新數(shù)學(xué)全拿下

1、GRE 數(shù)學(xué)解題大全目錄GRE 數(shù)學(xué)解題大全1代數(shù)與幾何部分2概率論部分51. 排列(permutation)52. 組合(combination)53概率6統(tǒng)計學(xué)部分81. mode（眾數(shù)）82. range（值域）83. mean（平均數(shù)）84. median（中數(shù)）85. standard error（標(biāo)準(zhǔn)偏差）96. standard variation97. standard deviation98. the calculation of quartile(四分位數(shù)的計算)99. The calculation of Percentile1010. To find median us

2、ing Stem-and-Leaf (莖葉法計算中位數(shù))1111. To find the median of data given by percentage(按比例求中位數(shù))1212：比較,當(dāng)n<1 時，n，1，2 和 1，2,3 的標(biāo)準(zhǔn)方差誰大1313.算數(shù)平均值和平均值1314. 正態(tài)分布題1315. 正態(tài)分布14GRE 數(shù)學(xué)符號與概念16常用數(shù)學(xué)公式19精講 20 題20GRE 數(shù)學(xué)詞匯分類匯總26代數(shù)-數(shù)論26代數(shù)-基本數(shù)學(xué)概念27代數(shù)-基本運(yùn)算, 小數(shù),分?jǐn)?shù)27代數(shù)-方程,集合,數(shù)列等28幾何-三角29幾何-平面, 立體29幾何-圖形概念30幾何-坐標(biāo)31商業(yè)術(shù)語,計量.

3、31GRE 數(shù)學(xué)詞匯首字母. 32此文與猴哥難題 112 道結(jié)合起來，數(shù)學(xué)定拿下！1 / 38代數(shù)與幾何部分1.正整數(shù)n 有奇數(shù)個因子,則n 為完全平方數(shù)2.因子個數(shù)求解公式:將整數(shù)n 分解為質(zhì)因子乘積形式,然后將每個質(zhì)因子的冪分別加一相乘.n=a*a*a*b*b*c 則因子個數(shù)=(3+1)(2+1)(1+1)eg. 200=2*2*2 * 5*5 因子個數(shù)=(3+1)(2+1)=12 個3.能被 8 整除的數(shù)后三位的和能被 8 整除;能被 9 整除的數(shù)各位數(shù)的和能被 9 整除.能被 3 整除的數(shù),各位的和能被 3 整除.4.多邊形內(nèi)角和=(n-2)x1805.菱形面積=1/2 x 對角線乘積

4、6.歐拉公式： 邊數(shù)=面數(shù)+頂點(diǎn)數(shù)-28.三角形余玄定理C2=A2+B2-2ABCOS,為 AB 兩條線間的夾角9.正弦定理:A/SinA=B/SinB=C/SinC=2R(A,B,C 是各邊及所對應(yīng)的角,R 是三角形外接圓的半徑)10.Y=k1X+B1,Y=k2X+B2，兩線垂直的條件為 K1K2=-111.N 的階乘公式:N!=1*2*3*.(N-2)*(N-1)*N且規(guī)定 0!=1 1!=1Eg:8!=1*2*3*4*5*6*7*812. 熟悉一下根號 2、3、5 的值sqrt(2)=1.414 sqrt(3)=1.732 sqrt(5)=2.23613. .2/3 as many A

5、as B: A=2/3*B.twice as many. A as B: A=2*B14. 華氏溫度與攝氏溫度的換算換算公式:(F-32)*5/9=CPS.常用計量的換算:（查查牛津大字典的附錄吧）2 /38練習(xí)題:1：還有數(shù)列題：a1=2，a2=6，an=an-1/an-2，求 a150.解答: an=an-1/an-2,所以 an-1=an-2/an-3,帶入前式得 an=1/an-3,然后再拆一遍得到 an=an-6,也就是說,這個數(shù)列是以 6 為周期的,則a150=a144=.=a6,利用 a1,a2 可以計算出 a6=1/3.如果實在想不到這個方法,可以寫幾項看看很快就會發(fā)現(xiàn) a15

6、0=a144,大膽推測該數(shù)列是以 6 為周期得,然后寫出a1-a13(也就是寫到你能看出來規(guī)律),不難發(fā)現(xiàn) a6=a12,a7=a13,然后那,稍微數(shù)數(shù),就可以知道 a150=a6 了,同樣計算得1/3.2：問攝氏升高 30 度華氏升高的度數(shù)與 62 比大小.key:F=30*9/5=54<62(14. 華氏溫度與攝氏溫度的換算換算公式:(F-32)*5/9=C)3：那道費(fèi)波拉契數(shù)列的題:已知,a1=1,a2=1,an=an-1+an-2，問 a1,a2,a3,a小比較。項的平均數(shù)和a1,a3,a4,a5 四項的平均數(shù)大解答:費(fèi)波契那數(shù)列就是第三項是前兩項的和,依此類推得到a1-a6 為

