圓方程知識(shí)點(diǎn)總結(jié)典型例題

1、資料圓與方程1.圓的標(biāo)準(zhǔn)方程:以點(diǎn)C(a,b)為圓心，r為半徑的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是(x_a)2y_b)2=r2.特例：圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)，半徑為 r的圓的方程是：x2+y2=r2.2 .點(diǎn)與圓的位置關(guān)系：(1) .設(shè)點(diǎn)到圓心的距離為d,圓半徑為r：c.點(diǎn)在圓外 Od>ra.點(diǎn)在圓內(nèi)=>dvr； b.點(diǎn)在圓上 =>d=r；(2) . 給定點(diǎn) M(x0,y0)及圓 C:(x-a)24(y-b)22. M 在圓 C 內(nèi)=(x0-a)2+(y0-b)2<r2M M 在圓 C 上 u (x0 -a)2 4(y 0-b)2=r2M M 在圓 C 外u (x0-a)2+(y0-b)2>

2、r2(3)涉及最值:P ,討論P(yáng)B的最值PB = BN = BC -rminPB = BM = BC +rmaxP ,討論P(yáng)A的最值PA . = AN = r ACminPA = AM = r + ACmax思考：過此 A點(diǎn)作最短的弦？(此弦垂直 AC)3 .圓的一般方程：x2+y24Dx+Ey+F =0 . 當(dāng)D2+E2YF A0時(shí)，方程表示一個(gè)圓,其中圓心1，一"!卜半徑r =(2)當(dāng)D2旺24F =0時(shí)，方程表示一個(gè)點(diǎn)LD, 一E i2 2 當(dāng)D2+E24F <0時(shí)，方程不表示任何圖形.注：方程 Ax2 +Bxy +Cy 2 +Dx +Ey +F =0表示圓的充要條件是：

3、B=0且 A = C#0且D2 E2 4AF -0 .4.直線與圓的位置關(guān)系:直線 Ax +By +C =0與圓(x a)2 +(y -b)2 = r2圓心到直線的距離 d -lAaJBb tCI.一 A2 B21) d >r直線與圓相離u無交點(diǎn)；2) d =r之直線與圓相切u只有一個(gè)交點(diǎn)；3) d <ru直線與圓相交 二有兩個(gè)交點(diǎn)；弦長|AB| =2 Jr2 -d2、 Ax + By+C =0還可以利用直線方程與圓的方程聯(lián)立方程組3 y求解，通過解22、x2 +y2 + Dx+Ey + F = 0的個(gè)數(shù)來判斷：(1)當(dāng)Aa0時(shí)，直線與圓有2個(gè)交點(diǎn)，直線與圓相交；(2)當(dāng)4=0時(shí)，

4、直線與圓只有1個(gè)交點(diǎn)，直線與圓相切；(3)當(dāng)4<0時(shí)，直線與圓沒有交點(diǎn)，直線與圓相離；5.兩圓的位置關(guān)系(1)設(shè)兩圓 C-(xaj2+(y句)2=12與圓 C2：(xa2)2+(yb2)2 = r22,圓心距 d = (a1 -a2)2 (b -b2)2 d >1 +2 w 外離 u 4條公切線； d = r1 +r2 y 外切u 3條公切線； r1 -r2| <d <r1 +r2 U相交U 2條公切線； d =r1 r2 y內(nèi)切u 1條公切線；外離(2)兩圓公共弦所在直線方程22圓 C1： x + y +D1x + E1y + F1=0,22圓 C2 ： x +y +

5、 D2x + E2y + F2 =0 ,則3-D2 -1 -E2 W+g - F2尸0為兩相交圓公共弦方程補(bǔ)充說明： 若C1與C2相切，則表示其中一條公切線方程； 若C1與C2相離，則表示連心線的中垂線方程 .（3）圓系問題過兩圓 C1： x2+y2+D1x+E1y+F1 =0和 C2 ： x2 + y2 + D2x + E2y + F2 = 0交點(diǎn)的圓系方程為 x2 + y2 + D1x + E1y + F1 + 九（x2 + y2 + D2x + E2y + F2 ）= 0 （九 # 1 ）補(bǔ)充： 上述圓系不包括 C2;2）當(dāng)兒=1時(shí)，表示過兩圓交點(diǎn)的直線方程（公共弦） 過直線Ax+B/

6、C0與圓x2 + y2+Dx+Ey + F= 0交點(diǎn)的圓系方程為22x2 y2 Dx Ey F Ax By C =06 .過一點(diǎn)作圓的切線的方程:(1)過圓外一點(diǎn)的切線： k不存在，驗(yàn)證是否成立k存在，設(shè)點(diǎn)斜式方程，用圓心到該直線距離=半徑，即y -yo=k(x1 -xo)b -yi -k(a _xi)R 二R2 1求解k,得到切線方程【一定兩解】例1.經(jīng)過點(diǎn)P(1 , 2)點(diǎn)作圓(x+1) 2+( y2)2=4的切線，則切線方程為 (2)過圓上一點(diǎn)的切線 方程：圓(xa)2+(yb)2=r2,圓上一點(diǎn)為(X0, y(o), 2則過此點(diǎn)的切線方程為 (x。一a)( xa) +(yob)( yb

