矩陣特征值計(jì)算方法初探

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上學(xué)號： 本科畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）( 2014 屆) 矩陣特征值計(jì)算方法初探 院 系 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院 專 業(yè) 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) 姓 名 段毓松 指導(dǎo)教師 潘根安 職 稱 副教授 專心-專注-專業(yè)摘 要矩陣是高等數(shù)學(xué)中的常用工具，在很多方面都有重要運(yùn)用，而矩陣特征值問題在許多領(lǐng)域的研究中有重要的地位，是矩陣學(xué)習(xí)中的一個(gè)重要知識，也是一個(gè)基礎(chǔ)性知識，本文通過引入矩陣特征值概念及相關(guān)性質(zhì)，介紹矩陣特征值的一些基本計(jì)算方法，研究不同種類矩陣的計(jì)算方法和最優(yōu)計(jì)算方法.其中求解矩陣的普通方法包括傳統(tǒng)的求法以及初等變換求矩陣的特征值方法；其他的一些優(yōu)化方法包括冪法、反冪法、Jacobi方法

2、、QR方法.在實(shí)際的求解矩陣特征值的問題，根據(jù)矩陣的不同特點(diǎn)，選擇最快速的方法求解，從而達(dá)到最優(yōu)化解決實(shí)際問題.關(guān)鍵詞：矩陣；矩陣特征值；冪法；冪法加速法；反冪法；Jacobi方法；QR方法ABSTRACTMatrix is the common tools in higher mathematics, have important application in many ways, the matrix eigenvalue problem in many areas of research have important status, is an important matrix of l

3、earning knowledge, is also a fundamental knowledge, this paper introduced a concept of characteristic value of matrix and related properties, introduces some basic calculation method of matrix eigenvalues, the research about the different types of matrix calculation method and the optimal calculatio

4、n. The common method of solving matrix including traditional calculation methods and the elementary transformation of matrix eigenvalue method; Some of the other optimization methods including power method, inverse power method, Jacobi method and QR method. In the actual solving matrix eigenvalue pr

5、oblem, according to the different characteristics of the matrix, choose the fastest way to solve, so as to achieve the optimum solution actual problem.Key words: matrix; matrix eigenvalue; power method; inverse power method; Jacobi method; QR method 目 錄1 引言矩陣的特征值問題是高等數(shù)學(xué)中一個(gè)經(jīng)典的問題,本文首先介紹矩陣特征值的概念及相關(guān)性質(zhì)，接

6、著引出求特征值的常用方法，在此基礎(chǔ)上研究改進(jìn)的新方法，對各種方法進(jìn)行適用性及復(fù)雜性的比較，總結(jié)出不同類矩陣特征值的適用求法和最佳求法,以便使矩陣特征值的實(shí)際求解過程達(dá)到最優(yōu)化.矩陣特征值問題不僅可直接解決數(shù)學(xué)中諸如非線性規(guī)劃、優(yōu)化、常微分方程，以及各種數(shù)學(xué)計(jì)算問題，而且在結(jié)構(gòu)力學(xué)、工程設(shè)計(jì)、計(jì)算物理和量子力學(xué)中具有重要作用1，本文通過對矩陣特征值問題的探討，列出一些矩陣特征值的計(jì)算方法.加強(qiáng)對矩陣特征值問題的求理解，使得在以后的學(xué)習(xí)中，能夠靈活的運(yùn)用各種方法來計(jì)算矩陣的特征值.所以熟練掌握矩陣特征值的一些重要結(jié)論和計(jì)算方法是非常必要的.2 矩陣特征值的定義以及性質(zhì)2.1 矩陣特征值與特征向量的

7、定義給定一個(gè)代表維向量空間上的線性變換的矩陣，我們希望某個(gè)非零向量和標(biāo)量，使,標(biāo)量稱為特征值，稱為相應(yīng)的特征向量2.2.2 矩陣特征值的性質(zhì)設(shè)為的特征值, 且，則有（1）為的特征值；（2）為的特征值，即；（3）為的特征值，即； （4）設(shè)是一非奇異矩陣，, 且為的特征值，即；（5）和特征值相同.3 矩陣特征值的一般求法3.1 傳統(tǒng)方法求解矩陣特征值，即求解中的，由有，其中是單位矩陣，0為零矩陣.又為非零矩陣，即有，求得的全部值，即為的特征值.例1：求矩陣的特征值.解:由題意得，由知道的特征值，.3.2 初等變換求矩陣的特征值定理：相似矩陣的特征值相同3.證明：設(shè), 為兩個(gè)階矩陣. 若,則存在可逆

