二次函數(shù)的三種表達形式

1、二次函數(shù)的三種表達形式：一般式：y=ax2+bx+c(aw0,a、b、c為常數(shù)),頂點坐標為2,而把三個點代入函數(shù)解析式得出一個三元一次方程組,就能解出a、b、c的值.頂點式：y=a(x-h)2+k(a0,a>h、k為常數(shù)),頂點坐標為對稱軸為直線x=h,頂點的位置特征和圖像的開口方向與函數(shù)y=ax2的圖像相同,當(dāng)x=h時,y最值二k.有時題目會指出讓你用配方法把一般式化成頂點式.例：二次函數(shù)y的頂點(1,2)和另一任意點(3,10),求y的解析式.解：設(shè)y=a(x-1)2+2,把(3,10)代入上式,解得y=2(x-1)2+2.注意：與點在平面直角坐標系中的平移不同,二次函數(shù)平移后的頂

2、點式中,h>0時,h越大,圖像白對稱軸離y軸越遠,且在x軸正方向上,不能因h前是負號就簡單地認為是向左平移.具體可分為下面幾種情況：當(dāng)h>0時,y=a(x-h)2的圖象可由拋物線y=ax2向右平行移動h個單位得到；當(dāng)h<0時,y=a(x-h)2的圖象可由拋物線y=ax2向左平行移動|h|個單位得到；當(dāng)h>0,k>0時,將拋物線y=ax2向右平行移動h個單位,再向上移動k個單位,就可以得到y(tǒng)=a(x-h)2+k的圖象；當(dāng)h>0,k<0時,將拋物線y=ax2向右平行移動h個單位,再向下移動|k|個單位可得到y(tǒng)=a(x-h)2+k的圖象；當(dāng)h<0,k&

3、gt;0時,將拋物線y=ax2向左平行移動|川個單位,再向上移動k個單位可得到y(tǒng)=a(x-h)2+k的圖象；當(dāng)h<0,k<0時,將拋物線y=ax2向左平行移動|川個單位,再向下移動兇個單位可得到y(tǒng)=a(x-h)2+k的圖象.交點式：y=a(x-xi)(x-x2)(a0)僅限于與x軸即y=0有交點時的拋物線,即b2-4ac>0.拋物線與x軸即y=0有交點A(xi,0)和B(x2,0),我們可設(shè)y=a(x-xi)(x-x2),然后把第三點代入x、y中便可求出a.由一般式變?yōu)榻稽c式的步驟：二次函數(shù),.xi+x2=-b/a,xi?x2=c/a(由韋達定理得),.y=ax2+bx+c=

4、a(x2+b/ax+c/a)=ax2-(xi+x2)x+xi?X2=a(x-xi)(x-x2).重要概念：a,b,c為常數(shù),aw0,且a決定函數(shù)的開口方向.a>0時,開口方向向上；a<0時,開口方向向下.a的絕對值可以決定開口大小.a的絕對值越大開口就越小,a的絕對值越小開口就越大.能靈活運用這三種方式求二次函數(shù)的解析式；能熟練地運用二次函數(shù)在幾何領(lǐng)域中的應(yīng)用；能熟練地運用二次函數(shù)解決實際問題.二次函數(shù)解釋式的求法：就一般式y(tǒng)=ax2+bx+c(其中a,b,c為常數(shù),且aw0)而言,其中含有三個待定的系數(shù)a,b,c.求二次函數(shù)的一般式時,必須要有三個獨立的定量條件,來建立關(guān)于a,b

5、,c的方程,聯(lián)立求解,再把求出的a,b,c的值反代回原函數(shù)解析式,即可得到所求的二次函數(shù)解析式./1 .巧取交點式法：知識歸納：二次函數(shù)交點式：y=a(xxi)(xX2)(a刈)xi,X2分別是拋物線與x軸兩個交點的橫坐標.拋物線與x軸兩個交點的橫坐標求二次函數(shù)解析式時,用交點式比擬簡便.典型例題一：告訴拋物線與x軸的兩個交點的橫坐標,和第三個點,可求出函數(shù)的交點式.例：拋物線與x軸交點的橫坐標為-2和1,且通過點(2,8),求二次函數(shù)的解析式.點撥：解設(shè)函數(shù)的解析式為y=a(x+2)(x-1),;過點(2,8),.8=a(2+2)(2-1).解得a=2,拋物線的解析式為：y=2(x+2)(x

