2019浙江中考數學專題復習4.幾何綜合題

1、幾何綜合題類型一與函數結合的證實與計算1.如圖,菱形ABCD的對角線AC,BD相交于點O,AB=2,ZABC=120°,動點P在線段BD上從點B向點D運動,PELAB于點E,四邊形PEBF關于BD對稱,四邊形QGDH與四邊形PEBF關于AC對稱.設菱形ABCD被這兩個四邊形蓋住局部的面積為Si,BP=x:(1)對角線AC的長為S菱形ABCD=；(2)用含x的代數式表示Si;1假設點P在移動過程中滿足&=2S菱形ABCD時,求X的值.第1題圖解：(1)24；23;【解法提示】菱形ABCD的對角線AC,BD相交于點O,AB=2,/ABC=120,.zAOB=90,/ABO=60,

2、/.AO=ABsin60=V3,BO=ABcos60T,.AC=2A0=23,BD=2BO=2,S菱形ABCD(2)由題意可得ZABO=60,BP=x,/PEB=90,.BE=BPcos60PE=BPsin60=T,1J3x_2、2V32.當0<XW1時,s=2X4=2",當1<xW2時,2(x-1)2度(x-1)343x_2；333,2綜上所述,&=封+色空6+330cx<11<x<2(3).菱形的面積是2小,3c-名3x2=加,解得x1=<2>1(舍去),x2=V2(舍去),-rx2+433x-2-3=V3,解得刈=4+,6>

3、;2(舍去),x2=4-V6,1即假設點P在移動過程中滿足S1=S菱形ABCD時,x的值是4,6.2.如圖,在4ABC中,AC=BC,4CB=90°,點P是線段BC延長線上任意一點,以AP為直角邊作等腰直角zAPD,且/APD=90°,連接BD.ACAB求證.APAD,(2)在點P運動過程中,試問/PBD的度數是否會變化？假設不變,請求出它的度數,假設變化,請說明它的變化趨勢;(3)AB=,2,設CP=x,SBD=S試求S關于x的函數表達式;一3.當S=4時,求4BPD的外接圓半徑.8(1)證實：如解圖,設AD與PB交于點K.CA=BC,/ACB=90,./ABC=45,.

4、PA=PD,/APD=90,zPDK=/PAD=/ABK=45,<zAKB=/DKP, zAKBs/PKD,AKBK,PKDK,AKPK.叱口=ciz,.ZAKP=/BKD,KBDK zAKPs/BKD, .zBDK=/APK,/PAK=/DBK=45, .zABD=/ABK+/DBK=90: .zABD=/ACP,VzADB=ZAPC,zABDs/ACP,ACAB,AP=AD；(2)解：/PBD的度數是定值,恒為45.理由：由(1)可知AAKPABKD, .zPAK=/DBK=45, 在點P運動過程中,/PBD的度數是定值,且/PBD=45(3)解：在RtAABC中,vAB=V2, B

5、C=AC=1,在RtACP中,PA=AC2+PC2=1+x2, .zABDs/ACP,ACPCABBD'/JA/2bd,.BD=x,s=saabd+s以pds抽bp=2V2V2x+21i+x2Y1+x25(1+x)1=5x2+2x如解圖,取AD的中點O,連接OB、OP.第2題解圖VzABD=/APD=90,.OB=OA=OP=OD,點O是APBD的外接圓的圓心,c3S=8,1213./+2x=8.一1.3.解得x=2或一2舍去,1.pc=2.由(2)可知BD=V2x,2- BD=2,在RtAABD中,AD=,AB2+BD2=柩zAPB=1802%;+學2=節(jié),- OD=1AD=,.-.

