-基本邏輯關(guān)系和常用邏輯門

1、第 2 章 基本邏輯關(guān)系和常用邏輯門電路通常， 把反映 “條件” 和 “結(jié)果” 之間的關(guān)系稱為邏輯關(guān)系。如果以電路的輸入信號反映 “條件” ，以輸出信號反映“結(jié)果”，此時電路輸入、輸出之間也就存在確定的邏輯關(guān)系。數(shù)字電路就是實(shí)現(xiàn)特定邏輯關(guān)系的電路，因此，又稱為邏輯電路。邏輯電路的基本單元是邏輯門，它們反映了基本的邏輯關(guān)系。2.1 基本邏輯關(guān)系和邏輯門2.1.1 基本邏輯關(guān)系和邏輯門邏輯電路中用到的基本邏輯關(guān)系有與邏輯、或邏輯和非邏輯，相應(yīng)的邏輯門為與門、或門及非門。一、與邏輯及與門與邏輯指的是：只有當(dāng)決定某一事件的全部條件都具備之后，該事件才發(fā)生，否則就不發(fā)生 的一種因果關(guān)系。如圖 T1101

2、 所示電路，只有當(dāng)開關(guān)A 與 B 全部閉合時，燈泡Y 才亮；若開關(guān)A 或 B 其中有一個不閉合，燈泡就不亮。這種因果關(guān)系就是與邏輯關(guān)系，可表示為Y A B，讀作“A 與B”。在邏輯運(yùn)算中，與邏輯稱為邏輯乘。- 37 -T 1102T 1101與門是指能夠?qū)崿F(xiàn)與邏輯關(guān)系的門電路。與門具有兩個或多個輸入端，一個輸出端。其邏輯符號如圖T1102 所示，為簡便計，輸入端只用A 和 B 兩個變量來表示。與門的輸出和輸入之間的邏輯關(guān)系用邏輯表達(dá)式表示為：Y A B ABT1103 與門的波形圖兩輸入端與門的真值表如表B1104 所示。波形圖如圖T1103 所示。B1104與門真值表A BY00001010

3、0111二、或邏輯及或門或邏輯指的是：在決定某事件的諸條件中，只要有一個或一個以上的條件具備，該事件就會發(fā)生；當(dāng)所有條件都不具備時，該事件才不發(fā)生的一種因果關(guān)系。如圖 T1104 所示電路，只要開關(guān)A 或 B 其中任一個閉合，燈泡Y 就亮； A、 B 都不閉合，燈泡 Y 才不亮。這種因果關(guān)系就是或邏輯關(guān)系?？杀硎緸椋篩 A B讀作“ A 或 B”。在邏輯運(yùn)算中或邏輯稱為邏輯加。T1104T1105或門是指能夠?qū)崿F(xiàn)或邏輯關(guān)系的門電路。或門具有兩個或多個輸入端，一個輸出端。其邏輯符號如圖T1105 所示。或門的輸出與輸入之間的邏輯關(guān)系用邏輯表達(dá)式表示為：Y A B兩輸入端或門電路的真值表和波形圖分

4、別如表B1105 和圖 T1106 所示。ABY000011101111表 B1105由此可見，或門的邏輯功能是，輸入有一個或一個以上為高電平時，輸出就是高電平；輸入全為低電平時，輸出才是低電平。三、非邏輯及非門非邏輯是指：決定某事件的唯一條件不滿足時，該事件就發(fā)生；而條件滿足時，該事件反而不發(fā)生的一種因果關(guān)系。如圖 T1107 所示電路，當(dāng)開關(guān)A 閉合時，燈泡Y 不亮；當(dāng)開關(guān)A 斷開時，燈泡Y 才亮。這種因果關(guān)系就是非邏輯關(guān)系。可表示為Y A ，讀作“ A 非”或“非 A ”。在邏輯代數(shù)中，非邏輯稱為“求反”。非門是指能夠?qū)崿F(xiàn)非邏輯關(guān)系的門電路。它有一個輸入端，一個輸出端。其邏輯符號如圖T1

