初中數(shù)學(xué)-中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)講義-平行四邊形的性質(zhì)及判定.講義學(xué)生版

1、平行四邊形的性質(zhì)及判定中考要求板塊測(cè)試要求A級(jí)要求B級(jí)要求C級(jí)要求平行四邊形會(huì)識(shí)別平行四邊形掌握平行四邊形的概念、判定和性質(zhì),會(huì)用平行四邊形的性質(zhì)和判定解決簡(jiǎn)單問(wèn)題會(huì)運(yùn)用平行四邊形的性質(zhì)和判定解決后關(guān)問(wèn)題且HUlB知識(shí)點(diǎn)睛1 .平行四邊形的性質(zhì)平行四邊形的邊：平行四邊形的對(duì)邊平行且對(duì)邊相等.平行四邊形的角：平行四邊形的對(duì)角相等,鄰角互補(bǔ).平行四邊形的對(duì)角線：平行四邊形的對(duì)角線互相平分.平行四邊形的對(duì)稱(chēng)性：平行四邊形是中央對(duì)稱(chēng)圖形.平行四邊形的周長(zhǎng)：一組鄰邊之和的2倍.平行四邊形的面積：底乘以高.2 .平行四邊形的判定兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形.兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形.兩

2、條對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形.兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平行四邊形一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形.11Mb£例題精講一、平行四邊形的性質(zhì)【例1】如圖,四邊形ABCD為平行四邊形,即ABIICD,ADIIBC.通過(guò)證實(shí)三角形全等來(lái)說(shuō)明:AB=CD,AD=BC.對(duì)邊相等AO=CO,BO=DO.對(duì)角線互相平分【穩(wěn)固】【例2】如圖,在平行四邊形ABCD中,EF/BC,GH/AB,EF與GH相交于點(diǎn)O,圖中共有如圖,E,F是平行四邊形ABCD對(duì)角線上的兩點(diǎn),BE=DF,那么AF和CE相等嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由平行四邊形【穩(wěn)固】以三角形的三個(gè)頂點(diǎn)作平行四邊形,最多可以作A.2個(gè)B.3個(gè)C

3、.4個(gè)D.5個(gè)【例3】2021蘭州如圖,平行四邊形ABCD中,AB_LAC.對(duì)角線AC,BD相交于點(diǎn)O,將直線AC繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn),分別交BC,AD于點(diǎn)E,F.證實(shí)：當(dāng)旋轉(zhuǎn)角為90邛寸,四邊形ABEF是平行四邊形；試說(shuō)明在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中,線段AF與EC總保持相等.【例4】在平行四邊形ABCD中,點(diǎn)A1、A、A3、A和Ci、C2、C3、C4分別為AB和CD的五等分點(diǎn),點(diǎn)B、B2和Di、D2分別是BC和DA的三等分點(diǎn),四邊形A4B2c4D2的面積為1,那么平行四邊形ABCD面積為A.2B.3C.5D.1553AAL42/4B【穩(wěn)固】【例5】面積為A. 3現(xiàn)有如圖2).B. 6C.12D.24的鐵片,其

4、形狀是一個(gè)大的平行四邊形在一角剪去一個(gè)小的平行四邊形,工人師傅想如圖,在平行四邊ABCD中,AC、BD為對(duì)角線,BC=6,BC邊上的高為4,那么陰影局部的用一條直線將其分割成面積相等的兩局部,請(qǐng)你幫助師傅設(shè)計(jì)三種不同的分割方案.如圖1,.1,.2,.3,.4為四個(gè)等圓的圓心,A,B,C,D為切點(diǎn),請(qǐng)你在圖中畫(huà)出一條直線,將這四個(gè)圓分成面積相等的兩局部,并說(shuō)明這條直線經(jīng)過(guò)的兩個(gè)點(diǎn)是Oi,O2,O3,O4,O5為五個(gè)等圓的圓心,A,B,C,D,E為切點(diǎn),;如圖2,請(qǐng)你在圖中畫(huà)出一條直線,將這五個(gè)圓分成面積相等的兩局部,并說(shuō)明這條直線經(jīng)過(guò)的兩個(gè)點(diǎn)是【例6】如圖,求證:E,F是平行四邊形ABCD的對(duì)角