6、/PBD的外接圓的半徑為手.3.如圖,點P在/MON的平分線上,且OP=2,以P為頂點作/APB,與/MON的兩邊分別交于點A、B,其中/APB繞點P旋轉時,始終滿足OAOB=OP2.1/MON=%求/APB的度數用含0c的代數式表示；2如圖,假設/MON=90°,求出四邊形OAPB面積的最小值.解：(1)OAOB=OP2,OAOP,OPOB,.OP平分/MON, .zAOP=/POB,.zAOPs/POB, .zFAO=/BPO, .zAPB=ZAPO+/BPO=ZAPO+/FAO,在AAPO中,由三角形內角和定理得：/APO+/PAO=180l/AOP,1-zMON=%-zAOP

7、=2%,(2) ,.*(a/AO-VbO)2=AO-2aJaOBO+BO>Q.AO+BOA2.AOBO=2OP2=4,第3題解圖如解圖,過點P作PGOM、PHXON,垂足分別為G、H, .zMON=90,OP平分/MON,.PG=PH,/POH=45, S四邊形apbo=Spo+Sob=2oAPG+2oBPH=2(OA+OB)PH,-J、, S四邊形apbo2X4PH=2PH,.OP平分/MON,/MON=90,又/PHO=90,PO=2,.PH=OH=也, S四邊形apboA2也,即四邊形APBO面積的最小值為2啦.4.如圖,正方形ABCD的邊長為1,P是對角線AC上任意一點,E為AD

8、上的點,且/EPB=90,PMXAD,PNXAB.(1)求證：四邊形PMAN是正方形；(2)求證：EM=BN;(3)假設點P在線段AC上移動,其他不變,設PC=x,AE=y,求y關于x的解析式,并寫出自變量x的取值范圍.(1)證實：.四邊形ABCD是正方形,.zBAD=90,AC平分/BAD,.PMXAD,PNXAB,.PM=PN,/PMA=/PNA=90,四邊形PMAN是矩形,.PM=PN,四邊形PMAN是正方形；(2)證實：:四邊形PMAN是正方形,.PM=PN,/MPN=90,VzEPB=90,.zMIPE=/NPB,在AEPM和ABPN中,/PME=/PNB?PM=PN,M/MPE=/

9、NPB/.zEPMBPN(ASA),.EM=BN;(3)解：如解圖,過P作PFLBC于F,第4題解圖四邊形ABCD是正方形,./ABC=90,AB=BC=1,/PCF=45,AC="l2+12=也,注CF是等腰直角三角形,c2.AP=AC-PC=2x,BN=PF=»x,2.EM=BN=2x>./FAM=45,/PMA=90,/APM是等腰直角三角形,AP=V2AM=向AE+EM),2即也一x=啦(y+2x),解得y=1-V2x,.x的取值范圍為0.考,.y=1-2x(0x5c22).5.在AABC中,/BAC=90,AB=AC=10吸,直線MN過點A且MN/BC,以點

10、B為一銳角頂點作Rt2DE,/BDE=90；且點D在直線MN上(不與點A重合),如圖,DE與AC交于點P,設BD=x,DP+BC=y,cos9DP=z.(1)小強同學通過幾何畫板畫圖及測量得到以下近似數據：x25303540y45505560z0.40.330.290.25猜測y關于x的函數表達式,z關于x的函數表達式,并給出證實；(2)如圖,DE與CA的延長線交于點P,以上y關于x的函數表達式仍成立嗎？請證實；(3)如圖,DE與AC的延長線交于點P,BD與AP交于點Q,假設此時x=BD=2即,求S叢bq的值.MAN第5題圖圖圖£第5題圖10解：1y關于x的函數表達式為y=x+20,

11、z關于x的函數表達式為z=q,x證實：如解圖,過點D作DFLAD交AB于點F,交BC于點G,.AD/BC,/ABC=45, .zBAD=/AFD=45, /ADF是等腰直角三角形,.AD=DF,/DAP=45°+90=135；/DFB=18045=135, zBDP=/ADF=90, .zADP=/FDB,在AADP和AFDB中,ZADP=ZFDBAAD=FDI/DAP=/DFB zADPyDB,.DP=BD=x,.AB=AC=10亞,/BAC=90,.BC=AB2+AC2=20,.y=x+20,.AD/BC,.DG=¥aB=喙X1電=10,DG10在Rt/IBDG中,co