7、:1 1 2 3 5 8 13 21 a1+a2+a3+a6=12, a1+a3+a4+a5=11,所以為大于.4：滿足 x2+y2<=100 的整數(shù)對（x,y）有多少？key: 按照X 的可能情況順序?qū)懗?X= 123456789Y= 1-91-91-91-91-81-81-71-61-4 >My answer:加起來=695：24，36，90，100 四個數(shù)中,該數(shù)除以它的所有的質(zhì)因子，最后的結(jié)果是質(zhì)數(shù)的是那個：Key:90：24/6=4 36=/6=9 90/30=3 100/10=106:0.123456789101112.，這個小數(shù)無限不循環(huán)地把所有整數(shù)都列出來.請問小數(shù)

8、點(diǎn)后第 100 位的數(shù)字是多少？Key:位數(shù)3 / 38010201 2 3 4 5 6 7 8 911 12 192129102020202030 3940 4950 51 52 53 54 55 56第 101 位 5？7：2904x=y2（y 的平方），x、y 都是正整數(shù)，求x 的最小值。因為：X2×Y2×Z2=(X×Y×Z)2所以把 2904 除呀除2×2×2×3×11×1122×112×6 再乘一個 6 就 OK 了22×112×6×6（2

9、15;11×6）2=1322Key：最小的 x68:序列An=1/n-1/(n+1),n>=1,問前 100 項和.解1/n-1/(n+1)An-1=1/(n-1)-1/nAn-2=1/(n-2)-/(n-1)A111/2把左邊加起來就是An+An-1+A1=1-1/(n+1).消掉了好多好多項之后的結(jié)果Key:把 n100 帶入得 前 100 項之和為 100/1019:等腰三角形，腰為 6.底邊上的高為 x,底邊為 y,問 4x2+y2 和 144 誰大解答:勾股定理得(y/2)2+x2=62,所以 4x2+y2=14410:-1<r<t <0(有一數(shù)軸)

10、 question:r+r*t*t 與-1 的關(guān)系Key:的辦法只能是嘗試:原式=r(1+t*t)恒小于零1) r2) r3) r1， t1， t 0 ， t0則原式121 則原式0 則原式0例如：r-0.9 t=-1/3 時,原式=-1,若此時-0.9<t<-1/3 原式<-1 反之>-1.4 / 3811:有長方形 4feet*8feet,長寬各截去 x inch,長寬比 2：5， 解答:列出方程:(4*12-x)/(8*12-x)=2/5=> x=16（注意 1feet=12inch）概率論部分1.排列(permutation):從N 個東東(有區(qū)別)中不重

11、復(fù)(即取完后不再取)取出 M 個并作排列,共有幾種方法：P(M,N)=N!/(N-M)!例如:從 1-5 中取出 3 個數(shù)不重復(fù),問能組成幾個三位數(shù)？解答：P(3,5)=5!/(5-3)!=5!/2!=5*4*3*2*1/(2*1)=5*4*3=60也可以這樣想從五個數(shù)中取出三個放三個固置那么第一個位置可以放五個數(shù)中任一一個,所以有 5 種可能選法，那么第二個位置余下四個數(shù)中任一個,.4.，那么第三個位置3所以總共的排列為 5*4*3=60同理可知如果可以重復(fù)選(即取完后可再取),總共的排列是 5*5*5=1252組合(combination):從N 個東東(可以無區(qū)別)中不重復(fù)(即取完后不再

12、取)取出 M 個(不作排列,即不管取得次序先后),共有幾種方法C(M,N)=P(M,N)/P(M,M)=N!/(M-N)!/M!C(3,5)=P(3,5)/P(3,3)=5!/2!/3!=5*4*3/(1*2*3)=10可以這樣理解：組合與排列的區(qū)別就在于取出的 M 個作不作排列-即M 的全排列 P(M,M)=M!，那末他們之間關(guān)系就有先做組合再作M 的全排列就得到了排列所以 C(M,N)*P(M,M)=P(M,N),由此可得組合公式性質(zhì):C(M,N)=C( (N-M), N )即 C(3,5)=C( (5-2), 5 )=C(2,5) = 5!/3!/2!=105 / 383概率概率的定義：

13、P=滿足某個條件的所有可能情況數(shù)量/所有可能情況數(shù)量概率的性質(zhì) ：0<=P<=11)不相容的概率：a,b 為兩兩不兼容的（即發(fā)生了 a，就發(fā)生 b)P(a 或 b)=P(a)+P(b)P(a 且 b)=P(a)+P(b)=0 (A,B 不能同時發(fā)生)2）對立的概率:對立就是 a+b 就是全部情況,所以不是發(fā)生 a,就是 b 發(fā)生,但是,有一點(diǎn) a,b 不能同時發(fā)生.例如:a:一件事不發(fā)生b:一件事發(fā)生,則 A,B 是對立顯然：P（一件事發(fā)生的概率或一件事不發(fā)生的概率）=1（必然的概率為 1）則一件事發(fā)生的概率=1 - 一件事不發(fā)生的概率公式 1理解抽象的概率最好用集合的概念來講，否