5、線AC上的兩點(diǎn),AE=CF.(1) MDACBE;(2) EBIIDF.【穩(wěn)固】如圖,：在平行四邊形ABCD中,/BCD的平分線CE交邊AD于E,/ABC的平分線BG交CE于F,交AD于G.求證：AE=DG.【例7】：如圖,平行四邊形ABCD內(nèi)有一點(diǎn)E滿(mǎn)足ED_LAD于點(diǎn)D,/EBC=/EDC,/ECB=45,請(qǐng)找出與BE相等的一條線段,并給予證實(shí).【穩(wěn)固】如圖,E、F是平行四邊形ABCD對(duì)角線AC上兩點(diǎn),BE/DF,求證：AF=CE.AD【例8】如圖,在平行四邊形ABCD中,連接對(duì)角線BD,過(guò)A,C兩點(diǎn)分別作AE_LBD,CF_LBD,E,F為垂足,求證：四邊形AECF是平行四邊形【穩(wěn)固】如

6、圖,平行四邊形ABCD中,E是BC的中點(diǎn),DE、AB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F,連接AE、CF.求證：SBE=S&FC.例9如圖,等邊三角形的邊長(zhǎng)為10,P是MBC內(nèi)一點(diǎn),PD/AC,PE/AB,PF/BC,點(diǎn)D,E,F分別在AB,BC,AC上,那么PD+PE+PF=如圖1,在平行四邊ABCD中,/A=120.那么/D=B圖1那么,BCEA圖2A.任意四邊形C.對(duì)角線相等的四邊形B.平行四邊形D.對(duì)角線垂直的四邊形2021東營(yíng)如圖3,在平行四邊ABCD中,AD=8cm,AB=6cm,DE平分/ADC交BC邊于點(diǎn)E,那么BE等于如圖2,在平行四邊形ABCD中,DB=DC,/A=65.CE_LBD于

7、E四邊形的四條邊長(zhǎng)分別是a,b,cd,其中a,b為對(duì)邊,并且滿(mǎn)足2222a+b+c+d=2ab+2cd那么這個(gè)四邊形是平行四邊形ABCD的周長(zhǎng)為60cm,對(duì)角線AC、BD相交于O點(diǎn),&AOB的周長(zhǎng)比ABOC的周長(zhǎng)多8cm,那么AB的長(zhǎng)度為【穩(wěn)固】【例10】如圖,是某區(qū)局部街道示意圖,其中CE垂直平分AF,AB/DC,BC/DF,從B站乘車(chē)到E站只有兩條路線有直接到達(dá)的公交車(chē),路線1是B-D-A-E,兩條路線路程的長(zhǎng)短,并給出證實(shí).路線2是BC-FE,請(qǐng)比擬【穩(wěn)固】如圖是某市一公園的路面示意圖,其中,ABCD是平行四邊形,垂足,G、H分別是BC、AD的中點(diǎn),連接EG,GF,FH.BE_L

8、AC,DF_LAC,E、HE為公園中小麗問(wèn)小明從地經(jīng)E地,H地到F地,與小強(qiáng)從D地經(jīng)F地,G地到E地,誰(shuí)的路程遠(yuǎn).一個(gè)平行四邊形的兩條對(duì)角線的長(zhǎng)分別為5和7,那么它的一條邊長(zhǎng)a的取值范圍是【例11】AC是平行四邊形ABCD較長(zhǎng)的一條對(duì)角線,點(diǎn)O是ABCD內(nèi)部一點(diǎn),0尸_1八口于點(diǎn)尸,OG_LAC于點(diǎn)G,求證：AEAB+AFAD=AGAC.OE_LAB于點(diǎn)E,在平行四邊形ABCD中,過(guò)A任作一直線AM,過(guò)B、C、D作AM的垂線BE、CF、DG,垂足分別是E、F、G,求證：BE=DG-CF-二、平行四邊形性質(zhì)和判定的綜合應(yīng)用【例12】點(diǎn)A、B、C、D在同一平面內(nèi),從AB/CD,AB=CD,BC/A

