大工13秋《高等數(shù)學》(上)輔導資料七

1、高等數(shù)學（上）輔導資料七主 題：第二章 導數(shù)與微分12節(jié)學習時間：2013年11月11日11月17日內(nèi) 容：這周我們將學習第二章導數(shù)與微分12節(jié)。高等數(shù)學的主要內(nèi)容是微積分，微分學則是微積分的重要組成部分。在這一章里，將利用極限的概念來說明導數(shù)的基本概念，研究求函數(shù)的導數(shù)的方法，并由此解決求初等函數(shù)導數(shù)的問題。本章的學習要求及需要掌握的重點內(nèi)容如下：1、深刻理解導數(shù)定義（含左導和右導）及表示方法，會用導數(shù)定義求導數(shù)。2、了解導數(shù)的幾何意義，會求曲線上一點的切線方程和法線方程3、深刻理解可導與連續(xù)的關(guān)系，會判定初等函數(shù)的可導性。4、牢記基本初等函數(shù)的導數(shù)公式及導數(shù)四則運算法則5、掌握反函數(shù)的求導

2、方法6、掌握復合函數(shù)的求導方法基本概念：導數(shù)概念、導數(shù)幾何意義知識點：導數(shù)的四則運行法則，基本初等函數(shù)的求導公式知識結(jié)構(gòu)圖第一節(jié)、導數(shù)的概念一、引例1、變速直線運動的速度2、切線問題二、導數(shù)的定義定義1：設(shè)函數(shù)在點的某鄰域內(nèi)有定義，若存在，則稱函數(shù)在點處可導，并稱此極限為在點的導數(shù)。記作：；即定義2：左導數(shù)右導數(shù)三、導數(shù)的幾何意義1、函數(shù)在的導數(shù)就是該曲線在點處的切線斜率，即，或為切線的傾角。從而，得切線方程為（請記住公式）若或切線方程為：范例解析：填空題：曲線在點（0,1）處的切線斜率k=答案：2解題思路：2、過切點，且與點切線垂直的直線稱為在點的法線。如果，法線的斜率為。此時，法線的方程為

3、：（請記住公式）如果，法線方程為范例解析：計算題：已知曲線，求過點（-1，-3）的切線方程和法線方程。解：，由導數(shù)的幾何意義，曲線在（-1，-3）點的切線的斜率，法線斜率所以切線方程為，即法線方程為，即四、函數(shù)的可導性與連續(xù)性的關(guān)系可導連續(xù)。即可導是連續(xù)的充分條件，連續(xù)是可導的必要條件。第二節(jié)、函數(shù)的求導法則一、函數(shù)的和、差、積、商的求導法則(1)若，則(為常數(shù))(2)若，則推廣：(3)若，二、反函數(shù)的求導法則設(shè)為的反函數(shù)，若在的某鄰域內(nèi)連續(xù)，嚴格單調(diào)，且，則在（即）點有導數(shù)，且。即反函數(shù)的導數(shù)等于直接函數(shù)導數(shù)的倒數(shù)。范例解析：計算題：求對數(shù)函數(shù)的導數(shù)。解：因為是的反函數(shù)，而在是單調(diào)遞增的連續(xù)函數(shù)，且，所以特別地，當時，三、復合函數(shù)求導法則如果在點可導，且在點也可導，那么，以為外函數(shù)，以為內(nèi)函數(shù)，所復合的復合函數(shù)在點可導，且，或。范例解析：選擇題：設(shè)，則等于（ ）A、B、C、D、答案：C解題思路：四、初等函數(shù)的導數(shù)現(xiàn)將我們已求出的基本初等函數(shù)的導數(shù)列表如下，作為基本求導公式。（1）（2）