考研數(shù)學(xué)三歷年真題及答案

1、2003年全國(guó)碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)三試題填空題(本題共6小題，每小題4分，滿分24分.把答案填在題中橫線上),1叱人、-Y-CHQ石X¥0,_4_(1)設(shè)f(x)=xcosx,",其導(dǎo)函數(shù)在x=0處連續(xù)，則大的取值范圍是0,右X=0,(2)已知曲線y=x33a2x+b與X軸相切，則b2可以通過(guò)a表示為b2=(3)設(shè)a>0,f(x)=g(x)=1a,若0<x<1,而D表不全平面，則I=Hf(x)g(yx)dxdy=0,其他，D(4)設(shè)n維向量«=(a,0,，0,a)T,a<0；E為n階單位矩陣，矩陣T1T-eta,B=E+aa,a其中A

2、的逆矩陣為B,(5)設(shè)隨機(jī)變量貝Ua=.X和Y的相關(guān)系數(shù)為0.9,若Z=X-0,4,則Y與Z的相關(guān)系數(shù)為(6)設(shè)總體X服從參數(shù)為2的指數(shù)分布，X1,X2，Xn為來(lái)自總體X的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，則當(dāng)nT81n時(shí)，Yn=-HX：依概率收斂于ni4、選擇題(本題共6小題，每小題4分，滿分24分,每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求,把所選項(xiàng)前的字母填在題后的括號(hào)內(nèi))(1)設(shè)f(x)為不恒等于零的奇函數(shù)，且(A)在x=0處左極限不存在.(C)在x=0處右極限不存在.f'(0)存在，則函數(shù)g(x)=上區(qū)x(B)有跳躍間斷點(diǎn)x=0.(D)有可去間斷點(diǎn)x=0.(2)設(shè)可微函數(shù)f(x,y)在點(diǎn)(x&

3、#176;,y°)取得極小值，則下列結(jié)論正確的是(A) f(x0,y)在y=y。處的導(dǎo)數(shù)等于零(C)f(x0,y)在y=y0處的導(dǎo)數(shù)小于零(B) f (x0,y)在y = y0處的導(dǎo)數(shù)大于零(D) f(x0,y)在y = y0處的導(dǎo)數(shù)不存在一、Lan+anan-an.，,一(3)設(shè)Pn=nIn,qn=nIn,n=1,2,則下列命題正確的是220fl(A)若£an條件收斂，則n1(B)若Z-an絕對(duì)收斂，則n1OQoQ三Pn與fqn都收斂.n三nqQ(C)若£一小條件收斂，則n1qQqQ工Pn與2qn斂散性都不定n三n11qQ(D)若Nan絕對(duì)收斂，則n1qQqQH

4、Pn與£qn斂散性都不定n1n1a b(4)設(shè)三階矩陣A= b a b b(A) a=b 或 a+2b=0.(C) a¥b 且 a+2b=0.2,：- s,都有A =正、(A) Ai, A2, A3相互獨(dú)立.(B) A2,A3, A4相互獨(dú)立.(C) Ai, A2, A3兩兩獨(dú)立.三、(本題滿分8分) 設(shè)(D) A2, A3, A4 兩兩才立.f(x)=一xsin 二x,x 一,i) 二(i - x) 2blb,若A的伴隨矩陣的秩為1,則必有a(B) a=b或a+2b¥0.(D)a#b且a+2b#0.(5)設(shè)0tl,ot2，0ts均為n維向量，下列結(jié)論不正確的是(

5、A)若對(duì)于任意一組不全為零的數(shù)ki,k2,，ks,都有kiai+卜232+ksc(s#0,則匕工線性無(wú)關(guān).(B)若叫，口2，Ps線性相關(guān)，則對(duì)于任意一組不全為零的數(shù)ki,k2,，kski：1卜2二2一飛二s=0.(C) %,C(2,，C(s線性無(wú)關(guān)的充分必要條件是此向量組的秩為s.(D) ai,o(2，o(s線性無(wú)關(guān)的必要條件是其中任意兩個(gè)向量線性無(wú)關(guān)(6)將一枚硬幣獨(dú)立地?cái)S兩次，引進(jìn)事件：A=擲第一次出現(xiàn)正面,4=擲第二次出現(xiàn)正面反面各出現(xiàn)一次,A4=正面出現(xiàn)兩次,則事件i試補(bǔ)充定義f(i)使得f(x)在-,i上連續(xù).四、(本題滿分8分)f(u,v)具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，.22.且滿足 2-=

6、1 ,又 g(x,y) = fxy,-(x2 y2),求:u;:v2.2,二 g2:x.2,二 g2 .y五、(本題滿分8分)2y )dxdy.其中積分區(qū)域D=(x,y)x2+y2<n.六、(本題滿分9分)二2n求哥級(jí)數(shù)1十£(_1)n(x<1)的和函數(shù)f(x)及其極值.二2n七、(本題滿分9分)設(shè)F(x)=f(x)g(x),其中函數(shù)f(x),g(x)在(_oo,+=c)內(nèi)滿足以下條件：f(x)=g(x),g(x)=f(x),且f(0)=0,f(x)+g(x)=2ex.(1)求F(x)所滿足的一階微分方程；(2)求出F(x)的表達(dá)式.八、(本題滿分8分)設(shè)函數(shù)f(x)在0

7、,3上連續(xù)，在(0,3)內(nèi)可導(dǎo)，且f(0)+f(1)+f(2)=3,f(3)=1.試證必存在t(0,3),使f()=0.九、(本題滿分13分)已知齊次線性方程組S1+b)x+a2x2+23x3+anxn=0,a1x1+(a2+b)x2+23x3+anxn=0,*ax1+a2x2+(a3+b)x3+*"+anxn=0,ax122x223x3(anb)xn=0,n其中£d#0.試討論a1，a2,，an和b滿足何種關(guān)系時(shí)，i1(1)方程組僅有零解；(2)方程組有非零解.在有非零解時(shí)，求此方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系.十、(本題滿分13分)設(shè)二次型_T222f(x1,x2,x3)=XAX=

