新編高考第一輪復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)：7.4--簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃

1、7.4簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃知識(shí)梳理在平面直角坐標(biāo)系中，直線Ax+By+C=O,坐標(biāo)平面內(nèi)的點(diǎn) Pxo, yo.B 0時(shí)，Axo+Byo+C 0，那么點(diǎn)Pxo, yo在直線的上方； Axo+Byo+C V 0,那么點(diǎn)P Xo, yo在直線的下方.對(duì)于任意的二元一次不等式Ax+By+C o或V o，無(wú)論B為正值還是負(fù)值，我們都可以把y項(xiàng)的系數(shù)變形為正數(shù).當(dāng)Bo時(shí)，Ax+By+Co表示直線 Ax+By+C=o上方的區(qū)域； Ax+By+CV o表示直 線Ax+ By+C=o下方的區(qū)域.求線性目標(biāo)函數(shù)在線性約束條件下的最大值或最小值的問(wèn)題，統(tǒng)稱為線性規(guī)劃問(wèn)題.滿足線性約束條件的解x，y叫做可行解，由所有可行解

2、組成的集合叫做可行域類 似函數(shù)的定義域；使目標(biāo)函數(shù)取得最大值或最小值的可行解叫做最優(yōu)解.生產(chǎn)實(shí)際中有許多問(wèn)題都可以歸結(jié)為線性規(guī)劃問(wèn)題 .線性規(guī)劃問(wèn)題一般用圖解法，其步驟如下：1根據(jù)題意，設(shè)出變量 x、y;2找出線性約束條件；3確定線性目標(biāo)函數(shù) z=f x，y；4畫(huà)出可行域即各約束條件所示區(qū)域的公共區(qū)域；5利用線性目標(biāo)函數(shù)作平行直線系fx，y=tt為參數(shù)；6觀察圖形，找到直線 fx，y=t在可行域上使t取得欲求最值的位置，以確定最 優(yōu)解，給出答案.點(diǎn)擊雙基A. 點(diǎn)o，o在區(qū)域x+y o內(nèi)B. 點(diǎn)o，o在區(qū)域x+y+12x內(nèi)D. 點(diǎn)o，1在區(qū)域x- y+1o內(nèi)解析：將o，o代入x+yo，成立.答案

3、：Ay滿足那么x2+y2的最小值為2. 2oo5年海淀區(qū)期末練習(xí)題設(shè)動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo) x， x y+1x+y- 4 o，x 3，J?B. .ioC.H解析：數(shù)形結(jié)合可知當(dāng)x=3，y=1時(shí)，x2+y2的最小值為io.答案：DJ2x y+1 o，x 2y 1 上3答案：ty4x0,0,3y12表示的平面區(qū)域內(nèi)的整點(diǎn)橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn)共有個(gè).解析：1, 1， 1, 2， 2 , 1，共 3 個(gè).答案：3典例剖析【例1 求不等式I x 1 I + I y 1 I w 2表示的平面區(qū)域的面積. 剖析：依據(jù)條件畫(huà)出所表達(dá)的區(qū)域，再根據(jù)區(qū)域的特點(diǎn)求其面積.解：I x1x 1,y 1,或x+y w 4I +

4、I y 1 |w 2可化為x 1,v yw 1, 或 1,y x w 2xw 1,或彳yw 1,、x+y 0.其平面區(qū)域如圖.1面積 S= X4X 4=8.2評(píng)述：畫(huà)平面區(qū)域時(shí)作圖要盡量準(zhǔn)確，要注意邊界深化拓展假設(shè)再求： 址一2 :(x 1)2 (y 2)2的值域，你會(huì)做嗎？x 1答案： f - U 3 , + ；1, 5:.2 2【例2】 某人上午7時(shí)，乘摩托艇以勻速 v n mile/h 4 v 20從A港出發(fā)到距50 n mile的B港去，然后乘汽車以勻速 w km/h 30 w 100自B港向距300 km的CC市.設(shè) 乘汽車、摩托艇去所需要的時(shí)間分別是x h、y h.1作圖表示滿足上

