專題15多邊形的邊與角

1、專題15多邊形的邊與角閱讀與思考兩個幾何圖形的全等是指兩個圖形之間的一種關(guān)系,其中最根本的關(guān)系是兩個圖形的點(diǎn)的對應(yīng)關(guān)系,以及對應(yīng)邊之間、對應(yīng)角之間的相等關(guān)系.全等三角形是研究三角形、四邊形等圖形性質(zhì)的主要工具,是解決有關(guān)線段、角等問題的一個出發(fā)點(diǎn),證實(shí)線段相等、線段和差相等、角相等、兩直線位置關(guān)系等問題總要直接或間接用到全等三角形,我們把這種應(yīng)用全等三角形來解決問題的方法稱為全等三角形法.我們實(shí)際遇到的圖形,兩個全等三角形并不重合在一起,而是處于各種不同的位置,但其中一個是由另一個經(jīng)過平移、翻折、旋轉(zhuǎn)等變換而成的.了解全等變換的這幾種形式,有助于發(fā)現(xiàn)全等三角形、確定對應(yīng)元素.善于在復(fù)雜的圖形中

2、發(fā)現(xiàn)、分解、構(gòu)造根本的全等三角形是解題的關(guān)鍵,應(yīng)熟悉涉及有關(guān)會共邊、公共角的以下兩類根本圖形：例題與求解【例1】考查以下命題：全等三角形的對應(yīng)邊上的中線、高、角平分線對應(yīng)相等；兩邊和其中一邊上的中線或第三邊上的中線對應(yīng)相等的兩個三角形全等；兩角和其中一角的角平分線或第三角的角平分線對應(yīng)相等的兩個三角形全等；兩邊和其中一邊上的高或第三邊上高對應(yīng)相等的兩個三角形全等.其中正確命題的個數(shù)有A.4個B.3個C.2個D.1個山東省競賽試題解題思路：真命題給出證實(shí),假命題舉出一個反例.【例2】如圖,BD、CE是ABC的高,點(diǎn)P在BD的延長線上,BP=AC,點(diǎn)Q在CE上,CQ=AB.求證：(1)AP=AQ;

3、(2)APXAQ.第十六屆江蘇省競賽試題解題思路：1證實(shí)對應(yīng)的兩個三角形全等；2證實(shí)ZPAQ=90°.【例3】如圖,為AD為4ABC的中線,求證：AD<1AB2AC).陜西省中測試題解題思路：三角形三邊關(guān)系定理是證實(shí)線段不等關(guān)系的根本工具,關(guān)鍵是設(shè)法將AB,AC,AD中到同一個三角形中,從構(gòu)造2AD入手.【例4】如圖,AC/BD,EA、EB分別平分/CAB、/DBA,CD過點(diǎn)E.求證：AB=AC+BD.“希望杯邀請賽試題解題思路：本例是線段和差問題的證實(shí),截長法或補(bǔ)短法是證實(shí)這類問題的根本方法,即在AB上截取AF,使AF=AC,以下只要證實(shí)FB=BD即可,于是將問題轉(zhuǎn)化為證實(shí)兩

4、線段相等【例5】如圖1,CD是經(jīng)過/BCA頂點(diǎn)C的一條直線,CA=CB,E,F分別是直線CD上兩點(diǎn),且/BEC=ZCFA=Z1假設(shè)直線CD經(jīng)過/BCA內(nèi)部,且E,F在射線CD上,請解決下面兩個問題：如圖2,假設(shè)/BCA=90°,/=90°,貝UBECF,EFBEAF填、“V或“=；如圖3,假設(shè)0°<ZBCAV180.,請?zhí)砑右粋€關(guān)于/與/BCA關(guān)系的條件,使中的兩個結(jié)論仍然成立,并證實(shí)這兩個結(jié)論；2如圖4,假設(shè)直線CD經(jīng)過/BCA的外部,/=/BCA,請?zhí)岢鯡F,BE、AF三條線段數(shù)量關(guān)系的合理猜測不要求證實(shí).臺州市中測試題解題思路：對于,可用進(jìn)彳T逆推,尋

5、找BCEACAF應(yīng)滿足的條件.對于2可用歸納類比方法提出猜測.【例6】如圖,在四邊形ABCD中,ZACB=ZBAD=105°,ZABC=ZADC=45°.求證：CD=AB.天津市競賽試題解題思路：由易得/CAB=30°,/GAC=75°,ZDCA=60°,ZACB+ZDAC=180°,由特殊度數(shù)可聯(lián)想到特殊三角形、共線點(diǎn)等.水平練習(xí)1.如圖,在4ABC中,/0=90°,BC=40,AD是/BA0的平分線交BC于D,且DC：DB=3：5,那么點(diǎn)D到AB的距離是第2題2.如圖,在RtAABC中,/BAC=90°,AB=

6、AC,分別過B,C作經(jīng)過點(diǎn)BD,CE,假設(shè)BD=3cm,CE=4cm,那么DE=3 .如圖,ABE和ACF分別是以ABC的邊AB、AC為邊的形外的等腰直角三角形,CE和BF相交于O,那么/EOB=4 .如圖,四邊形ABCD中,對角線AC與BD相交于點(diǎn)E,假設(shè)AC平分/DAB,且AB=AE,AC=AD,有如下四個結(jié)論：ACXBD;BC=DE;/DBC=-/DAB;ABE是等邊三角形.請寫2出正確結(jié)論的序號.把你認(rèn)為正確結(jié)論的序號都填上天津市中測試題5.如圖,點(diǎn)E在ABC外部,點(diǎn)D在BC邊上,DE交AC于F,假設(shè)/1=72=73,AC=AE,那么A. ABDAAFDC.AFEADFCB. AFEA