12、s/BDG=db=x,.zADP=/BDG,10.z=cosZADP=cosZBDG=TT;xMD4第5題解圖(2)y關于x的函數表達式仍然成立,第5題解圖如解圖,過點D作DFLMN,交AB延長線于點F,.由(1)知/BAD=45,.zAFD=45,.DA=DF,zFDB+/BDA=90,/BDA+/ADP=90,.zFDB=/ADP,zDAP=90/BAD=45,在AADP和AFDB中,1/DAP=/DFBDDA=DFA/ADP=/FDBzADPyDB,.DP=BD=x,.BC=20,-y=x+20成立;第5題解圖(3)如解圖,過點B作BT±MN于點T,.MN/BC,/ABC=45

13、,.zTAB=ZABC=45,.AB=10業(yè).AT=BT=10,.BD=20也,在Rt空TD中,DT=bD2BT2=10g,.MN/BC,./AQDsJCQB,AQAD,QCBC,AQDT-AT.=AC-AQBC,aq10V7T0.10y2-AQ20'402-1014解得AQ=3,11S四bq=2Abaq=2X10V2402-1014400-100.7類型二幾何圖形中的證實與計算1.如圖,在矩形ABCD中,AD=6,DC=8,菱形EFGH的三個頂點E,G,H分別在矩形ABCD的邊AB,CD,DA上,AH=2,連接CF.(1)假設DG=2,求證：四邊形EFGH為正方形；(2)假設DG=6

14、,求4FCG的面積.第1題圖(1)證實：.四邊形EFGH為菱形,.HG=EH,.AH=2,DG=2,.DG=AH,在Rt/DHG和RtAAEH中,fHG=EH?,DG=AH.Rt/DHG小tAAEH, .zDHG=/AEH, zAEH+/AHE=90, zDHG+/AHE=90, SHE=90,四邊形EFGH為正方形；(2)解：如解圖,過點F作FQLCD交DC的延長線于Q,連接GE,第1題解圖 四邊形ABCD為矩形,.AB/CD, .zAEG=/QGE,即/AEH+/HEG=/QGF+/FGE, 四邊形EFGH為菱形,.HE=GF,HE/GF, .zHEG=/FGE, ./AEH=/QGF,在

15、AAEH和AQGF中,A=/QA/AEH=/QGF,IHE=FG .zAEHyGF, AH=QF=2, DG=6,CD=8, CG=2,-1-1- S4cg=20GFQ=2-2X2=2.2.如圖,AABC中,AB=AC,CD平分/ACB交AB于D,延長AC至UE,使得CE=BD,連接DE交BC于F.(1)求證：CE=2CF;(2)當/A=60°,AB=6,將ACEF繞點C逆時針旋轉角o(0°層360°,得到CE'F',當點F恰好落在直線AC上,連接BE；求此時BE'的長.(1)證實：如解圖,過D作DG/BC交AC于G,.CD平分/ACB,/

16、.zACD=ZBCD,.DG/BC,.zGDC=/BCD, ./GDC=/GCD,B第2題解圖 .DG=GC.AB=AC,.a/ACB,.DG/BC, .zADG=/B,/AGD=/ACB, .zADG=/AGD,.AD=AG,/.BD=CG,vCE=BD,/.CG=CE, .DG/BC,CF是AEDG的中位線,.DG=2CF,.CE=CG=DG=2CF;(2)解：當點F旋轉到線段AC上點F處時,如解圖所示, .zF'CE'"FCE=120；/ACD=30, zDCE'=90=/CDB,.AB/CE； .BD=CE=CE',.四邊形BDCE是矩形,.B

17、E'=CD=*AB=岑X6=3/3;RB圖圖第2題解圖當點F旋轉到線段AC的延長線上的點F處時,如解圖,連接AE；易得四邊形ADCE是矩形,.AE'=DC=3V3,/EAC=30,/BAE'在RtMBE'中,由勾股定理得BE=/aB2+AE=62+(3/3)2=37.3.如圖,在？ABCD中,ACLCD,點E在射線CB上,點F在射線DC上,且/EAF=/B.當/BAD=135°時,假設點E在線段CB上,點F在線段DC上,求證:be+t22df=ad；當/BAD=120°時,假設點E在線段CB上,點F在線段DC上,求AD、BE、DF之間有怎樣的

