18.解法1設(shè)正方體的棱長為1,如圖所示,以為單位正交基底

1、18解法1 設(shè)正方體的棱長為1，如圖所示，以為單位正交基底建立空間直角坐標(biāo)系. （I）依題意，得B（1，0，0），E（），A（0，0，0），D（0，1，0），所以在正方體ABCDA1B1C1D1中，因?yàn)锳D平面ABB1A1，所以是平面ABB1A1的一個法向量，設(shè)直線BE和平面ABB1A1所成的角為，則即直線BE和平面ABB1A1所成的角的正弦值為 （II）依題意，得設(shè)是平面A1BE的一個法向量，則由，得所以取設(shè)F是棱C1D上的點(diǎn)，則F（t，1，1）又所以D而平面A1BE，于是B1F/平面A1BE為C1D1的中點(diǎn)，這說明在棱C1D1上存在點(diǎn)F（C1D1的中點(diǎn)），使B1F/平面A1BE.解法2（I

2、）如圖（a）所示，取AA1的中點(diǎn)M，連結(jié)EM，BM.因?yàn)镋是DD1的中點(diǎn)，四邊形ADD1A2為正方形，所以EM/AD.又在正方體ABCDA1B1C1D1中，AD平面ABB1A1，所以EM平面ABB1A1，從而BM為直線BE在平面ABB1A1上的射影，EBM為BE和平面ABB1A1所成的角.設(shè)正方體的棱長為2，則EM=AD=2，于是，在中，即直線BE和平面ABB1A1所成的角的正弦值為 （II）在棱C1D上存在點(diǎn)F，使B1F/平面A1BE. 事實(shí)上，如圖（b）所示，分別取C1D1和CD的中點(diǎn)為F，G，連結(jié)EG，BG，CD1，F(xiàn)G.因A1D1/B1C1/BC，且A1D1=BC，所以四邊形A1BCD

3、1是平行四邊形，因此，D1C/A1B.又E，G分別為D1D，CD的中點(diǎn)，所以EG/D1C，從而EG/A1B，這說明A1，B，G，E，共面，所以BG平面A1BE. 因四邊形C1CDD1與B1BCC1皆為正方形，F(xiàn)，G分別為C1D1和CD的中點(diǎn)，所以FG/C1C/B1B，且FG=C1C=B1B，因此四邊形B1BGF是平行四邊形，所以B1F/BG，而B1F平面A1BE，BG平面A1BE，故B1F/平面A1BE.19解：（I）設(shè)邊界曲線上點(diǎn)P的坐標(biāo)為 當(dāng)時，由知，點(diǎn)P在以A，B，為焦點(diǎn)，長軸長為的橢圓上，此時短半軸長因而其方程為 故考察區(qū)域邊界曲線（如圖）的方程為 （II）設(shè)過點(diǎn)P1，P2的直線為，過

4、點(diǎn)P2，P3的直線為，則直線的方程分別為設(shè)直線平等于直線，其方程為代入橢圓方程消去y，得由解得m=8，或m=-8從圖中可以看出，當(dāng)m=8時，直線與C2的公共點(diǎn)到直線的距離最近，此時直線的方程為之間的距離為又直線到C1和C2的最短距離，所以考察區(qū)域邊界到冰川邊界的線的最短距離為3.設(shè)冰川邊界線移動到考察區(qū)域所需的時間為n年，則由題設(shè)及等比數(shù)列求和公式，得，所以故冰川界線移動到考察區(qū)域所需的最短時間為4年.20解：（I）易知由題設(shè)，對任意的即恒成立，所以，從而于是故當(dāng)時，有即當(dāng)時， （II）由（I）知，當(dāng)時，有令而函數(shù)的值域是因此，當(dāng)時，M的取值集合為當(dāng)時，由（I）知，此時從而恒成立.綜上所述，M

5、的最小值為21解：易知令 （1）若則當(dāng)單調(diào)遞增；當(dāng)單調(diào)遞減；當(dāng)單調(diào)遞增.故取得極小值. （2）若仿（1）得，在取得極小值. （3）若無極值. （）當(dāng)時，由（1）知，因則由（1）知，因?yàn)?，則由（2）知，.又因?yàn)閯t由（2）知，由此猜測：當(dāng)時，下面先用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)時，事實(shí)上，當(dāng)時，由前面的討論知結(jié)論成立.假設(shè)當(dāng)成立，則由（2）知，從而，所以故當(dāng)時，成立.于是由（2）知，當(dāng)時，因此綜上所述，當(dāng)a=0時， （II）存在a，使數(shù)列是等比數(shù)列，事實(shí)上，由（2）知，若對任意的n，都有，則即數(shù)列是首項(xiàng)為a，公比為3的等比數(shù)列，且而要使，即都成立，只需對一切都成立.記令，則，因此，當(dāng)時，從而函數(shù)在上單調(diào)遞減，故當(dāng)時，數(shù)列單調(diào)遞減，即數(shù)列中最大項(xiàng)為于是當(dāng)時，必有這說明，當(dāng)時，數(shù)列是等比數(shù)列.當(dāng)由