7、ADCD.ABCAADE6 .如圖,4ABC中,/C=90°,AC=BC,AD平分/CAB交BC于D,DEAB于E.假設(shè)AB=6cm,那么DEB的周長為A.5cmB.6cmC.7cmD.8cm7.如圖,從以下四個條件：BC=B'C;AC=A'C;/ACA=/B'CB;AB=AB中,任取三個為題設(shè),余下的一個為結(jié)論,那么最多可以構(gòu)成的正確命題的個數(shù)是A.1個B.2個C.3個D.4個北京市東城區(qū)中測試題8 .如圖1,在銳角ABC中,AD,BC于D,BEXAC于E,AD與BE交于F,且BF=AC.素材來源于網(wǎng)絡(luò),林老師搜集編輯整理(1)求證：ED平分/FEC;中結(jié)論

8、是否仍然成立？假設(shè)不成立,請(2)如圖2,假設(shè)4ABC中,/C為鈍角,其他條件不變,(1)說明理由；假設(shè)成立,請給予證實(shí).圖29 .在等腰RtAOB和等腰RtDOC中,ZAOB=ZDOC=90°,連AD,M為AD中點(diǎn),連OM.(1)如圖1,請寫出OM與BC的關(guān)系,并說明理由;(2)將圖1中的COD旋轉(zhuǎn)至圖2的位置,其他條件不變,(1)中結(jié)論是否成立？請說明理由.O10.如圖,/1=/2,EFLAD于P,交BC延長線于M.1求證：/M=(ACBB).2(天津市競賽試題)11.如圖,4ABC中,ZA=60°,BE,CD分別平分/ABC,/ACB,P為BE,CD的交點(diǎn).求證：BD

9、+CE=BC.12.如圖,點(diǎn)D為等腰直角4ABC內(nèi)一點(diǎn),/CAD=ZCBD=15°,E為AD延長線上的一點(diǎn),且CE=CA.(1)求證:DE平分/BDC;(2)假設(shè)點(diǎn)M在DE上,且DC=DM,求證：ME=BD.在ABC中,高AD和BE交于H點(diǎn),且BH=AC,那么/ABC=(武漢市競賽試題2.在ABC中,AD為BC邊上的中線,假設(shè)AB=5,AC=3,那么AD的取值范圍是(“希望杯競賽試題3.兩式中,4.BDC第3題AAD第4題B如圖,在ABC中,AB>AC,AD是角平分線,P是AD上任意一點(diǎn),在ABAC與BPPC較大的一個是如圖,AB/CD,AC/DB,AD與BC交于O,AELBC

10、于E,DF,BC于F,那么圖中全等的三角形有(A. 5對B. 6對C. 7對5.如圖,AD是ABC的中線,E,F分別在AB,AC上,且DE,DF,那么()B.BE+CF=EFA.BE+CF>EFC.BE+CFVEFD.BE+CF與的大小關(guān)系不確定第十五屆江蘇省競賽試題6 .如果兩個三角形的兩條邊和其中一邊上的高分別對應(yīng)相等,那么這兩個三角形的第三邊所對的角A.相等B.不相等C.互余D.互補(bǔ)或相等北京市競賽試題7 .如圖,在ABE和4ACD中,給出以下四個論斷：AB=AC;AD=AE;AM=AN;AD±DC,AE±BE,以其中三個論斷為題設(shè),填入下面的“欄中,一個論斷為

11、結(jié)論,填入下面的“求證欄中,使之組成一個真命題,并寫出證實(shí)過程.：求證：荊州市中測試題8.如圖,在四邊形1ABCD中,AC平分/BAD,過C作CEXAB于E,并且AE=-(ABAD),求2ZABC+ZADC的度數(shù).9 .在四邊形ABCD中,AB=a,AD=6,且BC=DC,對角線AC平分/BAD,問a與b的大小符合什么條彳時,有/B+ZD=180°,請畫出圖形并證實(shí)你的結(jié)論.河北省競賽試題10.如圖,在ABC中,/ABC=60°,AD,CE:分別平分/BAC,/ACB.求證：AC=AE+CD.(武漢市選拔賽試題)11 .如圖,在RtABC中,/B=90°,AP,C

12、Q分別平分/BAC,/BCA.AP交CQ于I,連PQ.求證：一旦竺一為定值.S四邊形ACPQ12 .在ABC中,/ACB=90°,AC=BC,直線MN經(jīng)過點(diǎn)C,且AD,MN于O,BEMN于E.(1)當(dāng)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖1的位置時,求證：DE=AD+BE;(2)當(dāng)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖2的位置時,求證：DE=ADBE;(3)當(dāng)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖3的位置時,試問：DE,AD,BE有怎樣的等量關(guān)系？請寫出這個等量關(guān)系,并加以證實(shí).(海口市中測試題)13.CD是經(jīng)過/BCA頂點(diǎn)C的一條直線,CA=CB,E,F分別是直線CD上兩點(diǎn),且/BEC=ZCFA=Z1假設(shè)直線CD經(jīng)過/BCA內(nèi)部,且E,F在射線CD上,請解決下面兩個