18、數量關系？并證實你的結論;當/BAD=120°時,連接EF,直線AF與直線BC交于點Q,當AB=3,第3題圖BE=2時,請分別求出(1)證實：./BAD=135,且/BAC=90,.zCAD=45；即AABC、ADC都是等腰直角三角形;.AD=AC,且/D=/ACB=45;又/EAC=/DAF=45/FAC,zAECs/AFD,.AEECAC12、.AF=FD=AD=M即EC=2FD.BC=BE+gDF,即BE+孝DF=AD;(2)解:2BE+DF=AD;理由如下:如解圖,取BC的中點G,連接AG;第3題解圖易知：/DAC=/BCA=30,/B=/D=60;在RtAABC中,G是斜邊

19、BC的中點,那么：ZAGE=60,AD=BC=2AG;zGAD=/AGE=60=/EAF,.zEAG=/FAD=60-ZGAF;又.zAGE=/D=60,AGEG1.zAGEs/ADF,得：=ADFD2即FD=2EG;.BC=2BG=2(BE+EG)=2BE+2EG=2BE+DF,即AD=2BE+DF;(3)解：在RtAABC中,/ACB=30,AB=3,那么BC=AD=6,EC=4.當點E、F分別在線段BC、CD上時,如解圖,過F作FHXBQ于H;同(2)可知：DF=2EG=2,CF=CD-DF=1;,一一1_3在Rt3FH中,/FCH=60,CH=2,FH=1_易知：ADFsZqcF,由D

20、F=2CF,可得CQ=/AD=3;.EQ=EC+CQ=4+3=7;人上-93在Rt任FH中,EH=EC+CH=2,FH="；由勾股定理可求得：EF=21;當點E、F分別在CB、DC的延長線上時,如解圖；分別過點A、F作BC的垂線,垂足分別為M、N,VzEAF=ZGAD=60,.zEAG=/FAD=60+/FAG,又/EGA=/D=60:EGAG1.zeags/fad,得：市=而=2；即FD=2EG=10,FC=10-CD=7;在Rt/TCN中,/FCN=60,7,3“71易求得FN=2,NC=2,GN=2；333在等邊AABG中,AMXBG,易求得AM=2>MG=2,MN=MG

21、-GN=1;由AMQsfNQ,得:AMMQ372FNNQ7,即310,MQ10,一一一一3319EQ=EB+BM+MQ=2+2+10=5；由勾股定理得EF=標；19綜上可知：EQ=7或占,EF=妙或寸57.5圖圖第3題解圖4.如圖,4ACB和4DCE為等邊三角形,點A,D,E在同一條直線上,連接BE.(1)求證：AD=BE;(2)求/AEB的度數；(3)如圖,假設4ACB和4DCE為等腰三角形,且/ACB=/DCE=90°,點A,D,E在同一條直線上,CMLDE于點M,連接BE.計算/AEB的度數；寫出線段CM,AE,BE之間的數量關系,并說明理由.圖圖第4題圖(1)證實：:ACB和

22、DCE均為等邊三角形,.CA=CB,CD=CE,/ACB=/DCE=60：.zACD=/BCE,在AACD和BCE中,AC=BCA/ACD=/BCE.zACDWBCE(SAS),.AD=BE.(2)vAACDABCE .zADC=/BEC. .RCE為等邊三角形, .zCDE=/CED=60: 點A,D,E在同一條直線上, .zADC=120: .zBEC=120；.zAEB=/BEC/CED=60:(3)如解圖,zACB和DCE均為等腰直角三角形,且/ACB=/DCE=90,.CA=CB,CD=CE,/ACD=/ACB/DCB=/DCE/DCB=/BCE,在AACD和BCE中,CA=CBA/ACD=/BCE,ICD=CE/.zACDBCE(SAS),.AD=BE,/ADC=/BEC. RCE為等腰直角三角形, .zCDE=/CED=45: 點A,D,E在同一直線上, .zADC=135；.zBEC=135；azAEB=/BEC-/CED=90,第4題解圖VCD=CE,CMDE于M,.DM=ME,VzDCE=90,