函數(shù)概念的歷史發(fā)展

1、.函數(shù)概念的歷史發(fā)展 眾所周知，函數(shù)是數(shù)學(xué)中一個重要概念，它幾乎滲透到每一個數(shù)學(xué)分支，因此考察函數(shù)概念的發(fā)展歷史及其演變過程，無疑有助于我們學(xué)生更深刻、更全面地理解函數(shù)的本職，并且從中得到有益的方法論啟示。 1 函數(shù)概念的產(chǎn)生階段變量說 馬克思曾認(rèn)為，函數(shù)概念是源于代數(shù)中自羅馬時代就已經(jīng)開始的不定方程的研究，那時，偉大的數(shù)學(xué)家丟番圖對不定方程的研究已有相當(dāng)程度，據(jù)此，可以認(rèn)為函數(shù)概念至少在那時已經(jīng)萌芽。實(shí)際上作為變量和函數(shù)的樸素概念，幾乎和數(shù)學(xué)源于同一時期，因?yàn)閿?shù)學(xué)家在研究物體的大小及位置關(guān)系時，自然會導(dǎo)致通常稱為函數(shù)關(guān)系的那種從屬關(guān)系。但是，真正導(dǎo)致函數(shù)概念得以迅速發(fā)展則是在16世紀(jì)以后，特

2、別是由于微積分的建立，伴隨這一學(xué)科的產(chǎn)生、發(fā)展和完善，函數(shù)概念也經(jīng)歷了產(chǎn)生、發(fā)展和完善的演變過程。 哥白尼的天文學(xué)革命以后，運(yùn)動成為文藝復(fù)興時期科學(xué)家共同感興趣的問題，到了16世紀(jì)，對于運(yùn)動的研究已變成自然科學(xué)的中心問題。在這一時期，函數(shù)概念在不同科學(xué)家那里有著不同形式的描述。在伽利略的兩門新科學(xué)一書中，幾乎從頭到尾包含著函數(shù)的思想，他用文字和比例的語言表述函數(shù)關(guān)系。例如，他提出：“兩個等體積圓柱體的面積之比，等于它們高度之比的平方根。”“兩個側(cè)面積相等的正圓柱，其體積之比等于它們高度之比的反比?！彼终f：“從靜止?fàn)顟B(tài)開始以定常加速度下降的物體，其經(jīng)過的距離與所用時間的平方成正比。”這些描述非

3、常清楚地表明伽利略已涉及并討論變量和函數(shù)，但他并沒有做出一般的抽象，并且也沒有把文字?jǐn)⑹霰硎緸榉栃问健?幾乎與此同時，許多數(shù)學(xué)家，如托里拆利、瓦里斯、笛卡兒、牛頓、萊布尼茲等，從不同角度對函數(shù)進(jìn)行了不同程度的研究.有的數(shù)學(xué)家是把一些具體的函數(shù)看成曲線進(jìn)行研究,盡管當(dāng)時還沒有建立實(shí)連續(xù)的概念,但數(shù)學(xué)家卻默認(rèn)曲線都是連續(xù)的。托里拆利就曾對曲線進(jìn)行過研究；而瓦里斯在他的動學(xué)中研究過正弦曲線，并注意到了這一函數(shù)的周期性。麥爾先納研究了旋輪線等等，總的來講，當(dāng)時關(guān)于對數(shù)曲線和指數(shù)曲線的研究比較普遍。在解析幾何產(chǎn)生前后，人們除了已認(rèn)識的代數(shù)曲線外，還確定了相當(dāng)多的超越曲線。笛卡兒在其著作中提到了幾何曲線

4、與機(jī)械曲線的區(qū)別并由此引出代數(shù)曲線(函數(shù))和超越曲線(函數(shù))的區(qū)別。 到了17 世紀(jì)，牛頓在創(chuàng)立微積分的過程中一直用“流量”一詞來表示變量之間的依賴關(guān)系，并且從運(yùn)動的角度，把曲線看成是動點(diǎn)的軌跡。他在求曲邊形的面積中說：“我認(rèn)為這里的數(shù)學(xué)量，不是由小塊合成的，而是由連續(xù)運(yùn)動描出的，線(曲線)是描畫出來的，因而它的產(chǎn)生不是由于湊零為整，而是由于點(diǎn)的連續(xù)運(yùn)動”格雷果里在他的論文論圓和雙曲線的求積中，給出函數(shù)這一模式的素樸描述，他定義函數(shù)是從一些其它的量經(jīng)過一系列代數(shù)運(yùn)算而得到的量，或者是經(jīng)過任何其它可以想象到的運(yùn)算而得到的。據(jù)他自己解釋，這里的“可以想象到的運(yùn)算，除了加、減、乘、除和開方外，還有極