8、ax1+2x2-2x3+2bxix3(b>0),中二次型的矩陣A的特征值之和為1,特征值之積為-12.(1)求a,b的值；(2)利用正交變換將二次型f化為標(biāo)準(zhǔn)形，并寫(xiě)出所用的正交變換和對(duì)應(yīng)的正交矩陣十一、(本題滿分13分)設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為，右x1,8,f(x)=33x2,3丫其他；F(x)是X的分布函數(shù).求隨機(jī)變量Y=F(X的分布函數(shù)十二、(本題滿分13分)設(shè)隨機(jī)變量X與Y獨(dú)立，其中X的概率分布為1320.7卜而Y的概率密度為f(y),求隨機(jī)變量U=X+Y的概率密度g(u).2003年考研數(shù)學(xué)(三)真題解析、填空題(本題共6小題，每小題4分，滿分24分.把答案填在題中橫線上).、

9、一,Y九CCO右X0,(1)設(shè)f(x)=(xcosx'"其導(dǎo)函數(shù)在x=0處連續(xù)，則九的取值范圍是九>2.Qx右x=0，【分析】當(dāng)x=0可直接按公式求導(dǎo)，當(dāng)x=0時(shí)要求用定義求導(dǎo).【詳解】當(dāng)九:>1時(shí)，有sin若 x 二 0,若 x = 0,，二1'2cosxx0,顯然當(dāng)2a2時(shí)，有l(wèi)imf(x)=0=f'(0),即其導(dǎo)函數(shù)在x=0處連續(xù).x.0(2)已知曲線y=x33a2x+b與x軸相切，則b2可以通過(guò)a表示為b2=魚(yú).【分析】曲線在切點(diǎn)的斜率為0,即y'=0,由此可確定切點(diǎn)的坐標(biāo)應(yīng)滿足的條件，再根據(jù)在切點(diǎn)處縱坐標(biāo)為零，即可找到b2與a的關(guān)

10、系.【詳解】由題設(shè)，在切點(diǎn)處有2222y=3x-3a=0,有x0=a.又在此點(diǎn)y坐標(biāo)為0,于是有0=x3-3a2x0b=0,故b2=x2(3a2x2)2:a24a4=4a6.【評(píng)注】有關(guān)切線問(wèn)題應(yīng)注意斜率所滿足的條件，同時(shí)切點(diǎn)還應(yīng)滿足曲線方程A,若0MxM1,.2(3)設(shè)a>0,f(x)=g(x)=，而D表不全平面，則I=訂f(x)g(yx)dxdy=aQ,其他，D一【分析】本題積分區(qū)域?yàn)槿矫?，但只有?dāng)0 <x <1,0 < y-x <1時(shí)，被積函數(shù)才不為零，因此實(shí)際上只需在滿足此不等式的區(qū)域內(nèi)積分即可.【詳解】I=JJf(x)g(yx)dxdy=a2dxdyD

11、0.：x.：1,0<y_x<121x1212=a0dXxdy=a0Kx1)xdx=a.【評(píng)注】若被積函數(shù)只在某區(qū)域內(nèi)不為零，則二重積分的計(jì)算只需在積分區(qū)域與被積函數(shù)不為零的區(qū)域的公共部分上積分即可.(4)設(shè)n維向量a=(a,0,，0,a)T,a<0；E為n階單位矩陣，矩陣A =EctaT, B=E+LctT, a其中A的逆矩陣為B,貝a= -1【分析】結(jié)合律即可.【詳解】這里aa T為n階矩陣，而“ =2a2為數(shù),直接通過(guò) AB = E進(jìn)行計(jì)算并注意利用乘法的由題設(shè)，有 T _1 TAB = (E _: : )(E :)a=E - TT二E -上一(T=E f :1 T+ 0

12、(0(a1 T+ acta1 T+ aaa1T T-ota aaa1/ t t一(：.：).a- 2a、" T1=E (-1 -2a”、工=E ,a于是有1 一o112a 十一=0,即 2a2+a1=0,解得 a= ,a = 1.a2由于A<0，故a=-1.(5)設(shè)隨機(jī)變量X和Y的相關(guān)系數(shù)為0.9,若Z=X -0.4,則Y與Z的相關(guān)系數(shù)為 0.9【分析】 利用相關(guān)系數(shù)的計(jì)算公式即可【詳解】因?yàn)閏ov(Y,Z) =cov(Y,X -0.4) -E(Y(X -0.4) -E(Y)E(X -0.4) = E(XY) -0.4E(Y) - E(Y)E(X) 0.4E(Y) =E(XY)

13、 - E(X)E(Y)=cov(X,Y), 且 DZ = DX .于是有 cov(YZ尸 cov(Y,Z) = cov(X,Y) = :XY =0.9. DY DZ DX DY【評(píng)注】 注意以下運(yùn)算公式：D(X+a)=DX , cov(X,Y+a) = cov(X,Y).(6)設(shè)總體X服從參數(shù)為2的指數(shù)分布，X1,X2，Xn為來(lái)自總體X的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，則當(dāng)nT 812時(shí)，Yn =1£ Xi2依概率收斂于n i丑【分析】本題考查大數(shù)定律:一組相互獨(dú)立且具有有限期望與方差的隨機(jī)變量X1,X2，Xn,當(dāng)方致有界時(shí)，其算術(shù)平均值依概率收斂于其數(shù)學(xué)期望的算術(shù)平均值:n、EXi2 n i 二二、

