《平面向量的數(shù)量積》教學(xué)設(shè)計及反思

1、精選文檔平面對量的數(shù)量積教學(xué)設(shè)計及反思 交口第一中學(xué) 趙云鵬 平面對量的數(shù)量積是繼向量的線性運算之后的又一重要運算，也是高中數(shù)學(xué)的一個重要概念，它是溝通代數(shù)、幾何與三角函數(shù)的一種重要工具，在每年高考中也是重點考查的內(nèi)容。向量作為一種運算工具，其學(xué)問體系是從實際的物理問題中抽象出來的，它在解決幾何問題中的三點共線、垂直、求夾角和線段長度、確定定比分點坐標(biāo)以及平移等問題中顯示出了它的易理解和易操作的特點。一、總體設(shè)想：本節(jié)課的設(shè)計有兩條暗線：一是圍繞物理中物體做功，引入數(shù)量積的概念和幾何意義；二是圍繞數(shù)量積的概念通過變形和限定衍生出新學(xué)問垂直的推斷、求夾角和線段長度的公式。教學(xué)方案可從三方面加以設(shè)

2、計：一是數(shù)量積的概念；二是幾何意義和運算律；三是兩個向量的模與夾角的計算。二、教學(xué)目標(biāo)： 1.了解向量的數(shù)量積的抽象根源。 2.了解平面的數(shù)量積的概念、向量的夾角 3.數(shù)量積與向量投影的關(guān)系及數(shù)量積的幾何意義 4.理解把握向量的數(shù)量積的性質(zhì)和運算律，并能進行相關(guān)的推斷和計算三、重、難點：【重點】1.平面對量數(shù)量積的概念和性質(zhì) 2.平面對量數(shù)量積的運算律的探究和應(yīng)用【難點】平面對量數(shù)量積的應(yīng)用4、 課時支配： 2課時五、教學(xué)方案及其設(shè)計意圖：1平面對量數(shù)量積的物理背景 平面對量的數(shù)量積，其源自對受力物體在其運動方向上做功等物理問題的抽象。首先說明放置在水平面上的物體受力F的作用在水平方向上的位移

3、是s，此問題中消滅了兩個矢量，即數(shù)學(xué)中所謂的向量，這時物體力F的所做的功為W，這里的q是矢量F和s的夾角，也即是兩個向量夾角的定義基礎(chǔ)，在定義兩個向量的夾角時，要使同學(xué)明確“把向量的起點放在同一點上”這一重要條件，并理解向量夾角的范圍。這給我們一個啟示：功是否是兩個向量某種運算的結(jié)果呢？以此為基礎(chǔ)引出了兩非零向量a, b的數(shù)量積的概念。2 平面對量數(shù)量積（內(nèi)積）的定義已知兩個非零向量與，它們的夾角是，則數(shù)量|a|b|cosq叫與的數(shù)量積，記作a×b，即有a×b = |a|b|cosq，（）.并規(guī)定0與任何向量的數(shù)量積為0. 零向量的方向是任意的，它與任意向量的夾角是不確定的

4、，按數(shù)量積的定義a×b = |a|b|cosq無法得到，因此另外進行了規(guī)定。3. 兩個非零向量夾角的概念已知非零向量與，作，則（）叫與的夾角. ，是記法，是定義的實質(zhì)它是一個實數(shù)。依據(jù)推理，當(dāng)時，數(shù)量積為正數(shù)；當(dāng)時，數(shù)量積為零；當(dāng)時，數(shù)量積為負(fù)。4.“投影”的概念 定義：|b|cosq叫做向量b在a方向上的投影。 投影也是一個數(shù)量，它的符號取決于角q的大小。當(dāng)q為銳角時投影為正值；當(dāng)q為鈍角時投影為負(fù)值；當(dāng)q為直角時投影為0；當(dāng)q = 0°時投影為 |b|；當(dāng)q = 180°時投影為 -|b|. 因此投影可正、可負(fù)，還可為零。 依據(jù)數(shù)量積的定義，向量b在a方向上的

5、投影也可以寫成 留意向量a在b方向上的投影和向量b在a方向上的投影是不同的，應(yīng)結(jié)合圖形加以區(qū)分。5向量的數(shù)量積的幾何意義：數(shù)量積a×b等于a的長度與b在a方向上投影|b|cosq的乘積.向量數(shù)量積的幾何意義在證明安排律方向起著關(guān)鍵性的作用。其幾何意義實質(zhì)上是將乘積拆成兩部分：。此概念也以物體做功為基礎(chǔ)給出。是向量b在a的方向上的投影。6兩個向量的數(shù)量積的性質(zhì)：設(shè)a、b為兩個非零向量，則 (1) ab Û a×b = 0； (2)當(dāng)a與b同向時，a×b = |a|b|；當(dāng)a與b反向時，a×b = -|a|b|. 特殊的a×a = |a|

