18-19第2章21212向量的加法

1、2.1.2向量的加法學(xué)習(xí)目標(biāo)：1.掌握向量加法的運(yùn)算，并理解其幾何意義.(難點(diǎn))2.理解向量加法的三角形法則、平行四邊形法則、多邊形法則的適用范圍，并能應(yīng)用向量加法的運(yùn)算律進(jìn)行相關(guān)運(yùn)算.(重點(diǎn))自主預(yù)習(xí)探新知向量的加法法則三角形法則，一_.TT，一T，一已知向量a,b,在平面上任取一點(diǎn)A,作AB=a,BC=b,再作向量AC,則向量T一.、一，一、一，一TTTAC叫做a與b的和(或和向量)，記作a+b，即a+b=AB+BC=AC.圖2-1-12上述求兩個(gè)向量和的作圖法則，叫做向量求和的三角形法則.對(duì)丁零向量與任一向量a的和有a+0=0+a=a.平行四邊形法則.一TTT已知兩個(gè)不共線向量a,b,作

2、AB=a,AD=b,則A,B,D二點(diǎn)不共線，以AB,->->AD為鄰邊作平行四邊形ABCD,則對(duì)角線上的向量AC=a±b.這個(gè)法則叫做兩個(gè)向量求和的平行四邊形法則.圖2-1-13多邊形法則已知n個(gè)向量，依次把這n個(gè)向量首尾相連，以第一個(gè)向量的始點(diǎn)為始點(diǎn)，第n個(gè)向量的終點(diǎn)為終點(diǎn)的向量口H做這n個(gè)向量的和向量.這個(gè)法則叫做向量求和的多邊形法則.1. 向量加法的運(yùn)算律交換律結(jié)合律a+b=b+a(a+b)+c=a+(b+c)思考：任意兩個(gè)非零向量相加，是否都可以用向量的平行四邊形法則進(jìn)行?提示不一定.當(dāng)兩向量共線時(shí)不能用平行四邊形法則，只能用三角形法則.基礎(chǔ)自測(1) 判斷（正確

3、的打“r”，錯(cuò)誤的打“X”）a+0=a.()a+b=b+a.()AB+BA=2AB.()一一.TT解析根據(jù)運(yùn)算律知，(1)、顯然正確，對(duì)于(3),網(wǎng)為AB+BA=0.故(3)錯(cuò)誤.答案(1)VV(3)x.T_一隊(duì)一一在zABC中，AB=a,BC=b,WJa+b等于()A.CAB.BCC.ABD.ACTTTTTD.AB=a,BC=b,二a+b=AB+BC=AC.一一一.TTTTTT如圖2-1-14所小，AB+BC+CD+DE+EF+FA等于()【導(dǎo)學(xué)號(hào)：79402049】圖2-1-14A.0B.0C.2ADD.-2ADB由向量求和的多邊形法則可知結(jié)果為0,故選B.1. .一、._.T，一對(duì)于任意

4、一個(gè)四邊形ABCD,下列式子不能化簡為BC的是.(1) BA+AD+DC;(2)BD+DA+AC;T.=點(diǎn)(3)AB+BD+DC;(4)DC+BA+AD.解析在(1)中BA+AD+DC=BD+DC=BC;在中BD+DA+AC=BA+AC=BC;在中AB+BD+DC=AD+DC=AC;在中DC+BA+AD=DC+BD=TTTBD+DC=BC.答案合作探究攻重難向量加法運(yùn)算法則的應(yīng)用，例康(1)化簡AE+EB+BC等丁()一一A.ABB.AC一一C.CED.BE(2) 如圖2-1-15所示，a+d=,c+b=.圖2-1-15(3) .T若正萬形ABCD的邊長為1,AB=a,AD=b,AC=c.試作

5、出向量a+b+c,并求出其模的大小.思路探究利用向量加法的三角形法則或平行四邊形法則求和及作圖.解析(1)由向量加法的三角形法則可得：TTTTTT，AE+EB+BC=AB+BC=AC.故選B.由向量求和的三角形法則可知a+d=DA,c+b=CB.答案(1)B(2)DACB一.一一.TTT(3)根據(jù)平行四邊形法則可知，a+b=AB+AD=AC.，.一一.一，TT一.TT根據(jù)三角形法則，延長AC,在AC的延長線上作CE=AC,則a+b+c=AC+AC=AC+CE=AE（如圖所?。?所以|a+b+c|=屆|=2寸12+12=2由.1. 規(guī)律方法向量求和的注意點(diǎn)：(1) 三角形法則對(duì)丁兩個(gè)向量共線時(shí)也

