計(jì)算方法_微分方程數(shù)值解

1、第6章 常微分方程初值問(wèn)題數(shù)值解法 6.1 問(wèn)題的描述和基本概念1、常微分方程初值問(wèn)題l 一般形式 式中已知，稱為初值條件.l 初值問(wèn)題的數(shù)值方法和數(shù)值解求函數(shù)在若干離散點(diǎn)上的近似值的方法稱為初值問(wèn)題的數(shù)值方法，而稱為初值問(wèn)題的數(shù)值解.2. 建立數(shù)值解法的思想與方法用離散化方法將初值問(wèn)題化為差分方程, 然后再求解.設(shè)節(jié)點(diǎn)為距離稱為步長(zhǎng).求數(shù)值解一般是從開使逐次順序求出.初值問(wèn)題的解法有單步法和多步法兩種：l 單步法：計(jì)算時(shí)只用到一個(gè)值；l 多步法：計(jì)算時(shí)要用多個(gè)值。數(shù)值解法還有顯格式和隱格式之分。l 微分方程離散化方法主要有數(shù)值微分法，數(shù)值積分法和Taylor展開法1) 數(shù)值微分法由，用數(shù)值微

2、分的2點(diǎn)前差公式代替，得近似離散化方程記，做，“”，得差分方程即 （Euler公式）由初值條件及Euler公式可求出數(shù)值解.Euler公式是顯式單步法.2）數(shù)值積分法在上對(duì)兩邊取定積分，得右端積分用左矩形公式（數(shù)值積分公式）得于是得到求初值問(wèn)題的Euler方法 右端積分用右矩形公式（數(shù)值積分公式）得于是得到求初值問(wèn)題的后退Euler方法 后退Euler方法是隱式的.右端積分用梯形公式（數(shù)值積分公式）得近似離散化方程：于是得到求初值問(wèn)題的梯形方法 該公式是隱式單步法.3）Taylor展開法因?yàn)槌踔祮?wèn)題中函數(shù)是已知函數(shù)，由，可以計(jì)算，于是有函數(shù)在處的Taylor展式取上式右端前若干項(xiàng)，得近似離散化

3、方程.例如取前兩項(xiàng)有于是又得到Euler公式：.3. 數(shù)值解法的誤差、階與絕對(duì)穩(wěn)定性單步法數(shù)學(xué)描述為顯式： 其中稱為增量函數(shù).l 顯式單步法的一些概念定義1 稱為單步法在節(jié)點(diǎn)的整體截?cái)嗾`差，而稱 為在點(diǎn)的局部截?cái)嗾`差。表示解在的值，是準(zhǔn)確值，沒(méi)有誤差；表示由數(shù)值解公式得出的近似值，是數(shù)值解，有截?cái)嗾`差.l 局部截?cái)嗾`差的理解假設(shè)在計(jì)算時(shí)沒(méi)有誤差（）下,計(jì)算出的（）與的誤差(計(jì)算一步的誤差）.定義2 如果數(shù)值解法的局部截?cái)嗾`差為則稱該方法具有p階精度或該方法是p階方法.方法的階越高，方法越好.l 局部截?cái)嗾`差的主項(xiàng)如果某方法是p階方法，按可展為則稱為局部截?cái)嗾`差的主項(xiàng).在同階方法中，局部截?cái)嗾`差

4、的主項(xiàng)越小，方法越好. 對(duì)Euler方法，有 將在點(diǎn)展開，有 故有Euler方法是一階方法. 例1 試求梯形方法的階和局部截?cái)嗾`差主項(xiàng). 解 該單步公式的局部截?cái)嗾`差是 故局部截?cái)嗾`差主項(xiàng)是，方法是二階的. 定義3 設(shè)某種數(shù)值方法在上大小為的擾動(dòng)，于以后各上產(chǎn)生的偏差均不超過(guò)，則稱該數(shù)值方法是穩(wěn)定的。通常用試驗(yàn)方程 （為復(fù)數(shù)）來(lái)討論求解數(shù)值方法絕對(duì)穩(wěn)定性.Euler方法穩(wěn)定性將Euler公式用于試驗(yàn)方程，得到 設(shè)計(jì)算時(shí)有誤差則有得要想，只須，因此Euler方法在時(shí)是絕對(duì)穩(wěn)定的，其絕對(duì)穩(wěn)定域?yàn)閺?fù)平面上以(-1,0)為中心的單位圓盤.絕對(duì)穩(wěn)定區(qū)間為 6.2 Runge-Kutta方法稱為級(jí)R-K方

