數(shù)學直覺思維及培養(yǎng)

1、淺論數(shù)學直覺思維及培養(yǎng)中學數(shù)學教學大綱（試驗修訂本）將培養(yǎng)學生的三大能力之一“思維能力”，雖然只是去掉邏輯兩個字，概念的內(nèi)涵卻更加豐富，人們在教育的實踐中實現(xiàn)了認識上的轉(zhuǎn)變。在注重邏輯思維能力的培養(yǎng)容易的同時，還應(yīng)該注重觀察力、直覺力、想象力的培養(yǎng)。特別是直覺思維能力的培養(yǎng)由于長期得不到重視，學生在學習的過程中對數(shù)學的本質(zhì)容易造成誤解，認為數(shù)學是枯燥乏味的；同時對數(shù)學和學習也缺乏取得成功的必要的信心，從而喪失數(shù)學學習的興趣。過多的注重邏輯思維能力和培養(yǎng)，不利于思維能力的整體發(fā)展。培養(yǎng)直覺思維能力是社會發(fā)展的需要，是適應(yīng)新時期社會對人才的需求。一、 數(shù)學直覺概念的界定簡單的說，數(shù)學直覺是具有意識

2、的人腦對數(shù)學對象（結(jié)構(gòu)及其關(guān)系）的某種直接的領(lǐng)悟和洞察。對于直覺作以下說明：（1） 直覺與直觀直感的區(qū)別直觀與直感都是以真實的事物為對象，通過各種感覺器官直接獲得的感覺或感知。例如等腰三角形的兩個底角相等，兩個角相等的三角形是等腰三角形其概念、性質(zhì)的界定并沒有一個嚴格的證明，只是一種直觀形象和感知。而直覺的研究對象則是抽象的數(shù)學結(jié)構(gòu)及其關(guān)系。龐加萊說：“直覺不必建立在感覺明白之上，感覺不久便會變的無能為力。例如，我們?nèi)詿o法想象千角角形，但我們能夠通過直覺一般地思考多角形，多角形把千角形作為一特例包括進來?！庇纱丝梢娭庇X是一種深刻的心理活動，沒有具體的直觀形象和可操作的邏輯寫后作思考的背景。下如

3、迪瓦多內(nèi)所說：這些富有創(chuàng)造性的科學家與眾不同的地方，在于他們對研究的對象有一個全面科學研究的構(gòu)想和深刻的了解，這些構(gòu)想和了解結(jié)合起來，就是所講的“直覺”，因為它適用的對象，一般說來，在我們的感官世界中是看不見的。（2）直覺與邏輯的關(guān)系從思維方式上來看，思維可以分為邏輯思維、直覺思維。長期以來人們刻意的把兩者分離開來，其實這是一種誤解，邏輯思維與直覺思維從來就不是割離的。有一種觀點認為邏輯重于演繹，而直觀重于分析，從側(cè)重角度來看，此話不無道理，但側(cè)重并不等于全面，邏輯思維中是否會有直覺成分？數(shù)學直覺是否具有邏輯性？比如在日常生活中有許多說不清道不明的東西，人們對各種事件作出判斷與猜想離不開直覺的

4、體現(xiàn)，甚至可民說直覺無時無刻不在起作用。數(shù)學的形式將思考的理性過程格式化。數(shù)學最初的概念都是基于直覺，數(shù)學在一定程度上就是在問題解決中得到了發(fā)展的，問題解決也離不開直覺，下面我們就以數(shù)學問題的證明為例，來考察直覺在證明過程中所起的作用。一個數(shù)學證明可以分解為許多基本運算或許多“演繹推理元素”，一個成功的數(shù)學證明是這基本運算或“演繹推理元素”的一個成功的組合，仿佛是一條從出發(fā)點到終點的通道，一個個基本運算和“演繹推理元素”就是這條通道的一個個路段，當一個成功的證明擺在我們面前，開始邏輯可以幫助我們確信沿這條路必定能順利地到達目的地，但是邏輯卻不能告訴我們，為什么這些路徑的選取與這樣的組合可以構(gòu)成

5、一條通道。事實上，出發(fā)不久就會遇上叉路，也就是遇上了不確定選擇結(jié)構(gòu)通道的路段的問題。龐加萊認為，即使能復寫出一個成功的數(shù)學證明，但不知道是什么東西造成了證明的一致性，這些元素安置的順序比元素本身更加重要。笛卡兒認為在數(shù)學推理中的每一步，直覺都是不可缺少的。就好似我們平時打籃球，要靠球感一樣，在快速運動中來不及去作邏輯判斷，動作只是下意識的，而下意識的動作正是在平時訓練產(chǎn)生的一種直覺。在教育過程中，老師由于批改證明過程過分的嚴格化、程序化。學生只是見到一具僵硬的邏輯外殼，直覺的光環(huán)被掩蓋住了，而把成功往往歸功于邏輯的功勞，對自己的直覺反而不覺得。學生的內(nèi)在潛能沒有被激發(fā)出來，學習的興趣沒有被調(diào)動

6、起來，得不到思維的真正樂趣。中國青年報曾報道，“約30%的初中學生學習了平面幾何推理之后，喪失了對數(shù)學學習的興趣”，這種現(xiàn)象就該引起教學教育者的重視與反思。二、直覺思維的主要特點直覺思維具有自由性、靈活性、自發(fā)性、不可靠性等特點，從培養(yǎng)直覺思維的必要性來看，筆者以為直覺思維有以下三個主要特點：（1）簡單約性直覺思維對象從整體上考察，調(diào)動自己的全部知識經(jīng)驗，通過豐富的想象作出的敏銳而迅速的假設(shè)，猜想或判斷，它省去了一步一步分析推理的中間環(huán)節(jié)，而采取了“跳躍式”的形式。它是一瞬間的思維火花，是長期積累上的一種升華，是思維過程的高度簡化，但是它卻清晰的觸及到事物的“本質(zhì)”。（2）創(chuàng)造性現(xiàn)代社會需要創(chuàng)