6、-1),即y=2x2+2x-4.典型例題二：告訴拋物線與x軸的兩個交點之間的距離和對稱軸,可利用拋物線的對稱性求解.例：二次函數(shù)的頂點坐標為3,-2,并且圖象與x軸兩交點間的距離為4,求二次函數(shù)的解析式.點撥：在拋物線與x軸兩交點的距離和頂點坐標的情況下,問題比擬容易解決.由頂點坐標為3,-2的條件,易知其對稱軸為x=3,再利用拋物線的對稱性,可知圖象與x軸兩交點的坐標分別為1,0和5,0.此時,可使用二次函數(shù)的交點式,得出函數(shù)解析式.2 .巧用頂點式：頂點式y(tǒng)=axh2+ka*0,其中h,k是拋物線的頂點.當(dāng)拋物線頂點坐標或?qū)ΨQ軸,或能夠先求出拋物線頂點時,設(shè)頂點式解題十分簡潔,由于其中只有

7、一個未知數(shù)a.在此類問題中,常和對稱軸,最大值或最小值結(jié)合起來命題.在應(yīng)用題中,涉及到橋拱、隧道、彈道曲線、投籃等問題時,一般用頂點式方便.典型例題一：告訴頂點坐標和另一個點的坐標,直接可以解出函數(shù)頂點式.例：拋物線的頂點坐標為-1,-2,且通過點1,10,求此二次函數(shù)的解析式.點撥：解.頂點坐標為(-1,-2),故設(shè)二次函數(shù)解析式為y=a(x+1)2-2(aw0).把點(1,10)代入上式,得10=a(1+1)2-2.a=3o一二次函數(shù)的解析式為y=3(x+1)2-2,即y=3x2+6x+1.典型例題二：七4R占X=_ii:_如果a>0,那么當(dāng)2口時,y有最小值且y最小=44;h41白

8、-七"x=-如果a<0,那么,當(dāng)乙堂時,y有最大值,且y最大=4段0告訴最大值或最小值,實際上也是告訴了頂點坐標,同樣也可以求出頂點式.例：二次函數(shù)當(dāng)x=4時有最小值一3,且它的圖象與x軸兩交點間的距離為6,求這個二次函數(shù)的解析式.點撥：析解二次函數(shù)當(dāng)x=4時有最小值一3,頂點坐標為4,-3,對稱軸為直線x=4,拋物線開口向上.由于圖象與x軸兩交點間的距離為6,根據(jù)圖象的對稱性就可以得到圖象與x軸兩交點的坐標是1,0和7,0.拋物線的頂點為4,-3且過點1,0.故可設(shè)函數(shù)解析式為y=ax423.將1,0代入得0=a1-42-3,解得a=13.y=13x-42-3,即y=13x2

9、83x+73.典型例題三：告訴對稱軸,相當(dāng)于告訴了頂點的橫坐標,綜合其他條件,也可解出.例如：1二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點A3,-2和B1,0,且對稱軸是直線x=3.求這個二次函數(shù)的解析式.2關(guān)于x的二次函數(shù)圖象的對稱軸是直線x=1,圖象交y軸于點0,2,且過點-1,0,求這個二次函數(shù)的解析式.3拋物線的對稱軸為直線x=2,且通過點1,4和點5,0,求此拋物線的解析式.(4)二次函數(shù)的圖象的對稱軸x=-4,且過原點,它的頂點到x軸的距離為4,求此函數(shù)的解析式.典型例題四：利用函數(shù)的頂點式,解圖像的平移等問題非常方便.例：把拋物線y=ax2+bx+c的圖像向右平移3個單位,再向下平移2個單位,所得圖像的解析式是y=