8、矩陣,使得,因而有.由于為可逆矩陣,則有.所以相似矩陣有相同的特征值.又任意的復(fù)矩陣一定相似于一上（下）三角陣，所以求矩陣的特征值只要求對應(yīng)的相似上（下）三角矩陣的特征值，上（下）三角陣的特征值即為對角線元素，從而求得原矩陣的特征值.例2：求的特征值4.解：,所以特征值 4 矩陣特征值的其他求解方法當(dāng)矩陣階數(shù)較大時(shí)求解矩陣的特征值的難度就會(huì)加大，求解特征方程是非常復(fù)雜的,這時(shí)就需要了解求矩陣特征值一些其他方法了.4.1 冪法冪法是一種計(jì)算大型稀疏矩陣主特征值迭代法.設(shè)矩陣可對角化，其特征向量分別為，,若A的主特征值全部為實(shí)根，并有:5.任意取一始值向量，由矩陣A構(gòu)造如下向量序列是冪法的基本思路

9、.,稱為迭代向量.又（設(shè)）則.其中=，又，則，有.這說明序列越來越接近A對應(yīng)的特征向量，或者說當(dāng)k充分大時(shí)，即迭代向量為的特征向量的相似向量(除了一個(gè)因子外).再看主特征值的計(jì)算， 的第個(gè)分量用來表示，有，故 .這說明兩個(gè)相鄰迭代向量的比收斂于矩陣主特征值.這種由已知非零向量以及矩陣A的乘冪構(gòu)造向量序列用來計(jì)算A的主特征值方法稱為冪法.在以上條件下，如下進(jìn)行冪法：取，構(gòu)造以下向量序列： ,向量的絕對值最大的分量為.由上面的式子可以得到：, ，,故只要求解,就知道矩陣的主特征值了.例3：用冪法求解的主特征值. 解：取初值向量:K5(0.7651,0.6674,1)2.10(0.7494,0.65

10、08,1)2.15(0.7483,0.6497,1)2.20(0.7482,0.6497,1)2.矩陣A的主特征值.用冪法計(jì)算矩陣的主特征值時(shí),比值 來主要決定其收斂速度，當(dāng)接近1時(shí)，可能收斂會(huì)很慢.引入，以加速收斂的方法來計(jì)算.是參數(shù)，若是的特征值，則的特征值是，又的特征向量等于的.選合適的數(shù)來計(jì)算的主特征值，使為的主特征值，且有 .這時(shí)會(huì)加快求矩陣主特征值的收斂速度.以上這種求矩陣主特征值的方法叫原點(diǎn)平移法. 例如設(shè)有特征值，比值.做變換, 則的特征值為.由冪法計(jì)算的主特征值的收斂速度的比值為.雖能夠選擇有利的值來加速冪法, 但參數(shù)的選擇過程是困難的.當(dāng)?shù)奶卣髦禐閷?shí)數(shù)，如何選取來提高冪法的

11、計(jì)算速度.設(shè)的特征值都是實(shí)數(shù)，且滿足無論如何， 或?yàn)榈闹魈卣髦?計(jì)算和時(shí)，應(yīng)選擇適當(dāng)?shù)臐M足 ,且使收斂速度的比值.當(dāng)時(shí)，得，此時(shí)最小，收斂速度的比值是.當(dāng)?shù)奶卣髦刀际菍?shí)數(shù)，且有.能大致估計(jì),的值，故可確定的近似值.計(jì)算時(shí)，選取.使冪法計(jì)算的速度加快.4.2 反冪法反冪法用來計(jì)算矩陣按模計(jì)算最小值及其特征向量或一個(gè)給定近似值的特征向量.設(shè)為非奇異矩陣，A的特征值依次記，相應(yīng)的特征向量為，.則的特征值為，對應(yīng)的特征向量為，.因此利用計(jì)算的按摩最大的特征值的問題來計(jì)算A的按模最小的特征值的問題.對于引、利用冪法迭代（稱反冪法），可得為的主特征值，則可求出A的按摩最小的特征值.取任意初始向量，構(gòu)造向量

12、序列迭代向量可以通過解線性方程求得.4.3 Jacobi方法吉文斯變換：設(shè)，則變換，或者是平面向量的一個(gè)旋轉(zhuǎn)變換，其中為正交矩陣6.中的變換，其中，而.叫做中平面的旋轉(zhuǎn)變換，也叫吉文斯變換稱為平面旋轉(zhuǎn)矩陣.若為對稱矩陣，是一平面旋轉(zhuǎn)矩陣，則中的元素計(jì)算公式如下：,.而且不難驗(yàn)證.定理：若是對稱矩陣，且是正交矩陣，則有.證明：設(shè)為的特征值，則.另外，矩陣的特征值也是，.因此得證.設(shè)的非對角元素都不為，可選平面旋轉(zhuǎn)矩陣，使的非對角元素都不為.由元素的計(jì)算公式，選擇使.如果表示的對角線平方和，用表示的非對角線的平方和，則對由，和定理得到，.知的對角元素的平方和比的增大了，而的非對角元素的平方相對減少