6、2或 (3)|a×b| |a|b| (4)，其中為非零向量a和b的夾角。例1. (1) 已知向量a ,b，滿足,a與b的夾角為,則b在a上的投影為_ (2)若,則a在b方向上投影為 _例2. 已知，按下列條件求 (1) (2) (3) a與b的夾角為 7. 平面對量數(shù)量積的運算律1交換律：a × b = b × a證：設(shè)a，b夾角為q，則a × b = |a|b|cosq，b × a = |b|a|cosq a × b = b × a2數(shù)乘結(jié)合律：(a)×b =(a×b) = a×(b)證：若&

7、gt; 0，(a)×b =|a|b|cosq， (a×b) =|a|b|cosq，a×(b) =|a|b|cosq，若< 0，(a)×b =|a|b|cos(p-q) = -|a|b|(-cosq) =|a|b|cosq，(a×b) =|a|b|cosq，a×(b) =|a|b|cos(p-q) = -|a|b|(-cosq) =|a|b|cosq.3安排律：(a + b)×c = a×c + b×c 在平面內(nèi)取一點O，作= a， = b，= c， a + b （即）在c方向上的投影等于a、b在c方

8、向上的投影和，即 |a + b| cosq = |a| cosq1 + |b| cosq2 | c | |a + b| cosq =|c| |a| cosq1 + |c| |b| cosq2， c×(a + b) = c×a + c×b 即：(a + b)×c = a×c + b×c說明：（1）一般地，(·)（·）（2）··，0（3）有如下常用性質(zhì)：，（）（）····()·例3 已知a、b都是非零向量，且a + 3b與7a - 5b垂直，a -

9、4b與7a - 2b垂直，求a與b的夾角.解：由(a + 3b)(7a - 5b) = 0 Þ 7a2 + 16a×b -15b2 = 0 (a - 4b)(7a - 2b) = 0 Þ 7a2 - 30a×b + 8b2 = 0 兩式相減：2a×b = b2代入或得：a2 = b2設(shè)a、b的夾角為q，則cosq = q = 60°評述：(1)在四邊形中，是順次首尾相接向量，則其和向量是零向量，即0，應(yīng)留意這一隱含條件應(yīng)用；(2)由已知條件產(chǎn)生數(shù)量積的關(guān)鍵是構(gòu)造數(shù)量積，由于數(shù)量積的定義式中含有邊、角兩種關(guān)系.例4若記，求證： 以此作為

10、今后求模的基礎(chǔ)。圍繞向量的數(shù)量積的定義，可開發(fā)出解決幾何問題中有用的學(xué)問：垂直的推斷，夾角的計算和線段長度的計算。依據(jù)教學(xué)實際，有的數(shù)學(xué)學(xué)問可提出問題讓同學(xué)解決，并總結(jié)、概括出一般的結(jié)論或規(guī)律，但有些學(xué)問同學(xué)聽講時，理解起來都比較困難，就需要老師的講解，此時恰當(dāng)?shù)奶幚矸绞绞牵合茸屚瑢W(xué)學(xué)會，再說明道理。這里，兩個向量垂直的推斷和夾角的計算，可通過讓同學(xué)自己做題后總結(jié)出來；而計算模則需要老師講解并加以強化：由，當(dāng)b = a時，接著演示例題并練習(xí)。例2已知且a, b夾角是60°，求小結(jié)與反思： 以問題的形式，來反饋一節(jié)課的重點是否突出，難點是否突破。 問題一：關(guān)于向量的數(shù)量積的概念包括哪些

11、主要內(nèi)容？如何引入的？ 問題二：說出向量數(shù)量積的幾何意義及運算律。 問題三：用向量的數(shù)量積可解決幾何中的哪三大問題？如何解決？l 數(shù)量積的概念包括兩個非零向量的夾角的定義和范圍、數(shù)量積的定義。l 向量數(shù)量積的幾何意義是：a × b是向量a的模與向量b在向量a方向上的投影的乘積；運算律有三條：。l 用向量的數(shù)量積可解決幾何中三大問題：垂直的推斷、夾角的計算和求線段長度。； ； 。板書設(shè)計：整個板面分成三列，把重點學(xué)問數(shù)量積的定義放在中間顯著位置。由其衍生出來的幾何意義、運算律放在其下面，再把后面的三大問題放在中間一列的中間位置；左邊一列，是兩個向量夾角的相關(guān)概念；右列集中放例題。教學(xué)記：本節(jié)課的設(shè)計留意教學(xué)目標(biāo)的明確；留意依據(jù)同學(xué)的認(rèn)知規(guī)律而科學(xué)地進行學(xué)問序列的呈現(xiàn)；留意調(diào)動同學(xué)參與教學(xué)活動；留意課堂效果的實效性。高中數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)體現(xiàn)學(xué)問的來龍去脈，創(chuàng)設(shè)問題情景，建立數(shù)學(xué)模型，讓同學(xué)經(jīng)受數(shù)學(xué)學(xué)問的形成與應(yīng)用，可以更好的理解數(shù)學(xué)概念、結(jié)論的形成過程，體會蘊含在其中的思想方法，增加學(xué)好數(shù)學(xué)的愿望和信念。對于抽象數(shù)學(xué)概念的教學(xué)，要關(guān)注概念的實際背景與形成過程，掛念同學(xué)克服機械記憶概念的學(xué)習(xí)方式。老師是同學(xué)學(xué)習(xí)的引導(dǎo)者、組