7、) = r特別地，過圓x24y22上一點(diǎn)P(xo,y。)的切線方程為xox+yoy2. 22例2.經(jīng)過點(diǎn)P(-4, 8)點(diǎn)作圓(x+7) +(y+8) =9的切線，則切線萬程為 。7 .切點(diǎn)弦過OC： (xa)2+(yb)2=r2外一點(diǎn)P(x0,y。)作OC的兩條切線，切點(diǎn)分別為A、B, 則切點(diǎn)弦AB所在直線方程為：(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b) = r28 .切線長：若圓的方程為(x-a)2(y-b)2=r2 ,則過圓外一點(diǎn) Rx°, y°)的切線長為d= J(x0 a) + (y0 b) r9 .圓心的三個(gè)重要幾何性質(zhì)：圓心在過切點(diǎn)且與切線垂直的直線上；

8、 圓心在某一條弦的中垂線上； 兩圓內(nèi)切或外切時(shí)，切點(diǎn)與兩圓圓心三點(diǎn)共線。10 .兩個(gè)圓相交的公共弦長及公共弦所在的直線方程的求法例.已知圓C： x2 + y2 -2x =0和圓Q： x2+ y2+4 y =0,試判斷圓和位置關(guān)系，若相交，則設(shè)其交點(diǎn)為 A、B,試求出它們的公共弦 AB的方程及公共弦長。、求圓的方程例1 （06重慶卷文）以點(diǎn)（2,_1）為圓心且與直線3x_4y+5 = 0相切的圓的方程為（）2222(A) (x -2) (y 1) =3 (B) (x 2) (y -1) =3(C) (x -2)2(y 1)2 = 9(D) (x 2)2(y 1)2=9二、位置關(guān)系問題例2 (06

9、安徽卷文)直線x + y = 1與圓x2 + y2 _ 2ay = 0 (a A 0)沒有公共點(diǎn)，則a的取值范 圍是()(A) (0, ,2-1)(B)(, 2 -1, ,2 1)(C) (-,2 -1, ,2 - 1)(D)(0, , 2 1)三、切線問題22-5 一例3 （06重慶卷理）過坐標(biāo)原點(diǎn)且與圓 x +y -4x + 2y + = 0相切的直線方程為(A) y = -3x 或 y(C) y = -3x 或 y1二一 x31=-x3(B)(D)y = 3x 或 y = 一y = 3x 或 y =1 x31四、弦長問題22.例4 （06天津卷理）B兩點(diǎn)，且設(shè)直線 ax y + 3 =

10、0與圓(x -1)2 +(y -2)2 =4相交于 A、弦AB的長為2於，則a =五、夾角問題22例5 （06全國卷一又）從圓x -2x + y 2y +1 = 0外一點(diǎn)P（3,2）向這個(gè)圓作兩條切線，則兩 切線夾角的余弦值為（）（A） 1（B）3 （C）（D） 0252六、圓心角問題例6 （06全國卷二）過點(diǎn)（1, V2"）的直線l將圓（x 2）2 + y2 =4分成兩段弧，當(dāng)劣弧所對(duì)的圓心 角最小時(shí)，直線l的斜率k =.七、最值問題22例7 (06湖南卷又)圓x +y 4x 4y 10 =0上的點(diǎn)到直線x + y14 =0的最大距離與 最小距離的差是()(A) 30 (B) 18

11、 (C)6. 2(D)5, 2八、綜合問題例8 (06湖南卷理)若圓x2 +y2 -4x -4y 10 =0上至少有三個(gè)不同的點(diǎn)到直線l : ax +by =0的距離為2近,則直線l的斜率k取值范圍圓的方程1 .方程x2+y22 (t+3) x+2 (1-4t2) y+16t4+9=0 (t G R)表示圓方程，則t的取值范圍是A. - 1<t <1 B. - 1<t < 1 C.- - <t <1D1< t<27272 . 一圓與y軸相切，圓心在直線 x 3y=0上，且直線y=x截圓所得弦長為2日，求此圓的方程3 .方程x2+ y2+ Dx+

12、Ey+F=0 (D2+E24f>0)表示的曲線關(guān)于 x+y=0成軸對(duì)稱圖形，則()A.D+E=0B.B.D+F=0 C. E+F=0D.4. (2004年全國口，8)在坐標(biāo)平面內(nèi)，與點(diǎn) 共有()A.1 條 B.2 條 C.35. (2005年黃岡市調(diào)研題)圓x2+y2+xk=.D+E+F=0A (1, 2)距離為1,且與點(diǎn)B (3, 1)距離為2的直線條D4條6y+3=0上兩點(diǎn) P、Q關(guān)于直線 kx - y+4=0對(duì)稱，則6 . (2004年全國卷W, 16)設(shè)P為圓x2+y2=1上的動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn) P到直線3x 4y10=0的距離的最小 值為.7 .已知實(shí)數(shù)x、y滿足方程x2+y24x+1

13、=0.求(1) ?的最大值和最小值；(2) y x的最小值；x(3) x2+y2的最大值和最小值經(jīng)過兩已知圓的交點(diǎn)的圓系2222_例1.求經(jīng)過兩已知圓：X +y 4x6 = 0和x +y 4y6 = 0的交點(diǎn)且圓心的橫坐標(biāo)為的圓的方程。例2.設(shè)圓方程為：（九+4）x2 +（九+4）y2 +（2九+4）x+（12九+40）y48兒一164 = 0 其中九豐-4求證：不論九為何值，所給圓必經(jīng)過兩個(gè)定點(diǎn)。直線與圓的位置關(guān)系22例1:求由下列條件所決定圓 x + y = 4的圓的切線方程; 經(jīng)過點(diǎn)P（於1）,經(jīng)過點(diǎn)Q（3,0）,斜率為1直線和圓1 .自點(diǎn)（一3, 3）發(fā)出的光線L射到x軸上，被x軸反射，其反射線所在直線與圓2 2_.,x +y 4x-4y+7