14、選擇題(本題共6小題，每小題 把所選項(xiàng)前的字母填在題后的括號(hào)內(nèi))(1)設(shè)f(x)為不恒等于零的奇函數(shù)，且f '(0)存在，則函數(shù)(A)在x=0處左極限不存在.(C)在x=0處右極限不存在.(B)有跳躍間斷點(diǎn)(D)有可去間斷點(diǎn)g(x) ="x) xx=0.x=0.1np1nXiEXi(n；.：).nijnid11c1【詳解】這里X12,x2,，Xn2滿足大數(shù)定律的條件，且EXi2=DXi+(EXi)2=十(一)2=,因422此根據(jù)大數(shù)定律有1nYn=-HXi2依概率收斂于ni-4分，滿分24分.每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求,【分析】由題設(shè)，可推出f(0)=0,再

15、利用在點(diǎn)x=0處的導(dǎo)數(shù)定義進(jìn)行討論即可.【詳解】顯然x=0為g(x)的間斷點(diǎn)，且由f(x)為不恒等于零的奇函數(shù)知，f(0)=0.于是有l(wèi)img(x)=lim-f-x)=limf(x)-f(0)=f'(0)存在，故x=0為可去間斷點(diǎn).1 x - 01, x O,可排除(A),(B),(C)三項(xiàng)，故 0,x = 0,x0x0xJ°x0【評(píng)注1】本題也可用反例排除，例如f(x)=x,則此時(shí)g(x)=-=<x應(yīng)選(D).【評(píng)注2】若f(x)在x=x0處連續(xù)，則limf(x)二Auf(x0)=0,f'(x0)=A.J%x-x0(2)設(shè)可微函數(shù)f(x,y)在點(diǎn)(x°

16、;,y°)取得極小值，則下列結(jié)論正確的是(A) f(x0,y)在y=y0處的導(dǎo)數(shù)等于零.(B)f(x0,y)在y=y0處的導(dǎo)數(shù)大于零.(C)f(x0,y)在y=y0處的導(dǎo)數(shù)小于零.(D)f(x0,y)在y=y0處的導(dǎo)數(shù)不存在.A【分析】可微必有偏導(dǎo)數(shù)存在，再根據(jù)取極值的必要條件即可得結(jié)論【詳解】可微函數(shù)f(x,y)在點(diǎn)(x0,y°)取得極小值，根據(jù)取極值的必要條件知fy(x0,y0)=0,即f(x0,y)在y=y處的導(dǎo)數(shù)等于零，故應(yīng)選(A).【評(píng)注1】本題考查了偏導(dǎo)數(shù)的定義，f(x0,y)在y=y0處的導(dǎo)數(shù)即fy(x0,y0);而f(x,y°)在x=x0處的導(dǎo)數(shù)即

17、fx(x0,yO).【評(píng)注2】本題也可用排除法分析，取f(x,y)=x2+y2,在(0,0)處可微且取得極小值，并且有2f(0,y)=y，可排除(B),(C),(D),故正確選項(xiàng)為(A).、一an+ana-a(3)設(shè)Pn=!,qn=!一，n=1,2，則下列命題正確的是22(A)若Zan條件收斂，則n1PnPn與匚qn都收斂.nmn招qQ(B)若£an絕對(duì)收斂，則n1QOQO工Pn與Zqn都收斂.n三nJqQ(C)若£一小條件收斂，則n1qQqQHPn與：fqn斂散性都不定n1n1qQqQqQ(D)若fan絕對(duì)收斂，則UPn與Hqn斂散性都不定.Bn1n4n1an - an【

18、分析】根據(jù)絕對(duì)收斂與條件收斂的關(guān)系以及收斂級(jí)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)即可找出答案.【詳解】若an絕對(duì)收斂，即zan|收斂，當(dāng)然也有級(jí)數(shù)£-an收斂，再根據(jù)Pnngnn3qnan - an2及收斂級(jí)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)知,qQqQ£ Pn與Z qn都收斂，故應(yīng)選(B).n 4n 4a b(4)設(shè)三階矩陣A= b ab b(A) a=b 或 a+2b=0.(C) a¥b 且 a+2b=0.【分析】A的伴隨矩陣的秩為blb,若A的伴隨矩陣的秩為1,則必有a(B) a=b或a+2b#0.(D)a¥b且a+2b¥0.C1,說(shuō)明A的秩為2,由此可確定a,b應(yīng)滿足的條件.【詳解

19、】根據(jù)A與其伴隨矩陣A*秩之間的關(guān)系知，秩(A)=2,故有abbbab=(a+2b)(ab)2=0,即有a+2b=0或a=b.bba但當(dāng)a=b時(shí)，顯然秩(A)¥2,故必有a¥b且a+2b=0.應(yīng)選(C).【評(píng)注】n(n至2)階矩陣A與其伴隨矩陣A*的秩之間有下列關(guān)系:n,r(A)=n,r(A*)=<1,r(A)=n-1,O,r(A)<n1.(5)設(shè)61,62，0ts均為n維向量，下列結(jié)論不正確的是(A)若對(duì)于任意一組不全為零的數(shù)k1,k2,，ks,都有匕口1+k2口2+ks«s=0,則巴,口2,Ps線性無(wú)關(guān).(B)若巴,口2，Ps線性相關(guān)，則對(duì)于任意一

20、組不全為零的數(shù)k1，k2,，ks,都有k1，i,k2.工2.,kss=0.(C) Bi,"陷線性無(wú)關(guān)的充分必要條件是此向量組的秩為S.(D) ai,o(2，o(s線性無(wú)關(guān)的必要條件是其中任意兩個(gè)向量線性無(wú)關(guān)B【分析】本題涉及到線性相關(guān)、線性無(wú)關(guān)概念的理解，以及線性相關(guān)、線性無(wú)關(guān)的等價(jià)表現(xiàn)形式.應(yīng)注意是尋找不正確的命題【詳解】(A)：若對(duì)于任意一組不全為零的數(shù)ki,k2,，ks,都有kN+k2a2+ks«s#0,則口1,口2，Us必線性無(wú)關(guān)，因?yàn)槿舳?,豆2廠小線性相關(guān)，則存在一組不全為零的數(shù)ki,k2,，ks,使得k10tl+k2a2+ksas=0,矛盾.可見(jiàn)(A)成立.(

