線性代數(shù)考試重點(diǎn)

1、第一章、行列式1. n行列式共有n2個(gè)元素，展開后有 n!項(xiàng)，可分解為2n行列式;2. 代數(shù)余子式的性質(zhì)：、Aj和aij的大小無關(guān)； 、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代數(shù)余子式為0； 、某行（列）的元素乘以該行（列）元素的代數(shù)余子式為A ；3. 代數(shù)余子式和余子式的關(guān)系：Mj = （-1/ jAijAj = （-1）' jMij4. 設(shè)n行列式D :n （n 丄）n (n)2 D ；將D上、下翻轉(zhuǎn)或左右翻轉(zhuǎn)，所得行列式為Q，則D（_1） 2 D ；D3，則 D3 = D ；D 4，則 D 4 二 D ；將D順時(shí)針或逆時(shí)針旋轉(zhuǎn) 90 ，所得行列式為 D2，則D2 =（一1） 將D

2、主對(duì)角線翻轉(zhuǎn)后（轉(zhuǎn)置），所得行列式為 將D主副角線翻轉(zhuǎn)后，所得行列式為5.行列式的重要公式：主對(duì)角行列式：主對(duì)角元素的乘積;1#、副對(duì)角行列式：副對(duì)角元素的乘積上、下三角行列式（、=i ）匚和丄：副對(duì)角元素的乘積n （n !）（_1）F ；:主對(duì)角元素的乘積;n(n)(-1)F ；#A CC AO A=Ab、=O BB OB C=(_1)mn A|BA O拉普拉斯展開式：A OC B范德蒙行列式：大指標(biāo)減小指標(biāo)的連乘積; 特征值；n6. 對(duì)于n階行列式A，恒有： E -A ='盯亠二（-1）kSk'nJ"，其中Sk為k階主子式;k 土7. 證明A =0的方法： 、AA

3、 ； 、反證法； 、構(gòu)造齊次方程組 Ax =0，證明其有非零解； 、利用秩，證明r（A） : n ; 、證明0是其特征值；2、矩陣1. A是n階可逆矩陣：A -0 （是非奇異矩陣）；=r （A） =n （是滿秩矩陣）u A的行（列）向量組線性無關(guān)；=齊次方程組 Ax =0有非零解；R , Ax =b總有唯一解；A與E等價(jià)；=A可表示成若干個(gè)初等矩陣的乘積；=A的特征值全不為 0;=AtA是正定矩陣；=A的行（列）向量組是 Rn的一組基；=A是Rn中某兩組基的過渡矩陣；2. 對(duì)于n階矩陣A : AA*二A*A = AE無條件恒 成立；3. （A 丄）* （A*） -（A丄）T =（AT）丄（A*

4、）T =（At）*TT T*111（AB）二B A（AB）二B A（AB ）-= B - A -4. 矩陣是表格，推導(dǎo)符號(hào)為波浪號(hào)或箭頭；行列式是數(shù)值，可求代數(shù)和；5. 關(guān)于分塊矩陣的重要結(jié)論，其中均 A、B可逆：若A = 氏一，則：<As JI、A 二 a|A|A ；n、 a 丄= 、（主對(duì)角分塊） 、（副對(duì)角分塊） 、（拉普拉斯） 、（拉普拉斯）A1° 二BA°丄A°°BA C° B°A ° 二C B-B(0B 丄:1 -A丄°'A丄-A丄CB丄;=- i；3、矩陣的初等變換與線性方程組1. 一個(gè)

5、m n矩陣A，總可經(jīng)過初等變換化為標(biāo)準(zhǔn)形，其標(biāo)準(zhǔn)形是唯一確定的：F | Er °2 ° Ln 等價(jià)類：所有與 A等價(jià)的矩陣組成的一個(gè)集合，稱為一個(gè)等價(jià)類；標(biāo)準(zhǔn)形為其形狀最簡(jiǎn)單的矩陣； 對(duì)于同型矩陣 A、B，若r （A ）=. r （B） ：= A -B ；2. 行最簡(jiǎn)形矩陣： 、只能通過初等行變換獲得； 、每行首個(gè)非0元素必須為1； 、每行首個(gè)非0元素所在列的其他元素必須為 0；3. 初等行變換的應(yīng)用：（初等列變換類似，或轉(zhuǎn)置后采用初等行變換）r 若（A , E）二（E , X），則A可逆，且X =A；c 、對(duì)矩陣（A, B）做初等行變化，當(dāng) A變?yōu)镋時(shí)，B就變成A

6、76;B，即：（A, B）、（ E, A亠B）；r 、求解線形方程組：對(duì)于 n個(gè)未知數(shù)n個(gè)方程Ax=b，如果（A, b）二（E, x），則A可逆，且x = Ab ；4. 初等矩陣和對(duì)角矩陣的概念： 、初等矩陣是行變換還是列變換，由其位置決定：左乘為初等行矩陣、右乘為初等列矩陣； 、% .，左乘矩陣A，入乘A的各行元素；右乘，入乘A的各列元素；r 1 "r 1 ：E (i, j)，且 E (i, j )= E (i, j),例如：1=1 ；1、對(duì)調(diào)兩行或兩列，符號(hào)7fl、倍乘某行或某列，符號(hào)E (i(k)，且 E (i(k)“= E (i(1)，例如: k(k 0);b、倍加某行或某列