14、則結(jié)合具體體好理解寫a,b 不是不兼容(也就是說 a,b 有公共部分)分別用集合A 和集合B 來表示即集合A 與集合B 有交集，表示為 A*B （a 發(fā)生且b 發(fā)生）集合A 與集合 B 的并集，表示為A U B （a 發(fā)生或b 發(fā)生）則:P（A U B）= P(A)+P(B)-P(A*B).公式 23）條件概率：考慮的是A 已發(fā)生的條件下B 發(fā)生的概率定義：設(shè) A，B 是兩個，且P（A）>0,稱P（B|A）=P（A*B）/P（A）公式 3為A 已發(fā)生的條件下B 發(fā)生的概率6 / 38理解：就是P（A 與B 的交集）/P（A 集合）理解: “A 已發(fā)生的條件下B 發(fā)生的概率”，很明顯，說這

15、句話的時候，A，B 都發(fā)生了，求的是 A，B同時發(fā)生的情況占A 發(fā)生時的比例，就是A 與B 同時發(fā)生與A 發(fā)生的概率比。4）與概率兩個也就是說，A，B 的發(fā)生與否互不影響，A 是 A，B 是 B，用公式表示就是P（A|B）=P(A)所以說兩個同時發(fā)生的概率就是：P（A U B）P（A）×P（B）公式 4練習(xí)題:1：A, B，一個發(fā)生的概率是 0.6 ，一個是 0.8，問：兩個中發(fā)生一個或都發(fā)生的概率？解答：PP(A 且!B)+P(B 且!A)+P(A 且B)=0.6*(1-0.8)+0.8*(1-0.6)+0.6*0.8=0.92另一個角度,所求概率 P=1-P(A,B 都不發(fā)生)=

16、1-(1-0.8)*(1-0.6)=0.922：一道概率題：就是 100 以內(nèi)取兩個數(shù)是 6 的整倍數(shù)的概率.解答:100 以內(nèi)的倍數(shù)有 6,12,18,.96 共計 16 個所以從中取出兩個共有 16*15 種方法,從 1-100 中取出兩個數(shù)的方法有 99*100 種,所以P=(16*15)/(99*100)=12/505=0.0243：1-350 inclusive 中，在 100-299inclusive 之間以 3,4,5,6,7,8,9 結(jié)尾的數(shù)的概率.因為 100-299 中以 3,4,5,6,7,8,9 結(jié)尾的數(shù)各有 20 個,所以Key:（2*10*7）/350=0.44.在

17、 1-350 中（inclusive），337-350 之間整數(shù)占的百分比Key:(359-337+1)/350=4%5.在E 發(fā)生的情況下，F(xiàn) 發(fā)生的概率為 0.45，問 E 不發(fā)生的情況下，F(xiàn) 發(fā)生的概率與 0.55 比大小解答:看了原來的,我差點(diǎn)要不考G 了.無論柳大俠的推理還是那個哥哥的圖,都太過分了吧?其實用全概率公式是很好解決這個問題的,還是先用白話文說一遍吧:7 / 38某一個A 的發(fā)生總是在一定的其他條件下如 B,C,D 發(fā)生的,也就是說A 的概率其實就是在,B,C,D 發(fā)生的條件下A 發(fā)生的概率之和.A 在B 發(fā)生時有一個條件概率,在C 發(fā)生時有一個條件概率,在D 發(fā)生時有一

18、個條件概率,如果 B,C,D 包括了A 發(fā)生的所有的條件.那么,A 的概率不就是這幾個條件概率之和么.P(A)=P(A|B)+P(A|C)+P(A|D)好了,看看這個題目就明白了.F 發(fā)生時,E 要么發(fā)生,要么不發(fā)生,OK?所以,P(F)=P(F|E)+P(F|!E) 感覺上也沒錯吧? 給了 P(F|E)=0.45,所以P(F|!E)= P(F)-P(F|E)= P(F)-0.45如果 P(F)=1,那么 P(F|!E)=0.55如果 0.45=<P(F)<1,那么 0=<P(F|!E)<0.55如果，唉，我就不說你什么了sigh統(tǒng)計學(xué)部分1.mode（眾數(shù)）一堆數(shù)中出

19、現(xiàn)頻率最高的一個或幾個數(shù)e.g. mode of 1,1,1,2,3,0,0,0,5 is 1 and 02.range（值域）一堆數(shù)中最大和最小數(shù)之差 ,所以統(tǒng)計學(xué)上又稱之為極差.(兩極的差)e.g. range of 1,1,2,3,5 is 5-1=43.mean（平均數(shù)）arithmatic mean（算術(shù)平均數(shù)）: n 個數(shù)之和再除以 ngeometric mean （幾何平均數(shù)）: n 個數(shù)之積的n 次方根4.median（中數(shù)）將一堆數(shù)排序之后，正中間的一個數(shù)（奇數(shù)個數(shù)位），8 / 38或者中間兩個數(shù)的平均數(shù)（偶數(shù)個數(shù)字）e.g. median of 1,7,4,9,2,2,2,