5、限運(yùn)算。格雷果里給出的是函數(shù)的解析定義，由于此后不久就證明這一定義太狹窄，也就逐漸被人們遺忘。"函數(shù)"作為數(shù)學(xué)術(shù)語是由微積分的另一位創(chuàng)立者萊布尼茲于1673年引進(jìn)的,他用"函數(shù)"一詞表示任一個隨著曲線上的點(diǎn)變動的量,并指出:"象曲線上點(diǎn)的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)、切線的長度、垂線的長度等,所有與曲線上的點(diǎn)有關(guān)的量稱為函數(shù)."除此以外,他還引進(jìn)了“常量”、變量”和“參變量”等概念,一直沿用到現(xiàn)在,這個定義僅是在幾何范圍內(nèi)揭示某些量之問所存在的依賴關(guān)系,并無給出函數(shù)的解析定義,因此,萊布尼茲所給出的函數(shù)的定義可看成是“函數(shù)概念的幾何起源"

6、。總之，到了17 世紀(jì)末，人們還沒有從普遍意義上對函數(shù)這一概念的本質(zhì)認(rèn)識清楚。2 函數(shù)概念的發(fā)展階段對應(yīng)說正如所知,微積分是一門研究變量和函數(shù)的學(xué)科。盡管牛頓和萊布尼茲創(chuàng)立了微積分，但由于他們對包括函數(shù)在內(nèi)的一些基本概念，特別是對微積分賴以建立的基礎(chǔ)一無窮小量的認(rèn)識含混不清，出現(xiàn)了運(yùn)算過程中的邏輯矛盾，導(dǎo)致了數(shù)學(xué)發(fā)展史上所謂的第二次數(shù)學(xué)危機(jī)。從而促使了數(shù)學(xué)家進(jìn)一步尋找微積分可靠的基礎(chǔ)，在這艱苦的探索過程中，函數(shù)自然也就成為數(shù)學(xué)家必須研究的對象。第一個在萊布尼茲工作的基礎(chǔ)上作出函數(shù)概念推廣的是約翰·貝努里，他指出：在這里，一個變量的函數(shù)是指由這個變量和常數(shù)以任意一種方式構(gòu)成的量。在符號

7、方面，約翰·貝努里利用x 或心表示一般的x的函數(shù)，但到了1718 年，他又改為中x。約翰·貝努里在函數(shù)概念中所說的任意的方式，包括代數(shù)式子和超越式子。數(shù)學(xué)家歐拉首先以函數(shù)的概念表示以及研究函數(shù)的無限過程建立一個與幾何學(xué)和代數(shù)學(xué)相獨(dú)立存在的分支一分析學(xué)，他在無窮小分析引論(以下簡稱引論)中，函數(shù)概念起著重要而又明確的作用，歐拉是把函數(shù)而不是把曲線作為主要研究對象的，他第一個把對數(shù)作為指數(shù)、把三角函數(shù)作為數(shù)值之比而不是作為一些線段進(jìn)行系統(tǒng)論述的，并且指出了顯函數(shù)與隱函數(shù)、單值函數(shù)與多值函數(shù)、一元函數(shù)與多元函數(shù)之間的區(qū)別，引進(jìn)了現(xiàn)用的函數(shù)符號f(x)。歐拉把約翰·貝努里

8、給出的函數(shù)的定義稱為解析函數(shù)，并進(jìn)一步把它區(qū)分為代數(shù)函數(shù)和超越函數(shù)，同時指出前者只有自變量問的代數(shù)運(yùn)算，后者指三角函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)以及變量的無理數(shù)冪所表示的函數(shù)。在引論中，歐拉把指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)分別定義為：，他還詳細(xì)地討論了指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)以及三角函數(shù)的展開式，并搞清了三角函數(shù)的周期性，引入了三角函數(shù)符號和角弧度。除了上述所討論的各種函數(shù)外，歐拉還考慮了“表示任意地畫出的曲線的函數(shù)”，并稱之為“隨意函數(shù)”，眾所周知，連續(xù)函數(shù)所表示的曲線與y軸平行的兩直線及x軸所圍成圖形的面積S(x)，可用f(x) 定積分來表示，但S(x) 卻未必只由x和常數(shù)C經(jīng)過算術(shù)、三角、對數(shù)和指數(shù)運(yùn)算而得到的