21、B)：若c(i,c(2,，c(s線性相關(guān)，則存在一組，而不是對(duì)任意一組不全為零的數(shù)ki*2,，ks,都有k1二1k212+-+ks二飛=0.(B)不成立.(C)ai,o(2-Ps線性無(wú)關(guān)，則此向量組的秩為s；反過(guò)來(lái)，若向量組口102，5的秩為s,則四,。2，Us線性無(wú)關(guān)，因此(C)成立.(D)«1,«2,«s線性無(wú)關(guān)，則其任一部分組線性無(wú)關(guān)，當(dāng)然其中任意兩個(gè)向量線性無(wú)關(guān)，可見(jiàn)(D)也成立.綜上所述，應(yīng)選(B).【評(píng)注】原命題與其逆否命題是等價(jià)的.例如，原命題：若存在一組不全為零的數(shù)k1,k2，ks,使得klOtl+k2a2+ks«s=0成立，則%,0(2

22、，Rs線性相關(guān).其逆否命題為：若對(duì)于任意一組不全為零的數(shù)ki,k2,，ks,都有ki«i+k2«2+ks«s=0,則四,62,，匕線性無(wú)關(guān).在平時(shí)的學(xué)習(xí)過(guò)程中，應(yīng)經(jīng)常注意這種原命題與其逆否命題的等價(jià)性(6)將一枚硬幣獨(dú)立地?cái)S兩次，引進(jìn)事件：A=擲第一次出現(xiàn)正面,4=擲第二次出現(xiàn)正面,A3=正、反面各出現(xiàn)一次,A4=正面出現(xiàn)兩次,則事件(A)Ai,A2,A3相互獨(dú)立.(B)A2,A3,A4相互獨(dú)立.(C)Ai,A2,A3兩兩獨(dú)立.(D)A2,A3,A4兩兩才立.C【分析】按照相互獨(dú)立與兩兩獨(dú)立的定義進(jìn)行驗(yàn)算即可，注意應(yīng)先檢查兩兩獨(dú)立，若成立，再檢驗(yàn)是否相互獨(dú)立.【詳

23、解】因?yàn)?111P(Ai)=rP(A2)P(A3)=KPA)2224一_1_1_1_1_且P(AA2)=,P(AiA3)=,P(A2A3)=,P(A2A4)=P(AiA2A3)=0,4444可見(jiàn)有P(AiA2)=P(A)P(A2),P(AA3)=P(Ai)P(A3),P(A2A3)=P(A2)P(A3),P(AiA2A3)豐P(Ai)P(A2)P(A3),P(A2A4)豐P(A2)P(AJ.故A1，A2,A3兩兩獨(dú)立但不相互獨(dú)立；A2,A3,A4不兩兩獨(dú)立更不相互獨(dú)立，應(yīng)選(C).【評(píng)注】本題嚴(yán)格地說(shuō)應(yīng)假定硬幣是均勻的，否則結(jié)論不一定成立、(本題滿分8分)1sin 二x 二(1 一 x)f(x

24、)二二X1試補(bǔ)充定義f(1)使得f(x)在_,1上連續(xù).2【分析】只需求出極限limf(x),然后定義f(1)為此極限值即可.X1一【詳解】因?yàn)?1limf(x)=lim-X1-二Xsin-：x二(1-x)11二(1一x)-sin二x=lim二二X：1一(1-x)sin二x1=兀-二-二cos二Xlimj二XL-sin：x'(1-x)二cos二x2.11sinx=lim2”J-二cos二x-二cos二x-(1-x”：sin二x，一，1.、由于f(x)在2,1)上連續(xù)，因此定義1f(1)=一,ji八一，1一使f(x)在1,1上連續(xù).2【評(píng)注】本題實(shí)質(zhì)上是一求極限問(wèn)題，但以這種形式表現(xiàn)出來(lái)

25、，還考查了連續(xù)的概念.在計(jì)算過(guò)程中,也可先作變量代換y=1-x,轉(zhuǎn)化為求yT0+的極限，可以適當(dāng)簡(jiǎn)化.四、(本題滿分8分)設(shè)f(u,v)具有二2f二2f1co階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且滿足二萬(wàn)十:2=1,又g(x,y)=fxy,(x-y),求；:u：:v2.2.2：geg2-2.x二y【分析】 本題是典型的復(fù)合函數(shù)求偏導(dǎo)問(wèn)題:2 y2),直接利用復(fù)1,g=f(u,v)，u=xy,v=一(x2合函數(shù)求偏導(dǎo)公式即可，注意利用22;-fIf.:u；:v；:v；:u【詳解】:x所以：2g-2JX-2二 g一 2 .xf2g-2-yf2g-2-yIf.:u22 If-2;u2xyf cucv- 2xy?f：v：:

26、uX2y222-=(x y )-52 f.uIf Ff-f-一 2 .v；：2f22(x y )r2f-2.vjfFf二yxjuvfjf=xy.:uv22=xy.【評(píng)注】本題考查半抽象復(fù)合函數(shù)求二階偏導(dǎo).五、(本題滿分8分)計(jì)算二重積分I=eXxy-,sin(x2y2)dxdy.D其中積分區(qū)域D=(x,y)x2+y2Wn.【分析】從被積函數(shù)與積分區(qū)域可以看出，應(yīng)該利用極坐標(biāo)進(jìn)行計(jì)算【詳解】作極坐標(biāo)變換：x=rcosH,y=rsin8,有一_(x2y2)22I=eliesin(xy)dxdyDins2二行Io6d冗210e4e二。Jr一eintdet=一esint二工，一oe8st出_t二-0c

