兩個集合的容斥關(guān)系公式

1、歐陽文創(chuàng)編兩個集合的容斥關(guān)系公式：AUB=A+B - AAB （G:重合的部分）時間:2021.03. 12創(chuàng)作：歐陽文三個集合的容斥關(guān)系公式：AUBUC二A+B+C - AAB -BQC - CAA + AABAC詳細推理如下：1、等式右邊改造二 【（A+B - AQB） +C - BAC-CAA + AABAC2、文氏圖分塊標記如右圖圖：1 2 4 5構(gòu)成A, 2 3 5 6構(gòu) 成B, 4 5 6 7構(gòu)成C3、等式右邊（）里指的是下圖的1+2 + 3+4+ 5 + 6六部 分：那么AUBUC還缺部分7。4、等式右邊【】號里+C （4+ 5+ 6+ 7）后，相當于AUBUC多力口了 4+ 5

2、+ 6三部分，減去BQC （即5 + 6兩部分）后，還多加了部分4。5、等式右邊里減去CAA （即4 + 5兩部分）后，AUBUC又多減了部分5 ,則加上AABAC （即5 ）剛好是AUBUCo編輯本段歐陽文創(chuàng)編歐陽文創(chuàng)編容斥原理1如果被計數(shù)的事物有A、B兩類，那么，A類B類元素個數(shù) 總和二屬于A類元素個數(shù)+屬于B類元素個數(shù)一既是A類又是 B類的元素個數(shù)。例1 一次期末考試，某班有15人數(shù)學(xué)得滿分，有12人語 文得滿分，并且有4人語、數(shù)都是滿分，那么這個班至少有一 門得滿分的同學(xué)有多少人？分析 依題意，被計數(shù)的事物有語、數(shù)得滿分兩類，“數(shù)學(xué) 得滿分”稱為“A類元素”，“語文得滿分”稱為“B類元

3、 素”，“語、數(shù)都是滿分”稱為“既是A類又是B類的元 素”，“至少有一門得滿分的同學(xué)”稱為“A類和B類元素個 數(shù)”的總和。答案15+12-4 二 23試一試 電視臺向100人調(diào)查前一天收看電視的情況，有62 人看過2頻道，34人看過8頻道，其中11人兩個頻道都看 過。兩個頻道都沒看過的有多少人？100-(62+34-11)=15編輯本段容斥原理2歐陽文創(chuàng)編歐陽文創(chuàng)編如果被計數(shù)的事物有A、B、C三類，那么，A類和B類和C 類元素個數(shù)總和二A類元素個數(shù)+ B類元素個數(shù)+C類元素個數(shù) 既是A類又是B類的元素個數(shù)一既是A類又是C類的元素個 數(shù)一既是B類又是C類的元素個數(shù)+既是A類又是B類而且是C 類的

4、元素個數(shù)。例2 某校六（1）班有學(xué)生45人，每人在暑假里都參加體 育訓(xùn)練隊，其屮參加足球隊的有25人，參加排球隊的有22 人，參加游泳隊的有24人，足球、排球都參加的有12人，足 球、游泳都參加的有9人，排球、游泳都參加的有8人，問： 三項都參加的有多少人？分析：參加足球隊的人數(shù)25人為A類元素，參加排球隊人 數(shù)12人為B類元素，參加游泳隊的人數(shù)24人為C類元素，既 是A類又是B類的為足球排球都參加的12人，既是B類又C類 的為足球游泳都參加的9人，既是C類又是A類的為排球游泳 都參加的8人，三項都參加的是A類B類C類的總和設(shè)為Xo 注意：這個題說的每人都參加了體育訓(xùn)練隊，所以這個班的總 人數(shù)