9、D,BC=AD.這四個(gè)條件中任選兩個(gè),能使四邊形ABCD是平行四邊形的選法有()種A.3B.4C.5D.6【穩(wěn)固】如圖,：AD是AABC的角平分線,證：四邊形BDEF是平行四邊形DE/AB,在AB上截取BF=AE,連接DE,EF,求【例13：如圖,在平行四邊形ABCD中,E,F分別是AB,CD的中點(diǎn).求證：AAFDACEB;(2)四邊形AECF是平行四邊形.【穩(wěn)固】如圖,四邊形ABCD中,AB/CD,NB=ND,BC=6,AB=3,求四邊形ABCD的周長(zhǎng).AB和BC.【例14】如下圖,P為平行四邊形ABCD內(nèi)一點(diǎn),求證：以AP、BP、CP、DP為邊可以構(gòu)成一個(gè)四邊形,并且所構(gòu)成的四邊形的對(duì)角線

10、的長(zhǎng)度恰好分別等于【例15如下圖,在平行四邊形ABCD中,、F是對(duì)角線AC上兩點(diǎn),且AF=CE,求證：四邊形BEDF是平行四邊形.【穩(wěn)固】：如圖,AD/BC,ED/BF,且AF=CE.求證：四邊形ABCD是平行四邊形.【例16如圖,在平行四邊形ABCD的各邊AB,BC,CD,DA上,分別取E,F,G,H,使AE=CG,BF=DH,求證：四邊形EFGH為平行四邊形【例17如圖,四邊形ABCD的對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)P,過(guò)點(diǎn)P作直線交AD于點(diǎn)E,交BC于點(diǎn)F.假設(shè)PE甲,且AP+AE=CP+CF.求證：四邊形ABCD是平行四邊形.【穩(wěn)固】如圖,在平行四邊形ABCD中,點(diǎn)M、N是對(duì)角線AC上的點(diǎn),且

11、AM=CN,DE=BF,求證:四邊形MFNE是平行四邊形.【穩(wěn)固】如圖,E、F分別是平行四邊形ABCD的AD、BC邊上的點(diǎn),且AE=CF.求證：MBEACDF;假設(shè)M,N、分別是BE、DF的中點(diǎn),連接MF、EN,試判斷四邊形MFNE是怎樣的四邊形,并證實(shí)你的結(jié)論.【例18如圖,過(guò)四邊形ABCD對(duì)角線白交點(diǎn)O作直線EF交AD、BC分別于E、F,又G、H分別為T(mén)TOB、OD的中點(diǎn),求證：四邊形EHFG為平行四邊形.【穩(wěn)固】如圖,MCD、MBE>&BCF均為直線BC同側(cè)的等邊三角形.當(dāng)AB¥AC時(shí),證實(shí)四邊形ADFE為平行四邊形.【例19】A.B.C.D.以&ABCD

12、的對(duì)邊AB、CD為邊分別在外作等邊MBE、等邊ACDF.求證:平行四邊形.四邊形AECF是等邊MBC中,點(diǎn)D在BC上,點(diǎn)E在AB上,四邊形CDFE是平行四邊形.如圖,點(diǎn)E,F,G,H,M,N分別在AABC的BC,AC,AB邊上,且NH/MG/BC,ME/NF/AC,GFIIEHIIAB,有黑、白兩只螞蟻,它們同時(shí)同速?gòu)某霭l(fā),黑螞蟻沿路線FtNtHtEtMtGtF爬行,白螞蟻沿路線FtBtAt爬行,那么黑螞蟻先回到F點(diǎn)白螞蟻先回到F點(diǎn)兩只螞蟻同時(shí)回到F點(diǎn)哪只螞蟻先回到F點(diǎn)視各點(diǎn)的位置而定【例20如圖,AC是平行四邊形ABCD的對(duì)角線,MCP和AACQ都是等邊三角形,求證：四邊形BPDQ是平行四邊

