考研數(shù)學(xué)真題答案

1、2015年全國(guó)碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)一試題答案一、選擇題:18小題，每小題4分，共32分.下列每題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)符合題目要求的，請(qǐng)將所選項(xiàng)前的字母填在答題紙指定位置上.1、設(shè)函數(shù)f(x)在(-,+)連續(xù)，其2階導(dǎo)函數(shù)f(x)的圖形如下圖所示，則曲線yf(x)的拐點(diǎn)個(gè)數(shù)為()(A) 0(B)1(C) 2(D)3【答案】(C)【考點(diǎn)】拐點(diǎn)的定義【難易度】【詳解】拐點(diǎn)出現(xiàn)在二階導(dǎo)數(shù)等于0,或二階導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)上，并且在這點(diǎn)的左右兩側(cè)二階導(dǎo)數(shù)異號(hào)，因此，由f(x)的圖形可知，曲線yf(x)存在兩個(gè)拐點(diǎn)，故選(C).2、設(shè)y1e2xx1ex是二階常系數(shù)非齊次線性微分方程yaybyce

2、x的一個(gè)特解,23則()(A) a 3,b1,c1.(B) a 3,b 2,c1.(D) a3,b2,c1.(D)a3,b2,c1.【答案】(A)【考點(diǎn)】常系數(shù)非齊次線性微分方程的解法【難易度】1 ”1V0【詳解】e2x,-ex為齊次方程的解，所以2、1為特征方程2+ab0的根，從而2 3a123,b122,再將牛I解yxex代入方程y3y2ycex得：c1.3、若級(jí)數(shù)an條件收斂，則xn 1J3與x3依次為哥級(jí)數(shù)nanx1n的:n1(A)收斂點(diǎn)，收斂點(diǎn)(B)收斂點(diǎn)，發(fā)散點(diǎn)(C)發(fā)散點(diǎn)，收斂點(diǎn)(D)發(fā)散點(diǎn)，發(fā)散點(diǎn)【答案】(B)【考點(diǎn)】級(jí)數(shù)的斂散性【難易度】【詳解】因?yàn)閍n條件收斂，故x2為哥級(jí)

3、數(shù)n1anx1n的條件收斂點(diǎn)，進(jìn)而得n1anx1n的收斂半徑為1,收斂區(qū)間為0,2,又由于哥級(jí)數(shù)逐項(xiàng)求導(dǎo)不改變收斂區(qū)間，故n1nanx1n的收斂區(qū)間仍為n1點(diǎn)、發(fā)散點(diǎn).3依次為哥級(jí)數(shù)nann1x1n的收斂4、設(shè)D是第一象限中曲線2xy1,4xy1與直線yx,yJ3x圍成的平面區(qū)域,函數(shù)f(x,y)在D上連續(xù)，則f(x,y)dxdyD1(A) 2dsin12f(rcos,rsin)rdr42sin21(C)3dsin12f(rcos,rsin)dr42sin2【答案】(D)【考點(diǎn)】二重積分的極坐標(biāo)變換【難易度】1(B) 2dsi；2f(rcos,rsin)rdr42sin21(D3d、sin2f

4、(rcos,rsin)dr42sin2【詳解】由yx得,；由yJ3x得，2.由2xy1得，2rcossin1,r由4xy1得,4r2cossin1,r1.2sin2所以f(x,y)dxdyD13dsiVf(rcos,rsin)rdr42sin21115、設(shè)矩陣A12a,b14a21d,若集合d21,2,則線性方程組Axb有無(wú)窮多個(gè)解的充分必要條件為(A) a,d(B) a,d(C)a,d(口a,d【答案】(D)【考點(diǎn)】非齊次線性方程組的解法【難易度】1111【詳解】A,b12ad2214adAx b有無(wú)窮多解R(A) R(A,b) 3a1或a2且d1或d26、設(shè)二次型f(x,X2,X3)在正交