5、既為A類B類和C類的總和。答案：25+22+24-12-9-8+X二45 解得 X二3例3 在1到1000的自然數(shù)屮，能被3或5整除的數(shù)共有多 少個？不能被3或5整除的數(shù)共有多少個？歐陽文創(chuàng)編歐陽文創(chuàng)編分析：顯然，這是一個重復(fù)計數(shù)問題（當然，如果不怕麻煩你 可以分別去數(shù)3的倍數(shù)，5的倍數(shù)）。我們可以把“能被3或5 整除的數(shù)”分別看成A類元素和B類元素，能“同時被3或5 整除的數(shù)（15的倍數(shù)）”就是被重復(fù)計算的數(shù)，即“既是A類 又是B類的元素”。求的是“A類或B類元素個數(shù)”。現(xiàn)在我 們還不能直接計算，必須先求出所需條件。10004-3=3331,能被3整除的數(shù)有333個（想一想,這是 為什么？）

6、同理，可以求出其他的條件。例4 分母是1001的最簡分數(shù)一共有多少個？分析：這一題實際上就是找分子中不能與1001進行約分的 數(shù)。由于1001=7X11X13,所以就是找不能被7, 11, 13整除 的數(shù)。解答:T1001中，有7的倍數(shù)1001/7 = 143 （個）；有11的倍數(shù) 1001/11 二 91 （個），有 13 的倍數(shù) 1001/13 二 77（個）；有 7´ 11=77 的倍數(shù) 1001/77 = 13 （個），有 7´13=91 的倍數(shù) 1001/91 = 11 （個），有 ll´ 13=143 的倍數(shù) 1001/4

7、3 = 7 （個）.有 1001 的倍數(shù) 1 個.由容斥原理知：在1'1001中，能被7或11或13整除的數(shù)有 （143+91+7）-（13+11+7）+1 二281（個），從而不能被 7、11 或 13 整 除的數(shù)有1001-281二720（個）.也就是說，分母為1001的最簡分 數(shù)有720個.例5歐陽文創(chuàng)編歐陽文創(chuàng)編某個班的全體學(xué)生在進行了短跑、游泳、投擲三個項目的 測試后，有4名學(xué)生在這三個項目上都沒有達到優(yōu)秀，其余每 人至少有一項達到了優(yōu)秀，達到了優(yōu)秀的這部分學(xué)生情況如下 表：游泳投擲投擲游泳.投擲求這個班的學(xué)生共有多少人？分析：這個班的學(xué)生數(shù)，應(yīng)包括達到優(yōu)秀和沒有達到優(yōu)秀 的

8、。試一試：一個班有42人，參加合唱隊的有30人，參加美術(shù)組的有25人，有5人什么都沒有參加，求兩種都參加的有多少人？在一根長的木棍上有三種刻度線，第一種刻度線將木棍分成10等份，第二種將木棍分成12等份，第三種將木棍分成15等份。如果沿每條刻度線將木棍鋸斷，木棍總共被鋸成多少段？分析很顯然，要計算木棍被鋸成多少段，只需要計算出木棍上共有多少 條不同的刻度線，在此基礎(chǔ)上加1就是段數(shù)了。若按將木棍分成10等份的刻度線鋸開，木棍有9條刻度線。在此 木棍上加上將木棍分成12等份的11條刻度線，顯然刻度線有重復(fù) 的，如5/10和6/12都是1/2。同樣再加上將木棍分成15等份的刻度歐陽文創(chuàng)編歐陽文創(chuàng)編線，也是如此。所以，我們應(yīng)該按容斥原理的方法來解決此問題。用容 斥原理的那一個呢？想一想，被計數(shù)的事物有那幾類？每一類的元素個 數(shù)是多少？解答不計木棍的兩個端點，木棍的內(nèi)部等分點數(shù)分別是9, 11, 14（相 應(yīng)于10, 12, 15等分），共計34個由于5, 6的最小公倍數(shù)為30,所以10與12等份的等分點在30單位處相重，必須從34中減1.又由于4, 5的最小公倍數(shù)為20,所以12與15等份的等分點在20單位和40單位兩處相重，必須再減去2,同樣，6,