27、ostde-.t,nnt=ecost0+0e_sintdt=eW+1-A.1因此A=(1+eF),2TTP/L_TT_I=(1e-)=(1e).22【評(píng)注】本題屬常規(guī)題型，明顯地應(yīng)該選用極坐標(biāo)進(jìn)行計(jì)算，在將二重積分化為定積分后，再通過(guò)換元與分步積分(均為最基礎(chǔ)的要求)，即可得出結(jié)果，綜合考查了二重積分、換元積分與分步積分等多個(gè)基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn).六、(本題滿分9分)二2n求哥級(jí)數(shù)1十£(_1)n(x<1)的和函數(shù)f(x)及其極值.二2n【分析】先通過(guò)逐項(xiàng)求導(dǎo)后求和，再積分即可得和函數(shù)，注意當(dāng)x=0時(shí)和為1.求出和函數(shù)后，再按通常方法求極值.【詳解】f(x-(-1)nx2n一n11x上式

28、兩邊從0到x積分，得f(x)-f(0)=-由f(0)=1,得，、,112f(x)=1-2ln(1+x),(x<1).令f'(x)=0,求得唯一駐點(diǎn)x=0.由于f (x)=1 -x2(1x2)2,f"(0)=7<0,可見(jiàn)f(x)在x=0處取得極大值，且極大值為f(0)=1.【評(píng)注】求和函數(shù)一般都是先通過(guò)逐項(xiàng)求導(dǎo)、逐項(xiàng)積分等轉(zhuǎn)化為可直接求和的幾何級(jí)數(shù)情形，然后再通過(guò)逐項(xiàng)積分、逐項(xiàng)求導(dǎo)等逆運(yùn)算最終確定和函數(shù)七、(本題滿分9分)設(shè)F(x)=f(x)g(x),其中函數(shù)f(x),g(x)在(->/Hc)內(nèi)滿足以下條件：xf(x)=g(x),g(x)=f(x),且f(0)

29、=0,f(x)+g(x)=2e.(3)求F(x)所滿足的一階微分方程；(4)求出F(x)的表達(dá)式.【分析】F(x)所滿足的微分方程自然應(yīng)含有其導(dǎo)函數(shù)，提示應(yīng)先對(duì)F(x)求導(dǎo)，并將其余部分轉(zhuǎn)化為用F(x底示，導(dǎo)出相應(yīng)的微分方程，然后再求解相應(yīng)的微分方程【詳解】(1)由F(x)=f(x)g(x)f(x)g(x)22一.=g(x)f(x)2=f(x)g(x)-2f(x)g(x)二(2ex)2-2F(x),可見(jiàn)F(x)所滿足的一階微分方程為2xF(x)2F(x)=4e._2dx2x2dx(2)F(x)=e4eedxC=e2x4e4xdxC2x2x=eCe.將F(0)=f(0)g(0)=0代入上式，得C

30、=-1.F(x)-e2x-ex【評(píng)注】本題沒(méi)有直接告知微分方程，要求先通過(guò)求導(dǎo)以及恒等變形引出微分方程的形式，從題型來(lái)說(shuō)比較新穎，但具體到微分方程的求解則并不復(fù)雜，仍然是基本要求的范圍八、(本題滿分8分)設(shè)函數(shù)f(x)在0,3上連續(xù),在(0,3)內(nèi)可導(dǎo)，且f(0)+f(1)+f(2)=3,f(3)=1.試證必存在t(0,3),使f()=0.【分析】根據(jù)羅爾定理，只需再證明存在一點(diǎn)c三0,3),使得f(c)=1=f(3),然后在c,3上應(yīng)用羅爾定理即可.條件f(0)+f(1)+f(2)=3等價(jià)于f+f+f(2)=1,問(wèn)題轉(zhuǎn)化為1介于f(x)的最值之間，最終用介值定理可以達(dá)到目的.【詳解】因?yàn)閒(

31、x)在0,3上連續(xù)，所以f(x)在0,2上連續(xù)，且在0,2上必有最大值M和最小值mm<f(0)<M,m<f(1)<M,m-f(2)-M.f(0)f(1)f(2)”m-M.3由介值定理知，至少存在一點(diǎn)c0,2,使f (c)=f(0)f(1)f(2).一 I.因?yàn)閒(c)=1=f(3),且f(x)在c,3上連續(xù),在(c,3)內(nèi)可導(dǎo),所以由羅爾定理知，必存在匕三(c,3)二(0,3),使f()=0.且一般是兩兩結(jié)合起來(lái)考.本題【評(píng)注】介值定理、微分中值定理與積分中值定理都是?？贾R(shí)點(diǎn),是典型的結(jié)合介值定理與微分中值定理的情形九、(本題滿分13分)已知齊次線性方程組(a1 +b

32、)x1 +a2x2 +a3x3aixi" aixi(a2 b)x2 a3x3a?x2 (a3 b)x3anxanxanx=0,=0,=0,aiXia2x2 a3x3(an b)xn=0,n其中Zai00.試討論a1，a2,，an和b滿足何種關(guān)系時(shí),i1(i)方程組僅有零解；(2)方程組有非零解.在有非零解時(shí)，求此方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系.【分析】方程的個(gè)數(shù)與未知量的個(gè)數(shù)相同，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為系數(shù)矩陣行列式是否為零，而系數(shù)行列式的計(jì)算具有明顯的特征：所有列對(duì)應(yīng)元素相加后相等.可先將所有列對(duì)應(yīng)元素相加，然后提出公因式，再將第一行的(-1)倍加到其余各行，即可計(jì)算出行列式的值【詳解】方程組的系數(shù)行列