5、變換xPy下的標(biāo)準(zhǔn)形為2y；22y2 V3,其中p (ee,e3)，若Q(e, a,0),則 f(X1,X2,X3)在正交變換 xQy下的標(biāo)準(zhǔn)形為(A)2y： y2 vy(C) 2y： y2 y；【答案】(A)【考點(diǎn)】二次型【難易度】222(B) 2y1 V2 yy222(D) 2y1 V2 yy【詳解】由x Py,故fXT AxyT(PTAP)y222_ T _2y1 y2 yy 且：P AP2000 100 01PC,QTAQCT(PTAP)CTATT222所以fxAxy(QAA)y2y1y2yy,故選7、若A,B為任意兩個(gè)隨機(jī)事件，則(A) P(AB) P(A)P(B)(B) P(AB)

6、 P(A)P(B)(C) P(AB)P(A)P(B)(D)P(AB)P(A)P(B)22【答案】(C)【考點(diǎn)】【難易度】【詳解】故選8、設(shè)隨機(jī)變量X,Y不相關(guān)，且EX2,EY1,DX3,則E(A)-3(B)【答案】(D)【考點(diǎn)】【難易度】【詳解】(C)-5(D)5EX2XY2XEX2EXY2EXDXE22EX二、填空題：914小題，每小題4分，共24分.請(qǐng)將答案寫在答題紙指定位置上.9、則0lncosx2x12【考點(diǎn)】極限的計(jì)算【難易度】【詳解】limx0Incosxlimln(1x0cosx1)-2xcosx12x12x22x10、7sinx【考點(diǎn)】積分的計(jì)算【難易度】x)dx【詳解】2(s

7、n工-21cosxx)dx2o2xdx11、若函數(shù)zz(x,y)由方程ezxyz+xcosx2確定,則dz(0,1)【考點(diǎn)】隱函數(shù)求導(dǎo)【難易度】【詳解】令F(x, y,z)xyzxcosx2,貝uFxyz1sinx,Fy又當(dāng)x0,y1時(shí)，z0,所以_zx(0,1)Fxz1,Fzy(0,1)Fy一0,因而dzFz(0,1)dx12、設(shè)是由平面xyz1與三個(gè)坐標(biāo)平面所圍成的空間區(qū)域，則(x2y3z)dxdydz入1【答案】14【考點(diǎn)】三重積分的計(jì)算【難易度】【詳解】由輪換對(duì)稱性，得1o(x+2y+3z)dxdydz=6qzdxdydz=60zdz0dxdyWWDz其中Dz為平面z=z截空間區(qū)域W所

8、得的截面，其面積為1(1-z)2.所以1o(x+2y+3z)dxdydz=6qzdxdydz=6并WW2(1-z)2dz=32z2+z)dz=：20L-12LMMO00L13、n階行列式00L0202MM22-12【答案】2n12【考點(diǎn)】行列式的計(jì)算【難易度】【詳解】按第一行展開(kāi)得2-12R+(-1廣#2n-J./討T2-L2(2%+2)+2=2iD2+22+2=2"+2,-+-+2=2n+1-214、設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)服從正態(tài)分布N(1,0,1,1,0),則P(XYY0)入1【答案】12【考點(diǎn)】【難易度】【詳解】Q(X,Y) N(1,0,1,1,0),X N(1,1)Y N(

9、0,1),且 X,Y 獨(dú)立X 1 N(0,1) P XY Y 0P (X 1)Y 0P X 1 0,Y0 P X 1 0, Y11111 02 2 2 2 2三、解答題：1523小題，共94分.請(qǐng)將解答寫在答牌紙,指定位置上.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15、(本題滿分10分)設(shè)函數(shù) f(x) x a ln(1 x) bx sin x, g(x)f (x)與g(x)在x0是等價(jià)無(wú)窮小,求a , b , k值?！究键c(diǎn)】等價(jià)無(wú)窮小量，極限的計(jì)算【難易度】【詳解】f (x) xaln(1 x)bxsin xbx3!f(x)與 g(x)3kx3是等價(jià)無(wú)窮小12131+a0ab0b2akk3