7、，符號(hào)廣 1E(ij(k),且 E(ij(k)-= E(ij(-k)，如:1k(1-k(2 0)；15#5.矩陣秩的基本性質(zhì)： 、0 <r(Am n) mmin(m,n)； 、r(AT) =r(A);、若 A B，則 r(A)二r(B)； 、若P、Q可逆，則r(A) =r(PA) =r(AQ) =r(PAQ);(可逆矩陣不影響矩陣的秩 )、max( r (A), r (B) _r( A, B) _r( A) r (B);(探) 、r(A - B)乞 r(A) - r(B);(探) 、r(AB) Zmin(r(A),r(B)；(探) 、如果A是m n矩陣，B是n s矩陣，且AB二0U:(探

8、)I、B的列向量全部是齊次方程組 AX =0解(轉(zhuǎn)置運(yùn)算后的結(jié)論)；n、r (A) r (B )< n 、若A、B均為n階方陣，則r(AB) _ r(A) r(B)- n ;6.三種特殊矩陣的方幕： 、秩為1的矩陣：一定可以分解為 列矩陣(向量)行矩陣(向量)的形式，再采用結(jié)合律；'1 a c 、型如0 1 b的矩陣：利用二項(xiàng)展開式；3 0 bn二項(xiàng)展開式：(a +b)n =C：an P:anf1 十+cmanJDbm 十2：屯1$丄+C：bnC,mambnjnm -0注:(a b)n展開后有n 1項(xiàng);n、Cnmn(n 1) (n -m 1)1 2 3 r _-mm!(；】m)!

9、"組合的性質(zhì)：cm二m . mm-1Cn 1 二 Cn CnrCnnCni ;# 、禾U用特征值和相似對(duì)角化:7.伴隨矩陣:* in、伴隨矩陣的秩：r(A) p1 bA 、伴隨矩陣的特征值：(AXr (A) = nr(A) =n -1 ;r (A) : n -1, A = A A 丄二 A* X# 、A 二 A A丄、A = A8. 關(guān)于A矩陣秩的描述： 、r(A) =n , A中有n階子式不為0, n 1階子式全部為0;(兩句話) 、r（A） :：: n , A中有n階子式全部為0; 、r（A） _n , A中有n階子式不為0;9.線性方程組：Ax =b，其中A為m n矩陣，則：

10、、m與方程的個(gè)數(shù)相同，即方程組Ax=b有m個(gè)方程； 、n與方程組得未知數(shù)個(gè)數(shù)相同，方程組Ax=b為n元方程;10. 線性方程組 Ax =b的求解： 、對(duì)增廣矩陣B進(jìn)行初等行變換（只能使用初等行變換）； 、齊次解為對(duì)應(yīng)齊次方程組的解； 、特解：自由變量賦初值后求得；11.由n個(gè)未知數(shù)m個(gè)方程的方程組構(gòu)成 n元線性方程:、色2 X2a nXna22 X2a2 nXn 二 bam 2X2QmXn =bn、ai1ai2a 21a 22aafm1am 2an/x1 "fb、a 2nx 2m=b2=Ax =bamn丿0 j（向量方程，A為m n矩陣，m個(gè)方程，n個(gè)未知數(shù)）7#務(wù)）X2邛（全部按列

11、分塊，其中0 /m個(gè)n維列向量所組成的向量組m個(gè)n維行向量所組成的向量組4、A :、a1 a2、ax a2 X2 PnXn =:（線性表出） 、有解的充要條件：r（A）二r（A, '-） < n（ n為未知數(shù)的個(gè)數(shù)或維數(shù)）向量組的線性相關(guān)性：-1，2,，：m 構(gòu)成 n m 矩陣 A=（:1,2,，m）BTp1T，時(shí)，p m構(gòu)成m><n矩陣B=2含有有限個(gè)向量的有序向量組與矩陣一一對(duì)應(yīng);2. 、向量組的線性相關(guān)、無關(guān)二Ax = 0有、無非零解；（齊次線性方程組） 、向量的線性表出Ax=b是否有解；（線性方程組） 、向量組的相互線性表示=AX二B是否有解；（矩陣方程）3.