13、形.【穩(wěn)固】如圖,MBC中,D是AB的中點(diǎn),E是AC上任意一點(diǎn),EF/AB,DF/BE.求證：DF與AE互相平分.【例21如圖,田村有一口呈四邊形的池塘,在它的四個(gè)角A,B,C,D處均種有一顆大核桃樹(shù),田村準(zhǔn)備開(kāi)挖池塘建養(yǎng)魚(yú)池,想使池塘面積擴(kuò)大一倍,又想讓核桃樹(shù)不動(dòng),并要求擴(kuò)建后的池塘成平行四邊形的形狀,請(qǐng)問(wèn)田村能否實(shí)現(xiàn)這一設(shè)想？假設(shè)能,請(qǐng)你設(shè)計(jì)并畫(huà)出圖形,假設(shè)不能,請(qǐng)說(shuō)明理由【穩(wěn)固】如圖,在AABC中,NACB=902點(diǎn)E為AB中點(diǎn),連結(jié)CE,過(guò)點(diǎn)E作ED_LBC于點(diǎn)D,在DE的延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)F,使AF=CE.求證：四邊形ACEF是平行四邊形.【例22如圖,在平行四邊形ABCD中,DE_LA

14、B于E,BM=MC=DC,那么/EMC與/BEM的大小關(guān)系怎樣？【穩(wěn)固】平行四邊形ABCD,BC=2AB,M為AD的中點(diǎn),CE_LAB.求證：/EMD=3/AEM.【例23】：如圖,平行四邊形ABCD中,AE、BE、CF、DF分別平分/BAD、/ABC、/BCD、ZCDA,BE、DF的延長(zhǎng)線分別交AD、BC于點(diǎn)M、N.連接EF,假設(shè)AD=7,AB=4.求EF的長(zhǎng).【例24如圖,p為平行四邊形ABCD內(nèi)一點(diǎn),過(guò)點(diǎn)P分別作AB、AD的平行線,交平行四邊形于E、F、G、H四點(diǎn),假設(shè)Sahpe=3,SpFCG=5,求Sapbd【例25如圖,在MBC中,AB=AC,AD_LBC于D,點(diǎn)P在BC上,PE_

15、LBC交BA的延長(zhǎng)線于巳交AC于F.求證：2AD=PE+PF;【穩(wěn)固】如圖,四邊形EFGH中,假設(shè)/1=/2,那么/3必然等于24.請(qǐng)運(yùn)用結(jié)論證實(shí)下述問(wèn)題：如圖,在平行四邊形ABCD中取一點(diǎn)P,使得4=/6,求證：Z7=Z8.【穩(wěn)固】如下圖,在平行四邊形ABCD中,求證AC2+BD2=AB2+BC2+CD2+DA2.【例26】如圖,MBC中,NCn點(diǎn)M在BC上,且BMBN相交于點(diǎn)P,求證：/BPM=45°=AC,點(diǎn)N在AC上,且AN=MC,AM與B【例27】如圖,ABCD為平行四邊形,AD=a,BEIIAC,求證：DF=FE;DE交AC的延長(zhǎng)線于F點(diǎn),交BE于E點(diǎn).假設(shè)AC=2CF,

16、/ADC=60、AC_LDC,求BE的長(zhǎng);在的條件下,求四邊形ABED的面積.A目隨課后練習(xí)TTmTt1. 如下圖,四邊形ABCD,從AB/DC;AB=DC;AD/BC;(4)AD=BC;/A=/C;(6)ZB=/D中取兩個(gè)條件加以組合,能推出四邊形ABCD是平行四邊形的有哪幾種情形？請(qǐng)寫(xiě)出具體組合.2. 如圖3,一個(gè)平行四邊形被分成面積為6、8、S3、S4四個(gè)小平行四邊形,當(dāng)CD沿AB自左向右在平行四邊形內(nèi)平行滑動(dòng)時(shí).§S4與S2s3的大小關(guān)系為.點(diǎn)C與點(diǎn)A、B不重合時(shí),圖中共有個(gè)平行四邊形,3. 如圖,在平行四邊形ABCD中,AD=5,AB=3,AE平分/BAD交BC邊于點(diǎn)E,那么線段BE,EC的長(zhǎng)度分別為()A.2和3B.3和2C.4和1D.1和4如圖4. BD為平行四邊形ABCD的對(duì)角線,過(guò)C作CEIIBD,連接AE交BD的延長(zhǎng)線于F,求證：AF=FE.5. 如圖,平行四邊形ABCD中,AE_LBD于E,CF_LBD于F.求證：AE=