9、函數(shù)來表示。從而函數(shù)概念由微積分得到進(jìn)一步擴(kuò)展。不難看出，歐拉給出的函數(shù)的定義比約翰·貝努里的定義更普遍、更具有廣泛意義。歐拉給出的定義是一個變量的函數(shù)是由這個變量和一些數(shù)即常數(shù)以任何方式組成的解折表達(dá)式。除此之外，歐拉還規(guī)定一個給定的函數(shù)在它的整個“定義域”內(nèi)是由同樣一個“解析表達(dá)式"來描述的，這種觀點(diǎn)在數(shù)學(xué)家拉格朗日的著作中也有所體現(xiàn),如在他的名著解析函數(shù)論中,他把函數(shù)定義為在其中可以按任何形式出現(xiàn)并對計(jì)算有用的表達(dá)式。他在函數(shù)計(jì)算教程中說：“函數(shù)代表著要得到未知量的值而對已知量要完成的那些不同運(yùn)算，未知量的值本質(zhì)上只是計(jì)算的最終結(jié)果。也就是說，函數(shù)是運(yùn)算的一個組合。”

10、盡管后來由于歐拉、達(dá)朗貝爾和丹尼爾·貝努里在偏微分方程的研究中發(fā)現(xiàn)：整條曲線并不能用一個方程來表示，這迫使數(shù)學(xué)家修正函數(shù)的概念，但到了18 世紀(jì)，甚至19 世紀(jì)初，函數(shù)由一個解析式給出的觀點(diǎn)仍然占統(tǒng)治地位，并認(rèn)為連續(xù)曲線給出的連續(xù)函數(shù)一定能由一個解析表達(dá)式表示，由不連續(xù)的曲線或折線所表示的函數(shù)不可能由一個解析式表示。 由于受到多項(xiàng)式函數(shù)的影響，即若對于n+ 1個x的值多項(xiàng)式與都相等，則這兩個多項(xiàng)式相等。人們普遍認(rèn)為，對區(qū)間上的一切值，恒有相同函數(shù)值的兩個函數(shù)是完全相同的，而對以外的x值，這兩個函數(shù)的值也相等。 與此類似，由于受到三角函數(shù)特性的影響，許多數(shù)學(xué)家認(rèn)為，只有周期性的曲線才能

11、用周期函數(shù)來表示。在這一時期，既沒有得到任何廣泛采用的定義，也沒有解決什么樣的函數(shù)可用三角級數(shù)來表示，所有這些表明，函數(shù)的概念還有待于繼續(xù)發(fā)展。1800年前后，數(shù)學(xué)家開始關(guān)心分析的嚴(yán)密化問題，函數(shù)概念自然也成為嚴(yán)密化的對象。具體地表現(xiàn)在兩個方面：一方面對原來有關(guān)函數(shù)的錯誤看法和片面的觀點(diǎn)進(jìn)行橙清糾正；另一方面繼續(xù)探討函數(shù)概念的本質(zhì)，建立含義更廣泛的函數(shù)概念第一個沖破用解析式給出函數(shù)的觀點(diǎn)是拉克魯瓦，他在1797 年給出的函數(shù)的定義是每一個量，如果它依賴一個或幾個別的量，不管人們知道不知道用何種必要的運(yùn)算可以得到前者，就稱前者為這個或這些量的函數(shù)。拉克魯瓦還以五次方程的根是系數(shù)的函數(shù)為例給出相應(yīng)

12、的說明，這無疑對函數(shù)的概念又作出一次擴(kuò)展。在這一時期，傅里葉對函數(shù)概念的發(fā)展做出了巨大的貢獻(xiàn)，盡管他也支持用解析式給出函數(shù)的觀點(diǎn)，但他更深刻地揭示了函數(shù)的本質(zhì)，他在1807 年發(fā)表的題為熱的分析理論的論文中，證明了“由不連續(xù)的曲線給出的函數(shù)，能用一個三角函數(shù)式來表示”。通過實(shí)例分析，傅里葉指出不連續(xù)函數(shù)可用一個式子，或者可用多個式子來表示，這就否定了“不連續(xù)函數(shù)不可能用一個解析式來表示”的觀點(diǎn)。傅里葉通過實(shí)例指出“在某一區(qū)問上恒有相同函數(shù)值的兩個函數(shù)是完全相同的”這一觀點(diǎn)的錯誤。根據(jù)傅里葉的研究，不僅周期函數(shù)，而且任意連續(xù)函數(shù)f(x) 在-的范圍內(nèi)都可用正弦函數(shù)、余弦函數(shù)這樣的周期函數(shù)來表示，

13、甚至不能用解析式給出的函數(shù)都可用三角級數(shù)來表示，這個觀點(diǎn)非常重要，它動搖了18 世紀(jì)關(guān)于分段連續(xù)函數(shù)的觀念?？挛饔?823 年分別給出了變量和函數(shù)的定義，指出“人們把依次取許多互不相同的值的量叫做變量。”“當(dāng)變量之網(wǎng)這樣聯(lián)系起來的時候，即給定了這些變量中的一個值，就可以決定所有其它變量的值的時候，人們通常想象這些量是用其中的一個來表示的，這時這個量就取名為自變量，而由這自變量表示的其它的量就叫做這個自變量的函數(shù)?！卑凑沾硕x，不管y是用一個式子還是用多個式子表示，只要對每個x的值，有完全確定的y值與它對應(yīng)，y就是x的函數(shù)?？挛鳟?dāng)時非常清楚無窮級數(shù)是規(guī)定函數(shù)的一種方法，但函數(shù)未必受到解析式的約束