20、2,2,5,8 is 2median of 1,7,4,9,2,5 is (5+7)/2=65.standard error（標(biāo)準(zhǔn)偏差）一堆數(shù)中，每個數(shù)與平均數(shù)的差的絕對值之和，除以這堆數(shù)的個數(shù)(n)e.g. standard error of 0,2,5,7,6 is:(|0-4|+|2-4|+|5-4|+|7-4|+|6-4|)/5=2.46.standard variation一堆數(shù)中，每個數(shù)與平均數(shù)之差的平方之和，再除以 n標(biāo)準(zhǔn)方差的公式：d2=(a1-a)2+(a2-a)2+.+(an-a)2 /ne.g. standard variation of 0,2,5,7,6 is: av

21、erage=4(0-4)2 +(2-4)2+(5-4)2+(7-4)2+(6-4)2)/5=6.87.standard deviation就是 standard variation 的平方根 d8.the calculation of quartile(四分位數(shù)的計算)Quartile（四分位數(shù)）：第 0 個 Quartile 實際為通常所說的最小值（MINimum）；第 1 個 Quartile（En：1st Quartile）；第 2 個 Quartile 實際為通常所說的中分位數(shù)（中數(shù)、二分位分、中位數(shù)：Median）；第 3 個 Quartile（En：3rd Quartile）；9

22、/ 38第 4 個 Quartile 實際為通常所說的最大值（um）；大家除了對 1st、3rd Quartile 不了解外，對其他幾個統(tǒng)計值的求法都是比較熟悉的了，而求 1st、3rd 是比較麻煩的。下面以求 1rd 為例：設(shè)樣本數(shù)為n（即共有n 個數(shù)），可以按下列步驟求 1st Quartile：1n 個數(shù)從小到大排列，求(n-1)/4，設(shè)商為 i，余數(shù)為j2則可求得 1st Quartile 為：(第 i+1 個數(shù))*(4-j)/4+(第 i+2 個數(shù))*j/4例（已經(jīng)排過序啦?。?）.設(shè)序列為5，只有一個樣本則：(1-1)/4 商 0，余數(shù) 01st=第 1 個數(shù)*4/4+第 2 個

23、數(shù)*0/4=52）.設(shè)序列為1,4，有兩個樣本則：(2-1)/4 商 0，余數(shù) 11st=第 1 個數(shù)*3/4+第 2 個數(shù)*1/4=1.753）.設(shè)序列為1,5,7，有三個樣本則：(3-1)/4 商 0，余數(shù) 21st=第 1 個數(shù)*2/4+第 2 個數(shù)*2/4=34）.設(shè)序列為1,3,6,10，四個樣本：(4-1)/4 商 0，余數(shù) 21st=第 1 個數(shù)*1/4+第 2 個數(shù)*3/4=2.55）.其他類推！因為 3rd 與 1rd 的位置對稱，這是可以將序列從大到小排（即倒過來排），再用 1rd 的公式即可求得：例（各序列同上各列，只是逆排）：1.序列5，3rd=52.4,1，3rd=4

24、*3/4+1*1/4=3.253.7,5,1，3rd=7*2/4+5*2/4=64.10,6,3,1，3rd=10*1/4+6*3/4=79The calculation of Percentile設(shè)一個序列供有n 個數(shù)，要求（k%）的 Percentile：10 / 38（1）從小到大排序，求(n-1)*k%，記整數(shù)部分為 i，小數(shù)部分為j可以如此記憶：n 個數(shù)中間有 n-1 個間隔，n-1/4 就是處于前四分之一處，（2）所求結(jié)果（1j）*第(i1)個數(shù)j*第(i+2)個數(shù)特別注意以下兩種最可能考的情況：（1）j 為 0，即(n-1)*k%恰為整數(shù)，則結(jié)果恰為第(i+1)個數(shù)（2）第(i+

25、1)個數(shù)與第(i+2)個數(shù)相等，不用算也知道正是這兩個數(shù).注意：前面提到的 Quartile 也可用這種方法計算，其中 1st Quartile 的 k%=25%2nd Quartile 的 k%=50%3rd Quartile 的 k%=75%計算結(jié)果一樣.例：（注意一定要先從小到大排序的，這里已經(jīng)排過序啦?。?，3，4，5，6，7，8，9，19，29，39，49，59，69，79，80共 16 個樣本 要求:percentile30%：則(16-1)*30%=4.5=4+0.5 i4，j0.5(1-0.5)*第 5 個數(shù)0.5*第 6 個數(shù)=0.5*6+0.5*7=6.510.To fin