5、法.增量函數(shù)是 構(gòu)造過(guò)程以來(lái)說(shuō)明Runge-Kutta方法的構(gòu)造方法和過(guò)程，對(duì)一般的Runge-Kutta方法可類似處理.的Runge-Kutta公式為 式中 ，.由，可得在處做Taylor展開，有 對(duì)在做二元Taylor展開，有 由 ，有 選 有局部截?cái)嗾`差，這樣可得到二階Runge-Kutta公式.取，則式（6.13）的解為，取不同的可得出不同的二階Runge-Kutta公式.如取時(shí)，得到改進(jìn)的Euler公式 時(shí)，得到中點(diǎn)公式l 經(jīng)典Runge-Kutta公式 四階方法.例1 設(shè)初值問(wèn)題為 分別用Euler方法（），改進(jìn)Euler方法（）和經(jīng)典Runge-Kutta方法（）計(jì)算。解 Eul

6、er方法計(jì)算格式（）為改進(jìn)的Euler方法計(jì)算格式（）為經(jīng)典Runge-Kutta方法計(jì)算格式（）為它們的初值，計(jì)算結(jié)果及準(zhǔn)確解列于下表Euler方法改進(jìn)Euler方法經(jīng)典R-K法 000000.10.096 3120.095 1230.095 162500.095 162 580.20.183 3480.181 1930.181 269 100.181 269 250.30.262 0010.259 0850.259 181 580.259 181 780.40.333 0790.329 5630.329 679 710.329 679 95例2 給定初值問(wèn)題1）分析求解公式的局部截?cái)嗾`差，

7、指出它是幾階公式；2）證明用上面求解公式計(jì)算初值問(wèn)題的數(shù)值解成立極限 本題中的節(jié)點(diǎn)是等距節(jié)點(diǎn)，h為步長(zhǎng)，n為由節(jié)點(diǎn)分割區(qū)間a,b的份數(shù).解 由題意有1）局部截?cái)嗾`差將在點(diǎn)做Taylor展開到項(xiàng)，將在點(diǎn)做二元Taylor展開到項(xiàng)，則有得所用公式是2階的.2）顯然所給初值問(wèn)題的準(zhǔn)確解為。由給出的數(shù)值解計(jì)算公式有故 式中6.3 線性多步法線性多步法的一般計(jì)算格式為 式中均為常數(shù),，為等距節(jié)點(diǎn)，步長(zhǎng)為h.若不同時(shí)為零，計(jì)算一個(gè)需要用到前個(gè)值,方法稱為線性步法.當(dāng)n>1時(shí)就稱為線性多步方法.構(gòu)造線性多步法有基于數(shù)值積分方法和Taylor展開方法兩種手段.局部截?cái)嗾`差和精度 線性多步法在的局部截?cái)嗾`差為若 則稱方法是階的.1. 基于Taylor展開的構(gòu)造方法 例1 設(shè)求初值問(wèn)題的線性3步公式具有如下形式h為步長(zhǎng)，試求系數(shù)a,b,c使該公式的階數(shù)盡可能高，并寫出其局部截?cái)嗾`差. 解 局部截?cái)嗾`差為因?yàn)橛?個(gè)待定系數(shù)，選擇截?cái)嗾`差的前3項(xiàng)的系數(shù)為零，得關(guān)于待定系數(shù)的線性方程組該方程組有唯一解 ，用此值代入第四項(xiàng)的系數(shù)，有故有當(dāng)時(shí)，所給公式的階數(shù)達(dá)到最高，其值為3，對(duì)應(yīng)的局部截?cái)嗾`差為2.基于數(shù)值積分的構(gòu)造方法l Adams方法給出構(gòu)造過(guò)程。 以為節(jié)點(diǎn)構(gòu)造的Lagrange插值多項(xiàng)式 可有，因此因