5、108 所示。非門的輸出與輸入之間的邏輯關(guān)系用邏輯表達(dá)式表示為：其真值表和波形圖分別如表B1106 和圖 T1109 所示。由此可見，非門的邏輯功能為，輸出狀態(tài)與輸入狀態(tài)相反，通常又稱作反相器。2.1.2 復(fù)合邏輯門由與門、或門和非門可以組合成其他邏輯門。把與門、或門、非門組成的邏輯門叫復(fù)合門。常用的復(fù)合門有與非門、或非門、異或門、與或非門等。一、與非門將一個與門和一個非門按圖T1110 連接，就構(gòu)成了一個與非門。與非門有多個輸入端，一個輸出端。三端輸入與非門的邏輯符號如圖T1112 所示，它的邏輯表達(dá)式為：Y A B C ABC真值表和波形圖分別如表B1107 和圖 T1112 所示。ABC

6、Y00010011010101111001101111011110表 B1107由此可知，與非門的邏輯功能為：當(dāng)輸入全為高電平時，輸出為低電平；當(dāng)輸入有低電平時，輸出為高電平。二、或非門把一個或門和一個非門連接起來就可以構(gòu)成一個或非門，如圖T1113 所示。或非門也可有多個輸入端和一個輸出端。三端輸入或非門的邏輯符號如圖T1114 所示，它的邏輯表達(dá)式為：Y = A B C真值表和波形圖分別如表B1108 和圖 T1115 所示。由此可知，或非門的邏輯功能為：當(dāng)輸入全為低電平時，輸出為高電平；當(dāng)輸入有高電平時，輸出為低電平。表 B1108ABCY000100100100011010001010

7、11001110三、異或門當(dāng)兩個輸入變量的取值相同時，輸出變量取值為0；當(dāng)兩個輸入變量的取值相異時，輸出變量取值為1 。這種邏輯關(guān)系稱為異或邏輯。能夠?qū)崿F(xiàn)異或邏輯關(guān)系的邏輯門叫異或門。異或門只有兩個輸入端和一個輸出端，其邏輯符號如圖T1116（ a）所示。異或門的邏輯表達(dá)式為：Y A· B + A· B A B式中，符號表示異或邏輯。異或門真值表如表B1109 所示。波形圖如圖T1116（ b）所示。異或門的邏輯功能可簡述為：輸入相異，輸出為高電平。輸入相同，輸出為低電平。表 B1109 異或門真值表ABY000011101110四、與或非門把兩個與門、一個或門和一個非門聯(lián)

8、結(jié)起來，就構(gòu)成了與或非門。它有多個輸入端、一個輸T1117 所示。其邏輯表達(dá)式為：Y AB CD真值表如表B1110 所示，波形圖見圖T1118。與或非門的邏輯功能是：當(dāng)任一組與門輸入端全為高電平或所有輸入端全為高電平時，輸出表 B1110 與或非門真值表輸入輸出A B C DY0 0 0 010 0 0 110 0 1 010 0 1 100 1 0 010 1 0 110 1 1 010 1 1 101 0 0 011 0 0 111 0 1 011 0 1 1011 0 0011 0 1011 1 0011 1 102.2 邏輯代數(shù)基礎(chǔ)邏輯代數(shù)是討論邏輯關(guān)系的一門學(xué)科，它是分析和設(shè)計邏輯

