解析不等式恒成立問題

1、解析不等式恒成立問題縱觀近年來各地高考數(shù)學(xué)試題，有關(guān)不等式恒成立問題屢 見不鮮，這類問題既含參數(shù)又含變量，往往與函數(shù)、數(shù)列、 方程、幾何有機(jī)結(jié)合起來，具有形式靈活、思維性強(qiáng)、知識 交匯點(diǎn)多等特點(diǎn).考題通常有兩種設(shè)計(jì)方式：一是證明某個不 等式恒成立，二是某個不等式恒成立，求其中的參數(shù)的 值或取值圍.解決這類問題的關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化，通過等價(jià)轉(zhuǎn)化能使 問題起到“柳暗花明的成效 .而等價(jià)轉(zhuǎn)化過程往往滲透著換 元、化歸、數(shù)形結(jié)合、分類討論、函數(shù)與方程等數(shù)學(xué)思想方 法，其常用方法主要有：更換主元法、別離參數(shù)法、數(shù)形結(jié) 合法、最值法等，筆者試圖通過本文能對學(xué)生突破這一難點(diǎn) 有所啟迪.一、更換主元法在解決不等式恒成

2、立問題時，一種最重要的思想方法就是 構(gòu)造適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，利用函數(shù)的圖象和性質(zhì)解決問題，同時注 意在一個含多個變量的數(shù)學(xué)問題中，需要確定適宜的變量和 參數(shù)，從而揭示函數(shù)關(guān)系，使問題更加明朗化，一般地，已 知存在圍的量為變量，而待求圍的量為參數(shù).例1.設(shè)不等式2x 1 m(x2 1)對滿足m 2,2的一切實(shí)數(shù)m 恒成立，求x的取值圍.解：設(shè)f(m) (x2 1)m (2x 1),那么不等式2x 1 m(x2 1)對滿足1 03 0,2 22 m 2 時，f(m) 0 f (2) 2(x 2 1) (2x 1) 0 ,即弩 2x f( 2)2(x2 1) (2x 1) 02x2 2x1 恵 1 昭解得

3、丁 丁 ，故x的取值圍是(_Lj,_Lj).1打卡 1打22x或x2 2注：此類問題常因思維定勢，學(xué)生易把它看成關(guān)于不等式討論，此種解法因計(jì)算繁瑣易出錯；假設(shè)變換一個角度， 以m為變量，使f(m) (x2 1)m (2x 1),那么問題轉(zhuǎn)化為求一次函數(shù)(或常數(shù)函數(shù))f (m)的值在2,2恒為負(fù)時，參數(shù)x應(yīng)滿足的條件一一“換位思考優(yōu)勢明顯.二、別離參數(shù)法當(dāng)不等式中的參數(shù)(或關(guān)于參數(shù)的代數(shù)式)能夠與其它變量完全別離出來，且別離后不等式另一邊的函數(shù)(或代數(shù)式) 的最值可求時，常用別離參數(shù)法.例2.函數(shù)f(x) ln(ex a)( a為常數(shù))是實(shí)數(shù)集 R上的奇 函數(shù)，函數(shù)g(x) x cosx在區(qū)間-

4、,乙 上是減函數(shù)3 3(I)求a的值與的圍； (D)假設(shè)對(I)中的任意實(shí)數(shù) 都有g(shù)(x) t 1在-紅 上33恒成立，數(shù)t的取值圍.(川)假設(shè)m 0，試討論關(guān)于x的方程 止 x2 2ex m的根的 f (x)個數(shù).解：(I)、(川)略(H)由題意知，函數(shù)g(x)x cosx 在區(qū)間亍令上是減函g(X)max g(3)32，g(X)t 1 在23，乙上恒成立1), t注：此類問題可把要求的參變量別離出來，單獨(dú)放在不等式的一側(cè)，將另一側(cè)看成新函數(shù)，于是將問題轉(zhuǎn)化成新函數(shù) 的最值問題：假設(shè)對于x取值圍的任一個數(shù)都有f(x) g(a)恒成立， 那么g(a) f(x)m.；假設(shè)對于x取值圍的任一個數(shù)都

5、有f(x) g(a)恒成立，貝V g(a) f(x)max.三、數(shù)形結(jié)合法如果不等式中涉與的函數(shù)、 代數(shù)式對應(yīng)的圖象、圖形較易 畫出時，可通過圖象、圖形的位置關(guān)系建立不等式求得參數(shù)圍.例3.函數(shù)y f(x) 3x 6，x2,假設(shè)不等式f(x) 2x m恒6 3x,x 2成立，那么實(shí)數(shù)m的取值圍是.解：在同一個平面直角坐標(biāo)系中分別作出函數(shù)y 2x m與y f (x)的圖象，由于不等式f (x) 2x m恒成立，所以函數(shù) y 2x m的圖象應(yīng)總在函數(shù)y f(x)的圖象下方，因此，當(dāng) x 2 時，y 4 m 0,所以m 4,故m的取值圍是 4,.注：解決不等式問題經(jīng)常要結(jié)合函數(shù)的圖象，根據(jù)不等式中量

6、的特點(diǎn)，選擇適當(dāng)?shù)膬蓚€函數(shù)，利用函數(shù)圖像的上、下 位置關(guān)系來確定參數(shù)的圍.利用數(shù)形結(jié)合解決不等式問題關(guān)鍵是構(gòu)造函數(shù)，準(zhǔn)確做出函數(shù)的圖象.如：不等式x2 logax 0，在x (0,1)時恒成立，求a的取值圍.此不等式為超越不等式， 求解時一般使用數(shù)形結(jié)合法，設(shè)f(x) x2,g(x) loga x,然后在同一一坐標(biāo)系下準(zhǔn)確做出這兩個函數(shù)的圖象，借助圖象觀察便可求 解.四、最值法當(dāng)不等式一邊的函數(shù)(或代數(shù)式)的最值較易求出時，可直接求出這個最值(最值可能含有參數(shù))，然后建立關(guān)于參數(shù)的不等式求解.例 4.函數(shù) f (x) x(lnx m), g(x) £ x3 x.(I)當(dāng)m 2時，求f

7、(x)的單調(diào)區(qū)間；(H)假設(shè)m -時，不等式g(x) f (x)恒成立，數(shù)a的取值圍.2解：(I)略(H) 當(dāng) m 3 時，不等式 g(x) f (x)即 ax3 x x(ln x -)恒成232立由于 x 0 ,ax2 1 In x -，亦即-x2323人3(lnx -)q令 h(x) 二，那么 h(x) -6，由 h(x)xxlnx 2，所以a3(lnx -)22x0得x 1.且當(dāng)0 x 1時，h(x) 0 ；當(dāng)x 1時，h (x) 0，即h(x)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1,)上單調(diào)遞減，所以h(x)在x 1處取得極大值h(1)-,也就是函數(shù)213(lnx -)h(x)在定義域上的最大值 .因此要使a 半 恒成立，需要xa 3，所以a的取值圍為1注：恒成立問題多與參數(shù)的取值圍問題聯(lián)系在一起，是近幾年高考的一個熱門題型，它以“參數(shù)處理為主要特征， 以“導(dǎo)數(shù)為主要解題工具.往往與函數(shù)的單調(diào)性、極值、最 值等有關(guān)，所以解題時要善于將這類問題與函數(shù)最值聯(lián)系起 來，通過函數(shù)最值求解相關(guān)問題 .不等式恒成立問題，因題目涉與知識面廣， 解題方法靈活 多樣，技巧性強(qiáng)，難度大等特點(diǎn)，要求有較強(qiáng)的思維靈活性 和創(chuàng)造性、較高的