12、 矩陣Amn與Bl n行向量組等價(jià)的充分必要條件是：齊次方程組Ax二0和Bx= 0同解；（P01例14）4. r（AtA） =r（A） ； （ R01 例 15）5. n維向量線性相關(guān)的幾何意義： 、一:：線性相關(guān)0 ; 、:,:線性相關(guān)二，：坐標(biāo)成比例或共線（平行）； 、: J：線性相關(guān) =二加，共面；6. 線性相關(guān)與無關(guān)的兩套定理：若：1，2,，s線性相關(guān)，則：】，：2,，：s匸s 1必線性相關(guān);若：1，亠，s線性無關(guān)，則>1, >2,，亠丄必線性無關(guān)；（向量的個(gè)數(shù)加加減減，二者為對(duì)偶）若r維向量組A的每個(gè)向量上添上 n-r個(gè)分量，構(gòu)成n維向量組B :若A線性無關(guān)，則B也線性無

13、關(guān)；反之若 B線性相關(guān)，則 A也線性相關(guān)；（向量組的維數(shù)加加減減）#簡(jiǎn)言之：無關(guān)組延長(zhǎng)后仍無關(guān)，反之，不確定；7. 向量組A (個(gè)數(shù)為r )能由向量組B (個(gè)數(shù)為s)線性表示，且 A線性無關(guān)，則r ms(二版P74定理7); 向量組A能由向量組 B線性表示，則r(A)乞r(B) ； ( P86定理3)向量組A能由向量組B線性表示二 AX =：B有解；二 r (A) -r (A, B)( P*5 定理 2)向量組A能由向量組B等價(jià)二r (A)=r(B) =. r (A, B)( P85定理2推論)8. 方陣A可逆二 存在有限個(gè)初等矩陣 Pi, P2,，P，使A=RP2p ； 、矩陣行等價(jià)：A B

14、uPA=B (左乘， P可逆)= Ax = 0與Bx = 0同解c 、矩陣列等價(jià)：ABu AQ=B (右乘，Q可逆)； 、矩陣等價(jià)： AB：= PAQ =B ( P、Q可逆)；9. 對(duì)于矩陣Am n與Bln： 、若A與B行等價(jià)，則A與B的行秩相等； 、若A與B行等價(jià)，則Ax= 0與Bx= 0同解，且A與B的任何對(duì)應(yīng)的列向量組具有相同的線性相關(guān)性； 、矩陣的初等變換不改變矩陣的秩； 、矩陣A的行秩等于列秩；10. 右 Am sBs n =Cm n，則： 、C的列向量組能由 A的列向量組線性表示，B為系數(shù)矩陣； 、C的行向量組能由B的行向量組線性表示，At為系數(shù)矩陣；(轉(zhuǎn)置)11. 齊次方程組Bx

15、二0的解一定是 ABx二0的解，考試中可以直接作為定理使用，而無需證明； 、ABx=O只有零解 =Bx= 0只有零解； 、Bx =0 有非零解= ABx = 0 一定存在非零解；12. 設(shè)向量組BnX : b,ba,，br可由向量組An>s:ai, a?,，線性表示為：(Ri°題 佃結(jié)論)(b,b2,，b-) =(ai,a2,，as)K ( B =AK )其中K為s r，且A線性無關(guān)，則B組線性無關(guān)二r(K)二r ； ( B與K的列向量組具有相同線性相關(guān)性 ) (必要性：r =r(B)工r(AK ) < r(K), r(K ) < r,. r(K) =.r ;充分性

16、：反證法)注：當(dāng)r=s時(shí)，K為方陣，可當(dāng)作定理使用；13. 、對(duì)矩陣Am n，存在Qn m , AQ = Emr(A) = m、Q的列向量線性無關(guān)；(P87 )、對(duì)矩陣Am n，存在Pnm， PA二E n 二r (A)二n、P的行向量線性無關(guān)；14. ：-1,2,:s線性相關(guān)=存在一組不全為0的數(shù)k1,k2/ ,ks,使得，ks亠二0成立；(定義)匚1 1=(«1,a2,as) X： =0有非零解，即 Ax = 0有非零解；込s=r(：，2,，：l)：s，系數(shù)矩陣的秩小于未知數(shù)的個(gè)數(shù)；15. 設(shè)m n的矩陣A的秩為r，則n元齊次線性方程組 Ax = 0的解集S的秩為：r(S)二n-r

17、 ；16. 若n*為Ax=b的一個(gè)解，1,：2，-n_r為Ax= 0的一個(gè)基礎(chǔ)解系，則 W,，二線性無關(guān)；(P111題33結(jié)論)5、相似矩陣和二次型正交矩陣二ATA = E或A丄=AT (定義)，性質(zhì):、A的列向量都是單位向量，且兩兩正交，即aj 1i J 0i =Ji r(i, J =12n)、若A為正交矩陣，則 A1 = AT也為正交陣，且|A - -1 ； 、若A、B正交陣，則 AB也是正交陣；注意：求解正交陣，千萬不要忘記 施密特正交化 和單位化；2. 施密特正交化：（a, a?,，ab = a ；1.111.#b，a2b, bi1.#1.#bb2 一 _n丄ar b 1 ；b，bj 浮b2, b2p br丄 br產(chǎn)-3. 對(duì)于普通方陣，不同特征值對(duì)應(yīng)的特征向量線性無關(guān)； 對(duì)于實(shí)對(duì)稱陣，不同特征值對(duì)應(yīng)的特征向量正交；4. 、A與B等價(jià)A經(jīng)過初等變換得到 B ；PAQ =B，P、Q