6、適用.(2) 兩個(gè)向量的和向量仍是一個(gè)向量.(3) 平行四邊形法則對(duì)丁兩個(gè)向量共線時(shí)不適用.2. 利用向量的兩種加法法則作圖的方法：法則作法三角把用小寫字母表示的向量，用兩個(gè)大寫字母表示(其中后面向量的始形法點(diǎn)與其前面向量的終點(diǎn)重合即用同一個(gè)字母來表示)由第一個(gè)向量的始點(diǎn)指向第二個(gè)向量終點(diǎn)的有向線段就表示這兩個(gè)向量的和平行四邊形法則 把兩個(gè)已知向量的始點(diǎn)平移到同一點(diǎn) 以這兩個(gè)已知向量為鄰邊作平行四邊形 對(duì)角線上以兩向量公共始點(diǎn)為始點(diǎn)的向量就是這兩個(gè)已知向量的和跟蹤訓(xùn)練1.如圖2-1-16所示，設(shè)。為正六邊形ABCDEF的中心，求下列向量:(1) OA+OC;BC+FE.圖2-1-16解(1)由

7、題圖可知，四邊形OABC為平行四邊形,由向量加法的平行四邊形法則,得OA+OC=OB.由題圖可知，BC=FE=OD=AO,BC+FE=AO+OD=AD.卜例向量加法運(yùn)算律的應(yīng)用(1)下列等式不正確的是()a+(b+c)=(a+c)+b;AB+BA=0;Ac=院+Al+BD.A.B.C.D.(2)設(shè)A,B,C,D是平面上任意四點(diǎn)，試化簡：AB+CD+BC;DB+AC+BD+CA.思路探究可利用向量加法的交換律使求和的各向量首尾相接，然后再利用加法法則求和.解析(1)由向量的加法滿足結(jié)合律知正確；因?yàn)锳B+BA=0,故不正確;DC+AB+BD=AB+BD+DC=AC成立，故正確.答案BTOTOTO

8、T(2)AB+CD+BC=(AB+BC)+CD=AC+CD=AD.不DB+AC+BD+CA=(DB+BD)+(AC+CA)=0+0=0.規(guī)律方法向量加法運(yùn)算律的意義和應(yīng)用原則:(1) 意義：向量加法的運(yùn)算律為向量加法提供了變形的依據(jù)，實(shí)現(xiàn)恰當(dāng)利用向量加法法則運(yùn)算的目的.實(shí)際上，由丁向量的加法滿足交換律和結(jié)合律，故多個(gè)向量的加法運(yùn)算可以按照任意的次序、任意的組合來進(jìn)行.(2) 應(yīng)用原則：利用代數(shù)方法通過向量加法的交換律，使各向量“首尾相連”，通過向量加法的結(jié)合律調(diào)整向量相加的順序.2. 跟蹤訓(xùn)練化簡：(1)(MA+BN)+(AC+CB)；TT(2)AB+(BD+CA)+DC.【導(dǎo)學(xué)號(hào)：79402

9、050】解(1)(MA+BN)+(AC+CB)一一一一一一一=(MA+AC)+(CB+BN)=MC+CN=MN.一一一一(2)AB+(BD+CA)+DC二-=AB+BD+DC+CA=0.向量加法的實(shí)際應(yīng)用例以在宵海玉樹大地震后，一架救援直升飛機(jī)從A地沿北偏東60。方向飛行了40km到B地，再由B地沿正北方向飛行40km到達(dá)C地，求此時(shí)直升飛機(jī)第5頁與A地的相對(duì)位置.思路探究解本題首先要正確地畫出方位圖，再根據(jù)圖形借助丁向量求解.解如圖所示，設(shè)AB、BC分別是直升飛機(jī)兩次位移，則AC表示兩次位移的合位移，即AC=AB+BC.在RtAABD中，|dB|=20km,|aD|=20女km,在RtAAC

10、D中,|AC|=N|AD|2+|DC|2=400(km),ZCAD=60°,即此時(shí)直升飛機(jī)位丁A地北偏東30°,且距離A地40/3km處.規(guī)律方法向量應(yīng)用題首先要正確畫出圖形，用向量表示實(shí)際量，然后進(jìn)行向量運(yùn)算，回扣實(shí)際問題，作出解答.3. 跟蹤訓(xùn)練為了調(diào)運(yùn)急需物資，如圖2-1-17所示，一艘船從江南岸A點(diǎn)出發(fā)，以13km/h的速度向垂直丁對(duì)岸的方向行駛，同時(shí)江水的速度為向東5km/h.圖2-1-17(1) 試用向量表示江水的速度、船速以及船實(shí)際航行的速度；求船實(shí)際航行的速度的大小與方向.(用與江水的速度方向問的火角表示)TT.解(1)如圖所小，AD表小船速，AB表小水速.