7、造性的人才，我國的教材由于長期以來借鑒國外的經(jīng)驗，過多的注重培養(yǎng)邏輯思維，培養(yǎng)的人才大多數(shù)習慣于按部就班、墨守成規(guī)，缺乏創(chuàng)造能力和開拓精神。直覺思維的無意識性，它的想象才是豐富了的。發(fā)散的，使人的認知結(jié)構(gòu)向外無限擴展，因而具有反常規(guī)律的獨創(chuàng)性。伊恩·期圖加特說：“直覺是真正的數(shù)學家賴以生存的東西”，許多重大的發(fā)現(xiàn)都是基于直覺。歐幾里得幾何學的五個公設(shè)都是基于直覺，從而建立起歐必里得幾何學這棟輝煌的大廈；哈密頓在散步的路中觸發(fā)了構(gòu)造四素的火花；阿基米德在浴室找到了辨別王冠真假的方法；凱庫勒發(fā)現(xiàn)苯分子環(huán)狀結(jié)構(gòu)更是直覺思維的成功典范。（3）自信力學生對數(shù)學產(chǎn)生興趣的原因有兩種，一種是教師的

8、人格魅力，其二是來自數(shù)學本身的魅力。不否認情感的重要作用，但筆者的觀點是，興趣更多來自本身。成功可以培養(yǎng)一個的自信直覺發(fā)現(xiàn)伴隨著很強的“自信心”。相比其它的物資獎勵和情感激勵，這種自信更穩(wěn)定、更持久。當一個問題不用通過邏輯證明的形式而是通過自己的直接獲得，那么成功帶給他的震撼是巨大的，內(nèi)心將會產(chǎn)生一種強大的學習鉆研動力，從而更加相信自己的能力。高斯在小學時就能解決問題“1+2+99+100=？”，這是基于他對數(shù)學的敏感性的超常把握，這對他一生的成功產(chǎn)生了不可磨滅的影響。而現(xiàn)在的中學生極少具有直覺意識，對有限的直覺也半信半疑，不能從整體上駕馭問題，也就無法形成自信。三、直覺思維的培養(yǎng)一個人的數(shù)學

9、思維，判斷能力的高低主要以決于直覺思維能力的高低。徐利治教授反映出：“數(shù)學直覺是后天培養(yǎng)的，實際上每個人的數(shù)學直覺是可以后天培養(yǎng)的，實際上每個人的數(shù)學直覺也是不斷提高的?！睌?shù)學直觀是可以通過訓練提高的。（1）扎實的基礎(chǔ)是產(chǎn)生直覺的源泉直覺不是靠“機遇”，直覺的獲得雖然具有偶然性，但決不是無緣無故的憑空臆想，而是不會迸發(fā)出思維的火花的。阿提雅說：“一旦你真正感到弄懂一樣東西，而且你通過大量例子以能通過與其它東西的聯(lián)系取得了處理那個問題的足夠多的經(jīng)驗。對此你就會產(chǎn)生一種關(guān)于正在發(fā)展的過程是怎么回事以及什么結(jié)論應(yīng)該是正確的直覺”。阿達瑪曾風趣的說：“難道一只猴子也能應(yīng)機遇而找印成整部美國憲法嗎？”（

10、2）滲透數(shù)學和哲學觀念直覺的產(chǎn)生是基于對研究地對象整體的把握，而哲學觀點有利于高屋建筑的把握事物的本質(zhì)。這些哲學觀點包括數(shù)學中普通存在的對立統(tǒng)一、運動變化、相對轉(zhuǎn)化、對稱性等。例如（a+b）2=a2=2ab+b2,即使沒有學過完全平方式，也可以用對稱的觀點判斷結(jié)論的真?zhèn)?。美感和美的意識是數(shù)學直覺的本質(zhì)，提高審美能力有利于培養(yǎng)數(shù)學事物間所有存在著的和諧關(guān)系及秩序的直覺意識，狄拉克于1931年從數(shù)學對稱的角度考慮大膽的提出了反物質(zhì)的假說，他認為真空中的反電子就是正電子。他還對麥克勘探韋方程組提出質(zhì)疑，他曾經(jīng)說，如果一個物理方程在數(shù)學上看上去不那么正確，這個方程的正確性是可疑的。（3）重視解題教學教

11、學中選題適當?shù)念}目類型，有利于培養(yǎng)，考察學生的直覺思維。例如選擇題，由于只要求從四個選擇中挑選出來，省略解題過程，容許合理的猜想有利于直覺思維的發(fā)展。實施開放性問題教學，也是培養(yǎng)直覺思維的有效方法。開放性問題和條件或結(jié)論不夠明確，可以從多角度由果尋因，由因索果，提出猜想，由于答案的發(fā)散性，有利于直覺思維能力的培養(yǎng)。（4）設(shè)置直覺思維的意境和動機誘導這就要求教師轉(zhuǎn)變教學觀念，把主動權(quán)還給學生。對于學生的大膽設(shè)想給予充分肯定，對其合理萬分及時給予鼓勵，愛護、扶植學生的自必性直覺思維，以免挫傷學生直覺思維的悟性。教師應(yīng)該把直覺思維冠冕堂皇的在課堂教學中明確的提出，制定直覺思維的活動策略，從整體上把握部分的特征；重視直覺思維方法的教學，諸如：換元、數(shù)形