9、電路的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。邏輯代數(shù)是由英國科學(xué)家喬治·布爾(George· Boole)創(chuàng)立的，故又稱布爾代數(shù)。邏輯代數(shù)也是用字母表示變量，但是邏輯代數(shù)和普通代數(shù)有著根本的區(qū)別。邏輯代數(shù)中的邏輯變量只有兩種可能取值 0 和 1，而且這里的0 和 1 不同于普通代數(shù)中的0 和1。它只表示兩種對立的邏輯狀態(tài)，并不表示數(shù)量的大小。2.2.1 邏輯代數(shù)的基本定理與規(guī)則在邏輯運(yùn)算中，基本的邏輯關(guān)系有與、或、非三種。在邏輯代數(shù)中，相應(yīng)地也有三種基本運(yùn) 算，即與運(yùn)算、或運(yùn)算和非(求反)運(yùn)算。1. 與運(yùn)算（邏輯乘）圖 T1101 所示與門電路的邏輯關(guān)系為0· 0 00 · 1 0

10、A · 0 0A · 1 A2. 或運(yùn)算（邏輯和）圖 T1104 所示或門電路的邏輯關(guān)系為0+0 00+1 1A+0 AA+1 13. 非運(yùn)算（求反運(yùn)算）圖 T1107 所示非門電路的邏輯關(guān)系為0 11Y AB ，由此可得與運(yùn)算的規(guī)則為：1 · 0 01· 1 1A · A Y A B，由此可得或運(yùn)算的規(guī)則為：1+0 11+1 1A+A AY A，由此可得非運(yùn)算的規(guī)則為：0A+ A 1 A · A A A2.2.2 邏輯代數(shù)的基本定律邏輯代數(shù)不但有與普通代數(shù)相似的交換律、結(jié)合律和分配律，其本身還有一些特殊定律。常A· B B

11、· AA B B AA· B） · C A· （ B· C）A B）C A（B C）A· （ B C）·B· CA 十 BC（A+B ） （ A+C）A · A AA A0 ·00 1· 1 1用的定律如下：（ 1 ）交換律（ 2）結(jié)合律（ 3）分配律（ 4）重迭律（ 5） 0-1 律（ 6）互補(bǔ)律（ 7）摩根定律（ 8）吸收律2.2.3A· A 0A B A BA · （ A B）AA A 1A B A· BA AB 邏輯代數(shù)的基本規(guī)則在邏輯代數(shù)中，利用

12、代入規(guī)則、對偶規(guī)則、反演規(guī)則可由基本定律推導(dǎo)出更多的公式。1. 代入規(guī)則在任何一個邏輯等式中，如將等式兩邊所有出現(xiàn)某一變量的地方都用同一函數(shù)式替代，則等式仍然成立。這個規(guī)則就是代入規(guī)則。代入規(guī)則擴(kuò)大了邏輯等式的應(yīng)用范圍。例如 已知 A B A B ，如用 B· C 來代替等式中的，則等式仍成立，故有：ABC ABC ABC2. 對偶規(guī)則將某一邏輯表達(dá)式中的“· ”換成“ +”、 “ +”換成“·” ； “ 0”換成“1”， “ 1”換成“0”，就得到一個新的表達(dá)式。這個新的表達(dá)式就是原表達(dá)式的對偶式。如果兩個邏輯式相等，則它們的對偶式也相等。這就是對偶規(guī)則?！纠?

13、114】 已知 A A B A B，求其對偶式。解：利用對偶規(guī)則，可得到A· （ A B） AB 。3. 反演規(guī)則如將某一邏輯式中的“· ”換成“ +”、 “ +”換成“· ” ； “ 0”換成“1”， “ 1”換成“0” ；原變量換成反變量，反變量換成原變量，則所得到的邏輯表達(dá)式稱為原式的反演式。這種變換方法稱為反演規(guī)則。利用反演規(guī)則可以比較容易地求出一個函數(shù)的反函數(shù)?！纠?115】 求函數(shù)=A · B C· D 0 的反函數(shù)。解：利用反演規(guī)則可得：Y （B ） · （ C ） ·【例1116】 證明加法對乘法的分配律：A