33、式a1baia2a2 ba3aia2a3a3 banaia2a3an b= bnJ(b %i 4a)n(i)當(dāng)b#0時(shí)且b+£ai#0時(shí))秩(A尸n,方程組僅有零解.i4(2)當(dāng)b=0時(shí)，原方程組的同解方程組為aixia?x2anxn=0.#0 可知，ai (i=i,2，n)不全為零.不妨設(shè)a1#0,得原方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系為a2t,i,0,0)aia3t：2=(-,0,1,0)aianT二n=(-,0,0；,1).ain當(dāng)b=-Zai時(shí)，有b=0,原方程組的系數(shù)矩陣可化為ii-na1-Zaii且a2na3ana1a2-Zaiia3nana1aa29a3-Zaiijaanina1a2

34、a3*>an-ZaiI（將第1行的-1倍加到其余各彳T,再?gòu)牡?行到第n行同乘以n1倍）aiiIai -Z ai a2 a3 ana1aia2a3 a ni注-110*0-101-0-100- - 1（將第n行-an倍到第2行的-a2倍加到第1行，再將第1行移到最后一行）- -110。一- 1010aasmT：:.- 10010000_由此得原方程組的同解方程組為x2=x1,X3=x1,，Xn=x1原方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系為：=（1,1，1）1n-1（存在n【評(píng)注】本題的難點(diǎn)在b=-£ai時(shí)的討論，事實(shí)上也可這樣分析：此時(shí)系數(shù)矩陣的秩為i=1n-1階子式不為零），且顯然口=（1,

35、1，1）T為方程組的一個(gè)非零解，即可作為基礎(chǔ)解系十、（本題滿分13分）設(shè)二次型f（x1,x2,x3）=XTAX=ax；+2x2-2x2+2bxix3（b>0）,中二次型的矩陣A的特征值之和為1,特征值之積為-12.（3）求a,b的值；(4)利用正交變換將二次型f化為標(biāo)準(zhǔn)形，并寫(xiě)出所用的正交變換和對(duì)應(yīng)的正交矩陣【分析】特征值之和為A的主對(duì)角線上元素之和，特征值之積為A的行列式，由此可求出a,b的值;進(jìn)一步求出A的特征值和特征向量，并將相同特征值的特征向量正交化(若有必要)，然后將特征向量單位化并以此為列所構(gòu)造的矩陣即為所求的正交矩陣【詳解】(1)二次型f的矩陣為a0bA=020.b0-2_

36、設(shè)A的特征值為九i(i=1,2,3).由題設(shè)，有Ki+九2+九3=a+2+(2)=1,a 0兀入2人3 二 02b 0b0=Ya-2b2=-12.-2解得a=1,b=-2.九1| 止-A= 0-2(2)由矩陣A的特征多項(xiàng)式0-2,一2,九一20=(八一2)(九+3),02十2得A的特征值兒=、2=2,3=-3.對(duì)于=%=2,解齊次線性方程組(2E-A)x=0,得其基礎(chǔ)解系勺=(2,0,1)T,2=(0,1,0)T.對(duì)于%=-3,解齊次線性方程組(YE-A)x=0,得基礎(chǔ)解系3=(1,0=2)T.由于0,J,4已是正交向量組，為了得到規(guī)范正交向量組，只需將匕若2,%單位化，由此得a,如2 =(Q

37、1,0)T3=(，0，- 25)T.=一2令矩陣上1V502L<5則Q為正交矩陣.在正交變換X=QY下，有200QTAQ=020,00-3且二次型的標(biāo)準(zhǔn)形為222f-2y12y2-3y3.【評(píng)注】本題求a,b,也可先計(jì)算特征多項(xiàng)式，再利用根與系數(shù)的關(guān)系確定：二次型f的矩陣A對(duì)應(yīng)特征多項(xiàng)式為a-a0-b22?EA|=02-20=(八一2)九一(a2)九一(2a+b).-b0九+2設(shè)A的特征值為力52,筋，則心=2,%+%3=a2,九2%=(2a+b2).由題設(shè)得九十九2+兒3=2+(a2)=1,123=-2(2ab2)=-12.解得a=1,b=2.十一、(本題滿分13分)設(shè)隨機(jī)變量X的概率

38、密度為-1-f(x)= 33x2 ,0,，若x旬1,8,其他；F(x)是X的分布函數(shù).求隨機(jī)變量Y=F(X的分布函數(shù).【分析】先求出分布函數(shù)F(x)的具體形式，從而可確定Y=F(X)，然后按定義求Y的分布函數(shù)即可.注意應(yīng)先確定Y=F(X的值域范圍(0<F(X)<1),再對(duì)y分段討論.【詳解】易見(jiàn)，當(dāng)x<1時(shí)，F(xiàn)(x)=0;當(dāng)x>8時(shí)，F(xiàn)(x)=1.對(duì)于xw1,8,有x13一F(x)dt=x-1.133t2設(shè)G(y)是隨機(jī)變量Y=F(X的分布函數(shù).顯然，當(dāng)yc0時(shí)，G(y)=0;當(dāng)y之1時(shí)，G(y)=1.對(duì)于丫0,1),有G(y)=PYMy=PF(X)工y=P3X-1_y

39、=PX_(y1)33=F(y1)=y.0,若y<0,于是，Y=F(X；的分布函數(shù)為6(丫)=(丫,若09丫<1,L若y"【評(píng)注】事實(shí)上，本題X為任意連續(xù)型隨機(jī)變量均可，此時(shí)Y=F(X仍服從均勻分布當(dāng)y<0時(shí)，G(y)=0;當(dāng)y之1時(shí)，G(y)=1;當(dāng)0qy<1時(shí)，G(y)=PYMy=PF(X)Ey1=PX<F-(y)1=F(F(y)=y.十二、(本題滿分13分)、=,112)設(shè)隨機(jī)變量X與Y獨(dú)立，其中X的概率分布為X,30.7i而Y的概率密度為f(y),求隨機(jī)變量U=X+Y的概率密度g(u).【分析】求二維隨機(jī)變量函數(shù)的分布，一般用分布函數(shù)法轉(zhuǎn)化為求相應(yīng)