26、d median using Stem-and-Leaf (莖葉法計算中位數(shù))Stem-and-Leaf method 其實并不是很適用于 GRE,除非有大量數(shù)據(jù)時可以用這種方法比較迅速的將數(shù)據(jù)有序化.一般 GRE 給出的數(shù)據(jù)在 10 個左右,莖葉法有點(diǎn)大材小用.Stem-and-Leaf 其實就是一種分級將數(shù)據(jù)分類的方法.Stem 就是大的劃分,如可以劃分為 110，1120，2130，而 Leaf 就是把劃分到 Stem 一類中的數(shù)據(jù)再排一下序?？戳死泳兔靼琢恕xample for Stem-and-Leaf method:Data：23，51，1，24，18，2，2，27，59，4，

27、12，23，15，200| 1 2 2 411 / 381|12 15 182|20 23 23 24 275|51 59Stem (unit) = 10Leaf (unit) = 1分析如下：最左邊的一豎行 0, 1, 2, 5 叫做 Stem, 而右邊剩下的就是 Leaf(leaves). 上面的 Stem-and-Leaf 共包含了 14個 data, 根據(jù) Stem 及 leaf 的 unit, 分別是： 1, 2, 2, 4 (first row), 12, 15, 18 (second row), 20, 23,23, 24, 27(third row), 51, 59 (last

28、 row). Stem and Leaf 其實就是把各個 unit，比如個位，十位等歸類了而已，一般是從小到大有序排列，所以在找 Stem-and Leaf 找 median 的時候，一般不需要你把所有的數(shù)寫出來從新排序.所以只要找到中間的那個數(shù) (如果 data 個數(shù)是偶，則取中間兩數(shù)的平均數(shù)), 就是 median 了.這道題的 median 是 18 和 20 的平均值 =19. 大家在碰到這種題的時候都可以用上面的方法做，只要注意 unit 也就是分類的數(shù)量級就行了.為什么用 Stem-and-Leaf 方法？可能你覺得這樣做太麻煩了，其實 Stem-and-Leaf 方法好處就是：你

29、不必從一大堆數(shù)里去按大小挑數(shù)了，按照 data 給出的順序填到表里就可以了。但是，GRE這樣做是否值斟酌。方法，不就是找十來個數(shù)么？排序！在先瀏一眼數(shù)據(jù)看看大致范圍，然后在答題紙上按個的寫，覺得小的寫前面，大的寫后面，寫了幾個數(shù)之后，就是把剩下的數(shù)兒們，一個個的插到已寫的數(shù)中間么！注意盡可能的把數(shù)之間的距離留大一些，否則，如果某些數(shù)比較密集，呵呵，你會死的很慘的。11To find the median of data given by percentage(按比例求中位數(shù))給了不同range, 和各個 range 的 percentage, 問 median 落在哪個 range 里. 把

30、percentage 加到 50%就是 median 的 range 了.擔(dān)一點(diǎn)，range 首先要保證是有序排列.Example for this:Given: 1020 = 20%, 3050 = 30%, 010 = 40%, 2030 = 10%, 問 median 在哪個 range 里.分析： 千萬不要上來就加，要先排序，切記！重新排序為： 010 = 40%, 1020 = 20%, 2030 = 10%, 3050 = 40%. 然后從小開始加， median（50）落在 1020 這個 range 里.12 / 38如果覺得比較玄乎，方法，GRE 大部分的題都可以這么搞。01

31、0 歲 40 匹 ETS 豬，1020 歲 20 匹 ETS豬，2030 歲 匹 ETS 豬，3050 歲 匹 ETS 豬，這 100 匹 ETS 豬按著落在那個范圍。排下來，你說第五十匹 ETS 豬的(原題: 說一堆人0-10 歲 占 10%,11-20 歲 占 12%,21-30 歲 占 23%,31-40 歲 占 20%,40 歲 占 35%,問median在什么范圍?)12：比較,當(dāng) n<1 時，n，1，2 和 1，2,3 的標(biāo)準(zhǔn)方差誰大standard error 和 standard variation (作用=standard deviation)都是用來衡量一組資料的離散

32、程度的統(tǒng)計數(shù)值,只不過由于 standard error 中涉及絕對值,在數(shù)學(xué)上是很難處里的所以,都用標(biāo)準(zhǔn)方差,實際上 standard error 更合理一些,它代表了數(shù)據(jù)和平均值的平均距離.很明顯題目中如果 n=0 的話,0,1,2 的離散程度應(yīng)該和1,2,3 的離散程度相同.如果 n<0,則 n,1,2,的離散程度大于后者,而 0<n<1 的話,則后者大于前者,但是n 為整數(shù),這種情況不成立.故而Key: n 是整數(shù)， 前=后(n=0,等；n=-1,-2,大于)13.算數(shù)平均值和平均值三組資料的頻數(shù)分布 FREQUENCY DISTRIBUTION：1（6），2（4），