14、 BC（A+B ） （ A+C）證：（ A+B ） （ A C）AA AC+AB+BC A AB AC BC （重迭律） A（ 1+B+C） +BC A BC（ 0 - 律）【例1117】 求證 A A B A證：A A B （ A A） （B）（加法對乘法的分配律） 1·（ A）（互補(bǔ)律） A B（ 0律）【例1118】 己知 Y A（ B C D ） B C，求Y解：YA（BCD）BC A（BCD） BC（ A B CD ） （ C ） （A B CD ）（ B+C ） AB （C D） （B C ）若運(yùn)用反演規(guī)則，可直接求出：Y A B （C D） （ B C ）2.2.4 幾

15、種邏輯函數(shù)表示法的轉(zhuǎn)換如前所述，邏輯函數(shù)有多種表示法，它們之間可以相互轉(zhuǎn)換。一、由邏輯表達(dá)式求真值表按照邏輯表達(dá)式，對變量各種可能取值進(jìn)行運(yùn)算，求出對應(yīng)的函數(shù)值，再把變量和函數(shù)值一一對應(yīng)列成表格，即得到真值表?！纠?119】 已知Y AB+ A B ，列出其真值表函數(shù)有兩個變量A、 B，取值有2 4個組合，即：A 0，B0；A0，B1；A1，B0；A=1 ， B=1 。按邏輯表達(dá)式運(yùn)算，分別得Y1 ；Y0；Y0；Y1 。把它們對應(yīng)排列起來，即得到如表B1111 所示的真值表。A BY001010100111表 B1111ABY000011101110表 B1112ABY1Y2001101111

16、0111100表 B1113ABY1Y20000010010111111表 B1114二、由真值表寫邏輯表達(dá)式將真值表中函數(shù)值等于1 的變量組合選出來；對于每一個組合，凡取值為1 的變量寫成原變量，取值為0 的變量寫成反變量，各變量相乘后得到一個乘積項；最后，把各個組合對應(yīng)的乘積項相加，就得到了相應(yīng)的邏輯表達(dá)式?！纠?20】 試根據(jù)表B1112，寫出相應(yīng)的邏輯表達(dá)式。從表中看到，當(dāng)A 0、 B 1 時， Y 1；當(dāng)A 1、 B 0 時 Y 1。因此可寫出相應(yīng)的邏輯表達(dá)式為：Y AB AB真值表還可用來證明一些定理?！纠?121】 試用真值表證明摩根定理A B =A B證：設(shè)上式左邊 Y1，右邊

17、Y2，分別列出相應(yīng)的真值表如表B1113 所示：比較 Y1 和 Y 2，證得A B = A B ?！纠?139】 試用真值表證明A AB=A 。證：令 A AB Y1， A=Y 2，列出真值表如B1114所示。比較 Y1 和 Y 2，證得A AB=A 。2.2.5 邏輯函數(shù)和邏輯圖的轉(zhuǎn)換一、由邏輯圖求得邏輯函數(shù)通常有兩種方法由邏輯圖求得邏輯函數(shù)。一是根據(jù)邏輯圖列出對應(yīng)的真值表，再由真值表寫出邏輯函數(shù)；二是由邏輯圖逐級寫出輸出端的邏輯表達(dá)式?！纠?22】 試求出圖T1119的邏輯表達(dá)式。解法1 ： 根據(jù)變量各種可能的取值，分別求出輸出量 Y1、 Y2 的值，列出對應(yīng)的真值表如表B1115 所示，

18、進(jìn)而可寫出下列邏輯表達(dá)式：Y 1=A B + A B， Y2 AB解法2： 根據(jù)邏輯圖，由輸入到輸出逐級寫出輸出端的邏輯表達(dá)式：G1 AB ， G2 AB ， G3 ABY2G3 ABABY1Y20000011010101101表 B1115Y 1G1G2 AB AB A B AB，通過上例可知，列真值表求邏輯表達(dá)式的方法較為直觀，但變量過多時就十分煩瑣，后一種方法較為簡便?！纠?123】 試寫出圖T1120 的邏輯函數(shù)表達(dá)式。解：G1 AB ， G2 A C， G BCY G1 G2 G3 AB AC BC二、根據(jù)邏輯函數(shù)畫出邏輯圖與、或、非的運(yùn)算組合可實(shí)現(xiàn)邏輯函數(shù)表達(dá)式，相應(yīng)地，通過基本門