11、Dc易知AD±AB,以AD,AB為鄰邊作矩形ABCD,貝UaC表示舟呂實(shí)/際航行的速度./(2)在RtABC中，|AB|=5,|BC|=5寸3,所以|AC|=W|AB|+|BC|=52+(5/3f=V100=10.因?yàn)閠anZCAB=LJ3,所以ZCAB=60.|AB|因此，船實(shí)際航行的速度大小為10km/h,方向與江水的速度方向間的火角為600.向量加法的多邊形法則1. ，,，.TTT一、.、一在ABC中，若AB=a,BC=b,CA=c,那么a+b+c=0一定成立嗎？，一.TTT提小一定成立，因?yàn)樵贏BC中，由向量加法的三角形法則AB+BC=AC,一一.TTT一.所以AB+BC+C

12、A=0,那么a+b+c=0.2. 如果任意三個(gè)向量a,b,c滿足條件a+b+c=0,那么表示它們的有向線段是否一定構(gòu)成三角形？提示若任意三個(gè)向量a,b,c滿足a+b+c=0,則表示它們的有向線段不一定構(gòu)成三角形，因?yàn)楫?dāng)這三個(gè)向量為共線向量時(shí)，同樣有可能滿足a+b+c=0,此時(shí)，表示它們的有向線段肯定不能構(gòu)成三角形，所以任意三個(gè)向量a,b,c滿足a+b+c=0時(shí)，表示它們的有向線段不一定構(gòu)成三角形.設(shè)Ai,A2,A3,，An(nN,且n>3)是平面內(nèi)的點(diǎn)，則一般情況下，AiAn=AlA2+A2A3+A3A4+An-lAn.當(dāng)Al與An重合時(shí)，AlA2+A2A3+A3A4+JAn-lAn滿足

13、什么關(guān)系？”1一，,一xTT提小當(dāng)Al與An重合時(shí)，有A1A2+A2A3+A3A4+-+An-lAn=0.例H如圖2-1-18,正六邊形ABCDEF中，BA+cD+EF=()A.0B.BE一C.AD一D.CF圖2-1-18思路探究用向量加法的運(yùn)算律，將BA+CD+EF變形為CD+DE+EF就可以利用向量加法的多邊形法則求和向量.-一.TT一解析因?yàn)锳BCDEF是正六邊形，所以BA/DE,BA=DE,所以BA=DE,所一一一一一一一一一一以BA+CD+EF=DE+CD+EF=CD+DE+EF=CF.答案D規(guī)律方法三個(gè)關(guān)鍵：一是搞活構(gòu)成平面圖形的向量問的相互關(guān)系；二是熟練找出圖形中的相等向量；三是

14、能根據(jù)多邊形法則作出向量的和向量.跟蹤訓(xùn)練如圖2-1-19,E,F,G,H分別是梯形ABCD的邊AB,BC,CD,DA的中點(diǎn),化簡下列各式：(1) DG+EA+CB;(2) TEG+CG+DA+EB.圖2-1-19解(1)DG+EA+CB=GC+BE+CB=GC+CB+BE=GB+BE=GE.(2)EG+CG+DA+EB=EG+GD+DA+AE=ED+DA+AE=EA+AE=0.當(dāng)堂達(dá)標(biāo)固雙基.下列各式不一定成立的是()A.a+b=b+aB.0+a=aC.AC+CB=ABD.|a+b|=|a|+|b|D顯然|a+b=|a|+|b|不一定成立.化簡OP+PQ+PS+SP的結(jié)果等丁()【導(dǎo)學(xué)號(hào)：79402051】B.OQA.QPC.SPD.SQ(1) TTTTTTBOP+PQ+PS+SP=OQ+0=OQ.下列命題中正確的個(gè)數(shù)為()如果非零向量a與b的方向相同或相反，那么(a+b)/a；(2) ，一，一.一，.、.T在平行四邊形ABCD中，必有BC=AD;一TT一.，-_.一，_一，若BC=AD,WJA,B,C,D為平行四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)；若a,b均為非零向量，WJ|a+b|<|a|+|b|.A.0B.1C.2D.3.，一，.一.一，一一一TTD(1)正確；(2)在平行四邊形ABCD中，BC/AD,且BC=AD,所以BC=AD,正確；（3）A,B,C,D可能共線，所以錯(cuò)誤；（4