33、3（1），4（4），5（6）1（1），2（4），3（6），4（4），5（1）1（1），2（2），3（3），4（4），5（5）其中括號里的是出現(xiàn)的頻率，問 MEAN 和 AVERAGE 相等的有那些.：只有第二個.mean-arithmetic mean 算術(shù)平均值 （1+2+3+4+5）/ 5 = 3average-weighted average平均值: (1*1+2*4+.5*1)/(1+4+6+4+1)=48/16=314.正態(tài)分布題.一列數(shù)從 0 到 28，給出正態(tài)分布曲線.75%的 percentile 是 20，85%的 percentile 是 r,95%的 percentile

34、 是 26,問r 與 23 的大小.Key:r<2313 / 38下面是來自柳大俠的七種中的正態(tài)分布15正態(tài)分布高斯分布（Gaussian）（正態(tài)分布）的概率密度函數(shù)為一鐘型曲線，即-( x-a)21p(x) =e2s 22ps 2a 為均值，s 為標(biāo)準(zhǔn)方差，曲線關(guān)于 x=a 的虛線對稱，s 決定了曲線的“胖瘦”，形狀為：高斯型隨量的概率分布函數(shù)，是將其密度函數(shù)取，即-(x -a )21xeòdxF (x) =2s 2A2ps2 -¥（） FA (x) º P(A £ x) ,50%。曲線為表示隨量A 的取值小于等于x 的概率。比如A 的取值小于等

35、于均值a 的概率是F(x)1.0BC圖 1A50%ax圖 214 / 38(x)+如果前面看得有些頭大也沒有關(guān)系，結(jié)合具體題目就很容易理解了J1） 一道正態(tài)分布：95%26，75%20，85%r,問 r 與 23 的大小，答小于解：由圖 2，正態(tài)分布的分布函數(shù)F（x）在其期望a 的右方曲線是向上凸的，此時F（20）=75%，F(xiàn)（r）=85%，F(xiàn)（26）=95%，BC OA如果把曲線的片段放大就比較清楚了。O 為 AB 的中點(diǎn)。A(20, 75%)B(26, 95%)O(23, 85%)C(r, 85%)由于曲線上凸，顯然C 的橫坐標(biāo)小于 O，所以 r<23。補(bǔ)充：如果問的是曲線的左半部分

36、或者其他一些情況，只要畫一下圖就很 easy 了。2) 正態(tài)分布題好象是：有一組數(shù)平均值 9，標(biāo)準(zhǔn)方差 2，另一組數(shù)平均值 3，標(biāo)準(zhǔn)方差 1，問分別在（5，11）和（1，4）中個數(shù)(概率)誰大，應(yīng)該是相等。解：令圖 1 中的曲線 a=0, s = 1, 就得到了標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，曲線如圖 3。x2x1圖 3此時問分布在區(qū)間（x1, x2）的概率，就是圖中的陰影面積。注意此時的曲線關(guān)于 x=0 對稱。15 / 38（）對于一般的正態(tài)分布，可以通過變換，歸一化到標(biāo)準(zhǔn)的正態(tài)分布，算法為：設(shè)原正態(tài)分布的期望為 a，標(biāo)準(zhǔn)方差為s ,欲求分布在區(qū)間（y1, y2）的概率，可以變換為求圖 3 中分布在（x1,

37、x2）間的概率。其中y - asx =。比如題目中 a=9，s = 2 , 區(qū)間為（5, 11），則區(qū)間歸一化為(2，1)，即x1 = 5 - 9 = -22x2 = 11 - 9 = 12同理，a=3，s = 1, 區(qū)間為（1, 4），則區(qū)間歸一化后也為(2，1)。所以兩者的分布概率相等。估計最難的題也就是利用鐘型曲線的對稱性，比如歸一化后的區(qū)間并不相同，而是(-2,1)和（-1,2），但根據(jù)對稱性，仍然可以比較概率的大小。救命三招1.代數(shù)法往變量里分別代三個數(shù)（最大，最小，中間值）看看滿足不滿足2.窮舉法分別舉幾個特例，不妨從最簡單的舉起，然后總結(jié)一下規(guī)律3.圓整法對付計算復(fù)雜的圖表題，不

38、妨四舍五入舍去零頭，算完后看跟那個最接近即可GRE 數(shù)學(xué)符號與概念主要符號×÷plus ;positive minus ;negative multiplied by ;times divided byequalsapproximately equals not equal toless thangreater thanequal to or less than equal to or greater than o( ) round brackets; parentheses square brackets braces is a member of the set is

39、a subset of16 / 38 similar to congruent to* denotes an operation minute second circle AB arc ABe: the base of natural logarithms,approx.2.71828 x! factorial x, x(x-1)(x-2)-1lognx log x to the base n pilnx log x to the base e(natural logarithm) lgx log x to the base 10(common logarithm)|x| the absolu

40、te value of xtherefore becauseratio sign, divided by, is to equals, as(proportion) parallel toperpendicular to, at right angles with angleright angleº degree數(shù)的概念和特性*幾個 GRE 最常用的概念：偶數(shù)(even number)：能被 2 整除的整數(shù)； 奇數(shù)(odd number)：不能被 2 整除的數(shù)；質(zhì)數(shù)(primber)：大于 1 的整數(shù)，除了 1 和它本身外，不能被其他正整數(shù)所整除的，稱為質(zhì)數(shù)。也叫素數(shù)；（學(xué)過數(shù)論的同

