X)+D(Y)方差的性質(zhì)D(a)=0,其中a為常數(shù)D(a+bX)=b2D(X),其中a、b為常數(shù)當X、丫相互獨立時，D(X+Y)=D(X)+D(Y)協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)E雙-E(X)丫-E(Y)f?-E(XY)-E(X)E(Y)Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)p.CoVX,Y)XYi1Jd(X)D(丫)|協(xié)方差的性質(zhì)一般正態(tài)分布的概率計算公式a-二P(XMa)=P(X:二a)=->()cr,a_P(X_a);P(Xa)=：，()

6、CT_,b-',a-JP(a<XMb)=中()->()crcr第五章卡方分布n若XN(0,1),則“X：2(n)i1若YN(,。2),貝I-2VYi-L2(n)'、-i1t分布Cov(X,X)=E(X2)-(E(X)2=D(X)Cov(aX,bY)=abCov(X,Y)Cov(X+Y,Z)=Cov(X,Z)+Cov(Y,Z)獨立與相關(guān)獨立必定不相關(guān)相關(guān)必定不獨立不相關(guān)不一定獨立第四章XN(產(chǎn)2)若XN(0,1),Y-2(n),則X、Y/nt22U/n右U(n。V-(1),F(n1，n2)V/n2F分布正態(tài)總體條件下樣本均值的分布：二2XN(口，)nX-1二/.nN(

7、0,1)樣本方差的分布：*22（n-1）cr兩個正態(tài)總體的方差之比t(n-1)22Si/S2._2/一2'T/2F(ni-1,n2-1)正態(tài)總體方差的區(qū)間估計兩個正態(tài)總體均值差的置信區(qū)間大樣本或正態(tài)小樣本且方差已知r222,一一一1仃1.仃2（X1-X2）±ZO（/2J十nn1n2,兩個正態(tài)總體方差比的置信區(qū)間第六章點估計：參數(shù)的估計值為一個常數(shù)矩估計最大似然估計似然函:nL=二f（X；i）L=p（Xi；i）i3-均值的區(qū)間估計大樣本結(jié)果Jf/2TJ_2_2s/S2L-121）第七章假設檢驗的步驟_2_2s/S2Fa/2(n1-1,n2-1)J根據(jù)具體問題提出原假設H0和備擇

8、假設H1根據(jù)假設選擇檢驗統(tǒng)計量，并計算檢驗統(tǒng)計值看檢驗統(tǒng)計值是否落在拒絕域，若落在拒絕域則拒絕原假設，否則就不拒絕原假設。不可避免的兩類錯誤第1類（棄真）錯誤：原假設為真，但拒絕了原假設第2類（取偽）錯誤：原假設為假，但接受了原假設單個正態(tài)總體的顯著性檢驗；x一容天為伍匕一標準差（通常未知，可用樣本標準差s代替）in一樣本容量（大樣本要求n>50），分2正態(tài)分布的分位點I_一一一一一一一一_單正態(tài)總體均值的檢驗大樣本情形Z檢驗正態(tài)總體小樣本、方差已知Z檢驗正態(tài)總體小樣本、方差未知t檢驗P-z1/2vnp一樣本比例n一樣本容量（大樣本要求n>50）加2正態(tài)分布的分位點單正態(tài)總體方差的檢驗正態(tài)總體、均值未知卡方檢驗單正態(tài)總體均值的顯著性檢驗統(tǒng)計假設的形式H0：N=N0H/N#，雙邊檢驗九：以士、$:卜<匕左邊檢驗小樣本、正態(tài)總體、標準差仃已知產(chǎn)儀小樣本、正態(tài)總體、標準差。未知（3）H。：三0H1：丁單正態(tài)總體均值的Z檢驗右邊檢驗X-LZ=X（大樣本情形仃未知時用S代替）一工，ssx±tc/2（n-1）-p<Vn）ta2（n-1）自由度為n-1的t分布的分位點拒絕域的代數(shù)表示雙邊檢3經(jīng)Z之Z2左邊檢3金Z-三-Z右邊檢3金Z-Z比例一一特殊的均值的Z檢驗(n-1)S2(n-1)S22,：721