13、了，這就是Jacobi方法求矩陣特征值的依據(jù).Jacobi方法計(jì)算過程.先選擇中非對角元中絕對值最大的.則，否則已經(jīng)對角化了.由選擇，并使?jié)M足的.算出，再選擇，再算,并進(jìn)行下去，不斷對旋行一系列平面變換消去絕對值最大的非對角線元素，當(dāng)?shù)姆菍蔷€元素變?yōu)槌浞中〖赐Ｖ?定理：設(shè)是對稱矩陣，對進(jìn)行以上變換則有.證明：設(shè)，由于，,則.反復(fù)利用上式，即可得到.因此.設(shè)m充分大時(shí)候，有,是對角矩陣， 所以的吉斯特征值等于的對角線元素.例4：用Jacobi方法求的特征值.解：先取則有，.所以，.再取可得，,，.連續(xù)重復(fù)可得.則的近似特征值已經(jīng)求出.4.4 QR方法計(jì)算簡單低階矩陣的全部特征值一般用QR方法.

14、 原理：任意非奇異實(shí)矩陣必可分解成一個(gè)上三角矩陣R和一個(gè)正交矩陣Q的乘積，當(dāng)R的對角元素符號確定時(shí)，分解唯一8.由QR分解通過迭代格式是QR方法的要領(lǐng),將化成相似的上三角矩陣，可得到矩陣的所有特征值.由，即.于是，即與相似.同理可知，即與相似.現(xiàn)在求上海森伯格矩陣以及對稱三角陣全部特征值時(shí),一般用QR方法求解.對于矩陣 ，由得到上海森伯格陣(豪斯霍爾德方法),接著由方法計(jì)算的全部特征值.設(shè)，且對進(jìn)行分解，即其中為上三角陣, 為正交陣, 于是可得到一新矩陣.則由通過正交相似變換可轉(zhuǎn)化成，與有相同的特征值. 再對進(jìn)行分解，得到一個(gè)新矩陣,重復(fù)此過程就可得到如下矩陣序列：設(shè),將進(jìn)行分解,作矩陣, 算

15、法是對矩陣進(jìn)行分解，按上述過程構(gòu)造矩陣序列的過程.如果是一個(gè)非奇異矩陣，可利用算法得出.定理：（基本方法）設(shè)，構(gòu)造算法9：,記，則有（1）相似于，即；（2）；（3）的分解式為.證明：（1），（2）顯然，證明（3）.用歸納法，顯然當(dāng)時(shí)有，設(shè)有分解式，于是 用方法分解,，此中因此那么也就是說可以按照下面方法求得：左變換（上三角陣）；右變換.例5：. 解：矩陣，取,.即為上三角矩陣且與相似，對進(jìn)行分解.記,.,于是.再取.于是.第一次迭代得.重復(fù)上述過程11次得到.，.5 結(jié)論本文中，第一章介紹了矩陣特征值的定義和基本性質(zhì)，第二章主要介紹求解矩陣特征值的傳統(tǒng)方法和初等變換法，適合用這兩種方法來計(jì)算低

16、階簡單的矩陣特征值,接著對于矩陣特征值的一些其他算法，如冪法，反冪法，雅克比方法，和QR方法進(jìn)行了闡述.冪法和反冪法是迭代法,只用于求模最大和模最小的特征值, 雅可比方法則是經(jīng)過平面旋轉(zhuǎn)矩陣構(gòu)成的正交變換將實(shí)對稱矩陣一步一步變成對角矩陣,由對角矩陣而得到與原矩陣全部特征值,QR方法是變換法.參考文獻(xiàn)1 何登旭等用改進(jìn)遺傳方法求解矩陣實(shí)特征值J數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識，2007,15.1-22 張威，賀華，冷愛萍科學(xué)計(jì)算導(dǎo)論(第二版)M清華大學(xué)出版社，2005,10.3 徐樹方矩陣計(jì)算的理論與方法M. 北京: 北京大學(xué)出版社，1995.4 張和瑞，郝鈵新高等代數(shù)(第五版)M高等教育出版社，2007,6.5 Golub G.H.,Van Loan C.F矩