41、學(xué)請注意，這里的質(zhì)數(shù)概念不同于數(shù)論中的概念，GRE 里的質(zhì)數(shù)不包括負(fù)整數(shù)）因數(shù)(factor/divisor) 合數(shù)(composite number)倒數(shù)(reciprocal)：一個不為零的數(shù)為 x,則它的倒數(shù)為 1/x。*最重要的性質(zhì)：奇偶性：偶加偶為偶，偶減偶為偶，偶乘偶為偶； 奇加奇為偶，奇減奇為偶，奇乘奇為奇；奇加偶為偶，奇減偶為偶，奇乘偶為偶。 求因數(shù)個數(shù)：1. 分解質(zhì)因數(shù) 2. 指數(shù)+1 相乘Eg：7*193 有(1+1)(3+1)=8 個因數(shù)等差數(shù)列GRE 數(shù)學(xué)中絕大部分是等差數(shù)列，形式主要為應(yīng)用題。題目會說三年穩(wěn)步增長第一年的產(chǎn)量是 x,第三年的產(chǎn)量是 y,問你的二年的產(chǎn)量

42、。數(shù)理統(tǒng)計*眾數(shù)(mode)一組數(shù)中出現(xiàn)頻率最高的一個或幾個數(shù)。例：mode of 1,1,1,2,3,0,0,0,5 is 1 and 0。*值域、極差(range)一組數(shù)中最大和最小數(shù)之差。例：range of 1,1,2,3,5 is 5-1=4*平均數(shù)(mean） 算術(shù)平均數(shù)（arithmetic mean）*幾何平均數(shù)(geometric mean） n 個數(shù)之積的 n 次方根。*中數(shù)(median)17 / 38對一組數(shù)進(jìn)行排序后，正中間的一個數(shù)（數(shù)字個數(shù)為奇數(shù)）， 或者中間兩個數(shù)的平均數(shù)（數(shù)字個數(shù)為偶數(shù)）。例： median of 1,7,4,9,2,5,8 is 5 media

43、n of 1,7,4,9,2,5 is (5+7)/2=6*標(biāo)準(zhǔn)偏差(standard error)一組數(shù)中，每個數(shù)與平均數(shù)的差的絕對值之和，再除以這組數(shù)的個數(shù) n例：standard error of 0,2,5,7,6 is: (|0-4|+|2-4|+|5-4|+|7-4|+|6-4|)/5=2.4*方差 standard variation一組數(shù)中，每個數(shù)與平均數(shù)之差的平方和，再除以這組數(shù)的個數(shù) n例： standard variation of 0,2,5,7,6 is: _ 2 2 2 2 2_|_(0-4) +(2-4)+(5-4)+(7-4)+(6-4)_|/5=6.8*標(biāo)準(zhǔn)差

44、(standard deviation)standard deviation 等于 standard variation 的平方根ps :GRE 經(jīng)常讓你比較眾數(shù)或中數(shù)與數(shù)的個數(shù)的乘積和這組數(shù)的和的大小，可以舉幾個極限情況的例子驗證一下。還有一種題型是給你兩組數(shù)的平均值，方差，比較他們的中數(shù)大?。灰⒁庵袛?shù)的大小和那兩個值是沒有必然 的，無法比較。平面幾何1普通幾何：GRE 經(jīng)常組和圖形，例如兩個相等的圓經(jīng)過對方圓心，求外部周長；一個正三角形中去掉三個以各頂點(diǎn)為圓心，周長一般為半徑的圓的以后的部分的面積。 只要熟記下列公式就可以解決：*平面圖形的周長和面積：PerimeterAreaTrian

45、gle 三邊之和 (底×高)/2Square 邊長×4邊長的平方Rectangle (長+寬)×2 長×寬Parallelogram (長+寬)×2 底×高Trapezoid 四邊之和 (上底+下底)×高/2Rhombus 邊長×4 兩條對角線之積的 1/2Circle 2r=dr22幾何：?？嫉挠校?兩直線垂直的條件：來直線 和 垂直的條件， 。*平面上兩點(diǎn)中點(diǎn)坐標(biāo)及距離：平面直角坐標(biāo)系中，A(x1,y1)和 B(x2,y2)是任意兩點(diǎn)，C(x,y)是線段 AB 的中點(diǎn)，則 x=(x1+x2)/2,y=(y1+y

46、2)/2,線段 AB 兩端點(diǎn)間的距離=立體幾何GRE 數(shù)學(xué)中的立體幾何只涉及四面體，長方體，正方體，圓柱體，圓錐（不?？迹┑拿娣e和體積。*立體圖形的表面積和體積VolumeSurface AreaRectangular Prism 長×寬×高 2(長×寬+長×高+寬×高)Cube棱長的立方6×棱長×棱長Right Circular Cylinder r2h2r h+ 2r24r3/34r2Sphere18 / 38Right Circular Cone r2h/3r2+rl(l 為母線)概率(Probability)某一在相