40、的概率.注意X只有兩個(gè)可能的取值，求概率時(shí)可用全概率公式進(jìn)行計(jì)算.【詳解】設(shè)F(y)是Y的分布函數(shù)，則由全概率公式，知U=X+Y的分布函數(shù)為G(u)=PXYMu=0.3PX+YEuX=1+0.7PX+YEuX=2=0.3PY<u-1X=1+0.7PYWu_2X=2.由于X和Y獨(dú)立，可見(jiàn)G(u)=0.3PY<u-10.7PY<u-2=0.3F(u-1)0.7F(u-2).由此，得U的概率密度g(u)=G(u)=0.3F(u-1)0.7F(u-2)=0.3f(u-1)0.7f(u-2).【評(píng)注】本題屬新題型，求兩個(gè)隨機(jī)變量和的分布，其中一個(gè)是連續(xù)型一個(gè)是離散型，要求用全概率公式進(jìn)

41、行計(jì)算，類(lèi)似問(wèn)題以前從未出現(xiàn)過(guò)，具有一定的難度和綜合性2004年全國(guó)碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)三試題一、填空題(本題共6小題，每小題4分，滿分24分.把答案填在題中橫線上)(1)若limsXinx(cosx-b)=5,則a=,b=.xoe-a(2)f2f設(shè)函數(shù)f(u,v)由關(guān)系式fxg(y),y=x+g(y)確定，其中函數(shù)g(y)可微，且g(y)#0,則二u二vX214.1xe,Wx<2設(shè)f(x)=(22,則f(x-1)dx=卜.書(shū)弓一.一222.(4)二次型f(x1，x2,x3)=(x1+x2)+(x2x3)+(x3+x1)的秩為(5)設(shè)隨機(jī)變量X服從參數(shù)為入的指數(shù)分布，則p x &g

42、t; JDX=22、一(6)設(shè)總體X服從正態(tài)分布N(崗，b),總體Y服從正態(tài)分布N(梭，b),Xi,X2，Xn1和丫1,丫2,Yn2分別是來(lái)自總體X和丫的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，則1_2n2_2IE(Xi-X)+£(Yj-Y)匚i4jE=n1+n2-2LJ二、選擇題(本題共6小題，每小題4分，滿分24分.每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求,把所選項(xiàng)前的字母填在題后的括號(hào)內(nèi))函數(shù)f(x)=|x|sin(x2)在下列哪個(gè)區(qū)間內(nèi)有界x(x-1)(x-2)2(A)(-1，0).(B)(0，1).(C)(1，2).(D)(2,3).(8)9(刈=J(?"*0,則0 ,x =0(A)

43、x = 0必是g(x)的第一類(lèi)間斷點(diǎn).(B) x = 0必是g(x)的第二類(lèi)間斷點(diǎn)設(shè)f(x)在(-,+內(nèi)有定義，且limf(x)=a,x刃(C) x=0必是g(x)的連續(xù)點(diǎn).(D) g(x)在點(diǎn)x=0處的連續(xù)性與a的取值有關(guān).(9)設(shè)f(x)=|x(1-x)|,則(A) x=0是f(x)的極值點(diǎn)，但(0,0)不是曲線y=f(x)的拐點(diǎn).(B) x=0不是f(x)的極值點(diǎn)，但(0,0)是曲線y=f(x)的拐點(diǎn).(C) x=0是f(x)的極值點(diǎn)，且(0,0)是曲線y=f(x)的拐點(diǎn).(D) x=0不是f(x)的極值點(diǎn)，(0,0)也不是曲線y=f(x)的拐點(diǎn).(10)設(shè)有下列命題：若£(u

44、2n-+u2n)收斂，則Zun收斂.nWn1(2)右E%收斂，則XUn+000收斂.un 1右lim m unO0>1,則工un發(fā)散.n1oOoOcd(4)若Z(un+vn)收斂，則£un,Zvn都收斂.n1n1n1則以上命題中正確的是(A)(1)(2).(B)(2)(3).(C)(3)(4).(D)(1)(4).(11)設(shè)f'(x)在a,b上連續(xù),且f,(a)>0,f)b)<0,則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是(A)至少存在一點(diǎn)xOW(a,b),使得f(x0)>f(a).(B)至少存在一點(diǎn)x0(a,b),使得f(x0)>f(b).(C)至少存在一點(diǎn)x0e(

45、a,b),使得f'(x0)=0.(D)至少存在一點(diǎn)X0W(a,b),使得f(xo)=0.(12)設(shè)n階矩陣A與B等價(jià)，則必有(A)當(dāng)|A|=a(a#0)時(shí)，|B|=a.(B)當(dāng)|A|=a(a#0)時(shí)，|B|=a.(C)當(dāng)|A|#0時(shí)，|B|=0.(D)當(dāng)|A|=0時(shí)，|B|=0.*一、一.(13)設(shè)n階矩陣A的伴隨矩陣A¥0,若&,&,&,&是非齊次線性方程組Ax=b的互不相等的解，則對(duì)應(yīng)的齊次線性方程組Ax=0的基礎(chǔ)解系(A)不存在.(B)僅含一個(gè)非零解向量.a,(C)含有兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的解向量.(D)含有三個(gè)線性無(wú)關(guān)的解向量.(14)設(shè)隨機(jī)變