19、電路的組合就能得到與給定邏輯表達(dá)式相對應(yīng)的邏輯圖。【例124】 繪出 Y ABC A BC A B 的邏輯圖解：式右項是與運(yùn)算，可用與門實(shí)現(xiàn)；式中的A 和 B 可用非門實(shí)現(xiàn)；Y 是三項之和，可用或門實(shí)現(xiàn)。于是，所得到的邏輯圖見圖T121 ?！纠?25】 試用與非門實(shí)現(xiàn)上例的邏輯關(guān)系。解：Y ABC ABC A B C ABC ABC ABC ABC ABC ABCT1122，圖中，采用反變量直接輸入?！纠?26】 已知 Y( A B C) ( A B C) ( A B C ) ，試用與非門實(shí)現(xiàn)這個邏輯關(guān)解：Y Y (A B C)(A B C)(A B C) (A B C) (A B C) (A

20、 B C) ABC ABC ABC ABC ABC ABC所得到的邏輯圖如圖T1123 所示。2.3 邏輯函數(shù)的化簡用門電路等器件實(shí)現(xiàn)給定邏輯功能時，對給定的邏2.3.1 邏輯函數(shù)的公式化簡法公式化簡法就是運(yùn)用邏輯函數(shù)的基本運(yùn)算法則和基A A 1，A AB=A ， A A B A B，消去多余因子；運(yùn)用A A 1 進(jìn)行拆項或127】 化簡下式，并用與非門實(shí)現(xiàn)其邏輯功能：Y A BC+A B C+AB C +ABC 解：原式（A A ） BC A B C AB C BC A B C AB C BC A B C AC AB C AB BC+AC （ 1+ B ） +AB （ 1+C ） BC+AC

21、+AB BC AC AB BCACAB據(jù)此，所得的邏輯圖如圖T1124 所示。公式化簡法技巧性強(qiáng)，不宜掌握，特別是難于判斷運(yùn)算結(jié)果是否已簡化成項數(shù)最少、每項變量數(shù)目也最少的最簡式。因而，在變量數(shù)目不多于5 時，常用卡諾圖化簡法。2.3.2 邏輯函數(shù)的卡諾圖化簡法一、邏輯函數(shù)的最小項邏輯函數(shù)的最小項，是一個以邏輯變量的原變量或反變量形式組成的乘積項，這個乘積項的因子數(shù)等于全部邏輯變量的個數(shù)，且每個變量都是它的因子。例如，A、 B、 C 三個變量邏輯函數(shù)的最小項共有8個，即 ABC 、 ABC 、 AB C 、 ABC、 A B C 、 A B C、 AB C 、 ABC ，它們均有上述特點(diǎn)。根據(jù)

22、邏輯代數(shù)的基本定律，可以把任意邏輯函數(shù)變成一組最小項之和，這就是最小項表達(dá)式。例如，將Y（A、 B、 C） AB AC 變換為最小項表達(dá)式。運(yùn)用A+ A =1 ，可得：Y（ A、 B、 C） AB （ C C ） AC（ B B ） ABC AB C ABC A B C ABC AB C A B C （7,6,5）這里，是最小項的符號，十進(jìn)制的下標(biāo)恰對應(yīng)最小項的二進(jìn)制碼所表示的十進(jìn)制的數(shù)值，稱為最小項序號。最后的一個求和表達(dá)式，則是以最小項序號代表相應(yīng)最小項的一種簡寫方法。當(dāng)變量數(shù)為時，最小項數(shù)為2 個。二、卡諾圖及其構(gòu)成方法將變量各種狀態(tài)的組合列于表格的最上方和最左端，并劃成2 （為變量數(shù)）