10、16、(本題滿分10分)設(shè)函數(shù)在f(x)定義域I上的導(dǎo)數(shù)大于零，若對(duì)任意的XoI,曲線yf(x)在點(diǎn)(,f(Xo)處的切線與直線xXo及x軸所圍成的區(qū)域的面積為4,且f(0)2,求f(x)的表達(dá)式.【考點(diǎn)】微分方程【難易度】【詳解】如下圖：處的切線方程為：與軸的交點(diǎn)為：時(shí)，則，因此，.即滿足微分方程：，解得：.又因，所以，故.17、(本題滿分10分)已知函數(shù)f(x,y)xyxy,曲線C：x2y2xy3,求f(x,y)在曲線C上的最大方向?qū)?shù).【考點(diǎn)】方向?qū)?shù)，條件極值【難易度】【詳解】根據(jù)方向?qū)?shù)與梯度的關(guān)系可知，方向?qū)?shù)沿著梯度方向可取到最大值且為梯度的模.，故gradf(x,y)1y,1x

11、故f(x,y)在曲線C上的最大方向?qū)?shù)為J1y2(1x)2,其中x,y滿足x2y2xy3,2222_即就求函數(shù)z(1y)(1x)在約束條件xyxy30下的最值.構(gòu)造拉格朗日函數(shù)F(x,y,)(1y)2(1x)2(x2y2xy3)2(1x)2xx令-F2(1y)2yx0可彳#(1,1),(1,1),(2,2),(1,2)yx2y2xy30其中z(1,1)4,z(1,1)0,z(2,1)9z(1,2)綜上根據(jù)題意可知f(x,y)在曲線C上的最大方向?qū)?shù)為3.18、(本題滿分10分)(I)設(shè)函數(shù)u(x),v(x)可導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)定義證明u(x)v(x)'=u'(x)v(x)u(x)v(

12、x)'(n)設(shè)函數(shù)u1(x),u2(x).un(x)可導(dǎo),f(x)u1(x)u2(x).un(x)，寫出f(x)的求導(dǎo)公式.【考點(diǎn)】導(dǎo)數(shù)定義【難易度】【詳解】19、(本題滿分10分)已知曲線L的方程為zJ2xy,起點(diǎn)為A(0,J2,0),終點(diǎn)為B(0,J2,0),計(jì)算曲線積zx,分IL(yz)dx(z2x2y)dy(x2y2)dz【考點(diǎn)】曲線積分的計(jì)算【難易度】xcos,【詳解】曲線L的參數(shù)方程為y72sin,從一到一y,22zcos,IL(yz)dx2222(zxy)dy(xy)dz2(、2sincos)sin、.2sin.2cos(cos22sin2)sind2，2sin221si

13、n2sin2.3sind2.2sin2d22a02sin2d20、(本題滿分11分)設(shè)向量組1,2,3是3維向量空間？3的一個(gè)基212k3，222,31(k1)3°(I)證明向量組1,2,3是？3的一個(gè)基;(n)當(dāng)k為何值時(shí)，存在非零向量在基1,2,2,3下的坐標(biāo)相同，并求出所有【考點(diǎn)】線性無(wú)關(guān)，基下的坐標(biāo)【難易度】(I)(1,2,2,3)02k因?yàn)樗?k2k3線性無(wú)關(guān),2,3是？3的一個(gè)基。(H)設(shè)，P為從基1,2,3到基3的過(guò)渡矩陣，又設(shè)在基2k1,2,3下的坐標(biāo)為(X1,X2,X3)T，則在基1,2,13下的坐標(biāo)為PX，1一_由xPx，得PxX，即(PE)x01010102k 0 k1 12k k10,并解得xc0,c為任意常數(shù)。1從而c1c3,c為任意常數(shù)。21、(本題滿分11分)1-200b003102-3設(shè)矩陣A-133相似于矩陣B1-2a(i)求a,b的值.(n)求可逆矩陣P,使得P1AP為對(duì)角陣.【考點(diǎn)】相似矩陣，相似對(duì)角化【難易度】【詳解】由相似于則解得當(dāng)特征向量當(dāng)則特征向量所以得22、(本題