46、量X服從正態(tài)分布N(0,1),對(duì)給定的源(0,1),數(shù)u0滿足PX>uj=若P|X|<X=a,則X等于(A)u,.(B)u1.(C)u/.(D)Uiq22三、解答題(本題共9小題，滿分94分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.)(15)(本題滿分8分)d21cosX、求lim(2-2-).x0sinxx(16)(本題滿分8分)D是由圓x2+y2=4和(x+1)2 + y2 =1所圍成的求JJ(Jx2+y2+y)dcr,其中D平面區(qū)域(如圖).(17)(本題滿分8分)設(shè)f(x),g(x)在a,b上連續(xù)，且滿足XX/出7g出，”a,b)，bbf(t)dt-jg(t)dt.aa證明

47、:bblaxf(x)dxWJaxg(x)dx.(18)(本題滿分9分)設(shè)某商品的需求函數(shù)為Q=100-5P,其中價(jià)格P亡(0,20),Q為需求量.(I)求需求量對(duì)價(jià)格的彈性Ed(Ed>0);dR(II)推導(dǎo)=Q(1-Ed)(其中R為收益)，并用彈性Ed說(shuō)明價(jià)格在何范圍內(nèi)變化時(shí),dP降低價(jià)格反而使收益增加.(19)(本題滿分9分)x4設(shè)級(jí)數(shù)(-二x二)的和函數(shù)為qx).求：(I) S(x)所滿足的一階微分方程；(II) S(x)的表達(dá)式.(20)(本題?黃分13分)設(shè)偽=(1,2,0)T,儂=(1,a+2,3a)T,=(-1,-b-2,a+2b)T,B=(1,3,3)T,試討論當(dāng)a,b為何

48、值時(shí)，(I)B不能由0C1,02,03線性表示；(n)0可由o1,o2,出唯一地線性表木,并求出表本式(in)B可由01,02,«3線性表不，但表木式不唯一,并求出表本式(21)(本題滿分13分)設(shè)n階矩陣jbb、b1bA=；.bb1,(I)求A的特征值和特征向量；(n)求可逆矩陣p,使得p,ap為對(duì)角矩陣.(22)(本題滿分13分)，人j111人設(shè)A,B為兩個(gè)隨機(jī)事件，且P(A)=,P(B|A)=,P(A|B)=,令4321,A發(fā)生，1,B發(fā)生，X=3,yj,，J0,A不發(fā)生，9B不發(fā)生.求(I)二維隨機(jī)變量(X,Y)的概率分布；(n)X與y的相關(guān)系數(shù)依丫；(出)Z=X2+Y2的概

49、率分布.(23)(本題滿分13分)設(shè)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為x > oc,x M a,Lfa?一，、1IF（x,內(nèi)份=1冰）0,其中參數(shù)a>0,B>1.設(shè)X1，X2，Xn為來(lái)自總體X的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本(I)當(dāng)a=1時(shí)，求未知參數(shù)0的矩估計(jì)量；(n)當(dāng)a=1時(shí)，求未知參數(shù)B的最大似然估計(jì)量；(m)當(dāng)3=2時(shí)，求未知參數(shù)a的最大似然估計(jì)量.2004年考研數(shù)學(xué)(三)真題解析一、填空題(本題共6小題，每小題4分，滿分24分.把答案填在題中橫線上)若limsinx(cosxb)=5,則a=1,b=-4.x>0ex_a【分析】本題屬于已知極限求參數(shù)的反問(wèn)題.【詳解】因?yàn)閘imSinx(c

50、osxb)=5,且limsinx，(cosx-b)=0,所以x>0ex-ax>0lim(exa)=0,得a=1.極限化為x0sinxxlim-(cosxb)=lim一(cosxb)=1b=5,得b=-4.x0eax0x因此，a=1,b=-4.【評(píng)注】一般地，已知lim上為=A,g(x)(1)若g(x)T0,則f(x)T0；(2)若f(x)t0,且A豐0,則g(x)T0.(2)設(shè)函數(shù)f(u,v)由關(guān)系式fxg(y),y=x+g(y)確定，其中函數(shù)g(y)可微，且g(y)豐0,.：:ufvg2(v)【分析】令u=xg(y),v=y,可得到f(u,v)的表達(dá)式，再求偏導(dǎo)數(shù)即可.【詳解】令

51、u=xg(y),v=y,貝Uf(u,v)=U+g(v),g(v)所以,；f_1；：2f_g(v):ug(v)uvg2(v)x21-1xe,xx<21設(shè)f(x)=<22,則1f(x-1)dx=-1,x>-22L2x- 1 = t,再利用對(duì)稱(chēng)區(qū)間上奇偶函數(shù)【分析】本題屬于求分段函數(shù)的定積分，先換元:的積分性質(zhì)即可.211【詳解】令x1=t,J1f(x1)dx=J1f(t)dt=11f(x)dt2-2-21Y2_1.一一_11=21xedx1(T)dx=0()=.一22【評(píng)注】一般地，對(duì)于分段函數(shù)的定積分，按分界點(diǎn)劃分積分區(qū)間進(jìn)行求解(4)二次型f(x1,x2,x3)=(x1+x2)2+(x2-x3)2+(x3+x1)2的秩為_(kāi)2_.【分析】二次型的秩即對(duì)應(yīng)的矩陣的秩，亦即標(biāo)準(zhǔn)型中平方項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)，于是利用初等變換或配方法均可得到答案.【詳解一】因?yàn)閒(x1，x2,x3)=(x1+x2)2+(x2x3)2+(x3+x1)222二 2x12x22,2X3,2x1X2,2x1X3-2X2X3于是二次型的矩陣為由初等變換得從而r(A)=2,211A=12-11-121-12”At033t<03-3>即二次型的秩為2.-1302-30【詳解二】因?yàn)閒(x1,