23、個方格就構(gòu)成了卡諾圖。在填寫變量狀態(tài)時,僅允許相鄰兩項只有一個變量的狀態(tài)不同。這里所指的相鄰項，包括把首項和尾項看成相鄰兩項。據(jù)此，得到二變量、三變量的卡諾圖分別如圖T1125（ a） 、 （ b）所示?？梢姡?卡諾圖中每一小格都對應(yīng)著一個最小項。而卡諾圖中的相鄰項是指，一個方格與其上、下、左、右的方格，同一行最左與最右的方格、同一列最上與最下的方格均為相鄰項。有時為了簡便直接用0、 1 表示變量狀態(tài)，用最小項符號mi 代表最小項.例如四變量卡諾圖可如圖 T1126 所示。圖T1127 是五變量卡諾圖。三、卡諾圖化簡法 步驟：（ 1）將邏輯函數(shù)用最小項形式表示，然后畫出該函數(shù)的卡諾圖。若某格對

24、應(yīng)的最小項存在，則在這格內(nèi)填“1”否則填“0”（也可空著不填）。2）在卡諾圖上將相鄰最小項合并。的變量， 將相鄰四個方格合并， 可消除二個出現(xiàn)了“ 0”，“ 1”狀態(tài)的變量，相鄰八個方格合并，可消除三個出現(xiàn)了“ 0”、 “ 1”狀態(tài)的變量。 在合并時，必須注意以下幾點(diǎn)： 合并的小方格數(shù)必須是 2K 個 （K1， 2， 3）； 處于卡諾圖同一行（列）首尾部位的小方格是相鄰的；合并原則是:將相鄰兩個方格合并,即把它們?nèi)υ谝黄饡r可以消去一個出現(xiàn)了“0”、 “ 1”狀態(tài) 畫包圍圈時使它包含的方格數(shù)最多； 任一包圍圈必須含有不同于其它包圍圈的小方格； 一個小方格可以被包圍多次。（ 3）將各包圍圈合并的結(jié)

25、果相加，得到邏輯函數(shù)的最簡表達(dá)式。【例 128】 用卡諾圖化簡邏輯表達(dá)式：Y（A B C） （ A B C） （ A B C ）解：Y A BC A BC AB C O ABC ， 共有三個變量，繪得相應(yīng)的卡諾圖如圖T1128 所示。按上述步驟（2）化簡，得Y AB BC AC。129】 運(yùn)用卡諾圖化簡下式：Y(A、 B、 C、 D) B CD BC ACD A B C A BC D解： 將上式寫成最小項之和，即Y BCD(A A) BC(A A)(D D ) ABC(D D ) ABCD ACD(B B) ABCD ABCD ABCD ABCD ABCD ABCD ABCD ABCD ABC

26、D1+ 3+ 4+ 5+ 9+ 10+ 11+ 12+ 13(1,3,4,5,9,10,11,12,13)畫得相應(yīng)的卡諾圖如圖T1129 所示，化簡的最后結(jié)果為：Y BC BD ABC【例1130】 用卡諾圖化簡Y（ A、 B、 C、 D）（0,2,5,8,9,10,11）解： 畫得相應(yīng)的卡諾圖如圖T1130 所示。圖中，四個角是相鄰項，可以合并，序號為5 的項無相鄰項，單獨(dú)寫出，于是：Y BD AB A BCD2.4 OC 門和三態(tài)門2.4.1 OC 門1、 OC 門的工作原理實(shí)際使用中,有時需要兩個或兩個以上與非門的輸出端連接在同一條導(dǎo)線上，將這些與非門上的數(shù)據(jù) （狀態(tài)）用同一條導(dǎo)線輸送出去。因此，需要一種新的與非門電路來實(shí)現(xiàn)線與邏輯，這種門電路就是集電