47、同的條件下可能發(fā)生也可能不發(fā)生，這類成為隨機(jī)(random occurrence)。概率就是用來表示隨機(jī)發(fā)生的可能性大小的一個量。很自然的把必然發(fā)生的概率定為 1，并把不可能發(fā)生的的概率定為 0，而一般隨機(jī)的概率是介于 0 和 1 之間的一個數(shù)。等概率基本組滿足下列二條性質(zhì)的 n 個隨機(jī)A1,A2, An 被稱為“等概基本組”： A1,A2, An發(fā)生的機(jī)會相等；在任一實驗中，A1,A2, An 中只有一個發(fā)生。等概基本組中的任一隨機(jī)Ai(i=1,2, ,n)稱為“基本”。如果B 是由等概念基本組 A1,A2, An 的m 個基本，則B 的概率 P(B)=m/n,這種討論概率的模型稱為“古典概

48、型”。ps:排列組合結(jié)合概率中的“古典概型”就可以解決幾乎所有的 GRE 數(shù)學(xué)概率問題，但要靈活應(yīng)用，而且很多題目看起來像概率題實際上它就是個抽屜原理（6 個球放到 5 個抽屜里則至少有一個抽屜里有兩個或的球），他就讓你比較和 1 的大小，當(dāng)然是相等。圖表(Chart & Graph)解答圖表題的關(guān)鍵是找到關(guān)鍵的數(shù)據(jù)和信息：有時候圖表很復(fù)雜，表示的數(shù)據(jù)很多，但只要看清楚題目所問的那個量就好了。GRE 種主要1.表格(tables)分類排列五種圖表：事項的文件。2. 餅形圖(pie graphs)表示整體與部分間的關(guān)系，通常用百分比表示圖中的每個部分。3. 線型圖(line graphs

49、)表示數(shù)量的連續(xù)變化數(shù)量一般以時間的變化來衡量。4. 條帶圖(bar graphs)用條帶的高低或長短來表示在不同時間里的不同數(shù)量或同一數(shù)量。5. 累積圖(cumulative graphs)在累積條帶圖中，將累積條帶的高度按比例分成不同的數(shù)量，用以比較不同的項目。常用數(shù)學(xué)公式(a+b)(a-b)=a²-b²(a+b)²=a²+2ab+b² (a-b)²=a² -2ab+b²(a+b)³=a³+3a²b+3ab²+b³(a-b)³=a³ -3a&

50、#178;b+3ab² -b³19 / 38一元二次方程 ax²+bx+c=0 的解x,=(-b±b²-4ac)/2a*Simple Interest: 利息 Interest本金 principal 時間 Time 利率 Rate。*Compound Interest: A=P(1+R)n; A利和，P金,R 為利率,n 為期數(shù)。*Discount=Cost*Rate of Discount *Distance=Speed*Time*Pythagorean Theorem(勾股定理):直角三角形(right triangle)兩直角邊(leg

51、s)的平方和等于斜邊 (hypotenuse)的平方。*多邊形的內(nèi)角和：(n-2)×180°，總對角線數(shù)為 n(n-3)/2 條，從每一個頂點(diǎn)引出的對角線數(shù)為(n-3)條；式中：n 為多邊形的邊數(shù)*立體圖形的表面積和體積VolumeSurface AreaRectangular Prism 長×寬×高 2(長×寬+長×高+寬×高)Cube棱長的立方6×棱長×棱長Right Circular Cylinder r2h2r h+ 2r2 4r2r2+rl(l 為母線)4r3/3SphereRight Circ

52、ular Cone r2h/3*平面直角坐標(biāo)系中，A(x1,y1)和 B(x2,y2)是任意兩點(diǎn)，C(x,y)是線段 AB 的中點(diǎn)，則 x=(x1+x2)/2,y=(y1+y2)/2,線段 AB 兩端點(diǎn)間的距離= (x1-x2)2+(y1-y2)2精講 20 題最新：新 gre 數(shù)學(xué)樣題及GRE® Revised General Test: Quantitative Reasoning Sample Questions FiguresThis document includes figures, which appear on screen. Following each figur

53、e on screen is text describing that figure. Readers using visual presentations of the figures may choose to skip parts of the text describing the figure that begin with “Begin skippable figure description” and end with “End skippable figure description.”Mathematical Equations and ExpressionsThis doc

54、ument includes mathematical equations and expressions. Some of the mathematical equations and expressions are presented as graphics. In cases where amathematical equation or expression is presented as a graphic, a verbal presentation is also given and the verbal presentation comes directly after the graphic presentation. The verbalpresentation is in green font to assist readers in telling the two presentationmodesapart. Readers using audio alone can safely ignore the graphical presentations, and readers20 / 3