14、，不過他仍然認(rèn)為函數(shù)關(guān)系可以用多個解析式來表示，這仍然是一個很大的限制。突破這一限制的是杰出數(shù)學(xué)家狄利克雷，他給出函數(shù)數(shù)的定義是若對x的每一個值，有完全確定的y值與之對應(yīng)，不管建立起的這種對應(yīng)方式如何，都稱y是x的函數(shù)。由這個定義不難看出，狄利克雷是用對應(yīng)的觀點(diǎn)給出函數(shù)定義的，至于自變量之阿的聯(lián)結(jié)方式如何，即y是按照一種或多種規(guī)律依賴于x，或者y依賴于x是否可用數(shù)學(xué)運(yùn)算表示，這是無關(guān)緊要的。并且他還構(gòu)造一個以他自己名字命名的著名的狄利克雷函數(shù)a x為有理數(shù)f(x)=a、b為不同的常數(shù)bX為無理數(shù) 上述對應(yīng)的思想是數(shù)學(xué)開始由過去研究的“算”到以后研究“觀念”性質(zhì)和結(jié)構(gòu)的轉(zhuǎn)變的標(biāo)志，具有重要的理論

15、意義。隨后的斯鐸克斯、羅巴切夫斯基、黎曼等都分別給出了函數(shù)的定義。例如，黎曼于1851 年給出這樣一個定義：我們假定z是一個變量，它可以逐次取所有可能的實(shí)數(shù)值。若對它的每個值都有未定量w的唯一的一個值與之對應(yīng)，則w稱為y的函數(shù).黎曼指出，這個定義完全沒有規(guī)定在單個的函數(shù)值之間存在一種規(guī)律，此時，如果函數(shù)在某個區(qū)問已有定義，它在該區(qū)問外的延拓方式是完全任意的，人們所定義的量w對量z的依賴關(guān)系是任意給定的或是由量的某種運(yùn)算所確定并沒有什么差異?？傊?，從18 世紀(jì)前后開始，經(jīng)過許多數(shù)學(xué)家的不斷探索和研究函數(shù)概念有了長足的發(fā)展。但至少到19 世紀(jì)前半期，關(guān)于函數(shù)概念的敘述仍是不一致的，比如，當(dāng)時一些最

16、好的教科書，有的沿用18 世紀(jì)函數(shù)解析式的定義，有的利用近似黎曼的定義等等。因此函數(shù)的概念仍需進(jìn)一步完善。3 函數(shù)概念的完善階段關(guān)系說在分析嚴(yán)格化的過程中，集合論的思想逐漸形成。皮亞諾發(fā)展了無窮悖論標(biāo)志他第一個朝著建立集合的明確理論的方向邁出積極步伐的人。后來的康托爾對集合的概念、性質(zhì)以及集合與集合之問的關(guān)系進(jìn)行了一系列的系統(tǒng)研究，從而建立起具有重大意義集合論基礎(chǔ)，康托爾認(rèn)為，所謂集合就是一些確定的不同的東西的總體，這些東西人們能意識到，并且能判斷一個給定的東西是否屬于這個總體。無疑，集合的概念比人們以前研究的各類特殊的數(shù)集更具一般意義，從而也就有著廣泛的應(yīng)有性。盡管集合論的產(chǎn)生受到許多數(shù)學(xué)家的指貴和攻擊，仍有許多數(shù)學(xué)家利用集合論解決了許多問題，建立了許多概念，函數(shù)概念也正是在集合概念的基礎(chǔ)上得到最終完善。戴德金于1887 年給出了這樣一個定義：系統(tǒng)S上的一個映射蘊(yùn)含了一種規(guī)則，按照這種規(guī)則，S 中的每一個確定的元素都對應(yīng)著一個確定的對象，它稱為S的映像,記作,我們可以說，中對應(yīng)于元素S，由映射中作用于s而產(chǎn)生或?qū)С?，s經(jīng)映射變換成。這里至于系統(tǒng)s的對象是什么，并無限制這是函數(shù)概念的一次極大擴(kuò)充，最終給出完善的現(xiàn)代函數(shù)定義的是法國的布爾巴基學(xué)派，定義如下：設(shè)E 和F是兩個集合，它們可以不同，也可以相同。E 中的一個變元x和F中的變元y 之問