5、述條件的x、y范圍；2如果所需的經(jīng)費(fèi)p=100+3 X 5 X+2 x 8 y元，那么V、w分別是多少時(shí)走得最經(jīng)濟(jì) ？此時(shí)需花費(fèi)多少元？剖析：由p=100+3 x 5 x+2 x 8 y可知影響花費(fèi)的是 3x+2y的取值范圍.解:1依題意得v= , w= 300 , 4 v 20, 30 w 100. y x5253 360,0w xw 4,0w yw 7.z=252x+160y,其中x、y N.作出不等式組所表示的平面區(qū)域，即可行域，如圖作出直線Io： 252x+160y=0，把直線O I向右上方平移，使其經(jīng)過(guò)可行域上的整點(diǎn)，且使在y軸上的截距最小 觀察圖形，可見(jiàn)當(dāng)直線1(252乂+160+

6、4經(jīng)過(guò)點(diǎn)=2, 5時(shí)，滿足上述要求此時(shí)，z=252x+160y 取得最小值，即 x=2, y=5 時(shí)，Zmin=252X 2+160 X 5=1304.答：每天派出甲型車 2輛，乙型車5輛，車隊(duì)所用本錢費(fèi)最低評(píng)述：用圖解法解線性規(guī)劃題時(shí)，求整數(shù)最優(yōu)解是個(gè)難點(diǎn)，對(duì)作圖精度要求較高，平行直線系fx, y=t的斜率要畫(huà)準(zhǔn)，可行域內(nèi)的整點(diǎn)要找準(zhǔn)，最好使用“網(wǎng)點(diǎn)法先作出可 行域中的各整點(diǎn)闖關(guān)訓(xùn)練夯實(shí)根底1. x 12+ y 12=1 是 | x 1 | + | y 1 | 1 的條件解析：數(shù)形結(jié)合.答案：B2. x+2y+1 x y+4w 0表示的平面區(qū)域?yàn)?4 -3 -2-1-4-2 OD解析：可轉(zhuǎn)化

7、為 0,x+2y+1 0.答案：B3. 2004年全國(guó)卷n,14設(shè)x、y滿足約束條件：；,C2x y 1,設(shè)Z=2，那么z的最小值為x，最大值為z看作常數(shù)時(shí)，它表示直線 線y=zx過(guò)點(diǎn)B時(shí)，z最小.x= 1,3x+ 5y 25 = 0,得 A1,y=zx的斜率，因此，當(dāng)直線 y=zx過(guò)點(diǎn)A時(shí)，z最大；當(dāng)直3)+5 %25 =0x-4y+3=09-3 O 1 2 34 5 6 7 8x 4y+3=0,得 B 5,2.3x+5y 25=0,22r = 222一 ,zmin =.55225包括各邊，寫(xiě)出該區(qū) z=3x 2y的最大值和最答案：251, 3為頂點(diǎn)的厶ABC的區(qū)域A3, 1、B 1, 1、

8、C域所表示的二元一次不等式組，并求以該區(qū)域?yàn)榭尚杏虻哪繕?biāo)函數(shù) 小值.不等式組;分析：本例含三個(gè)問(wèn)題：畫(huà)指定區(qū)域；寫(xiě)所畫(huà)區(qū)域的代數(shù)表達(dá)式求以所寫(xiě)不等式組為約束條件的給定目標(biāo)函數(shù)的最值.解：如圖，連結(jié)點(diǎn) A、B、C,那么直線AB、BC、CA所圍成的區(qū)域?yàn)樗?ABC區(qū)域.直線AB的方程為x+2y 仁0, BC及CA的直線方程分別為 x y+2=0 , 2x+y 5=0.在厶 ABC 內(nèi)取一點(diǎn) P 1 , 1，分別代入 x+2y 1 , x y+2 , 2x+y 5 得 x+2y 10 , x y+20 , 2x+y 5 0, V x y+2 0, gx+y 5 w 0.作平行于直線3x 2y=0的

9、直線系3x 2y=t t為參數(shù)，即平移直線3 11可知：當(dāng)直線y= x t過(guò)A 3, 1時(shí)，縱截距一 一tt最大，tmax=3 X 3 2 X一2221=11;3 11當(dāng)直線y= X t經(jīng)過(guò)點(diǎn)B 1, 1時(shí)，縱截距 -t最大，此時(shí)t有最小值為tmin =2223X一 1一 2X 1 = 5.因此，函數(shù)z=3x 2y在約束條件rx+2y 1 0， 0，下的最大值為11,最小值為5.gx+y 5 w 06某?；锸抽L(zhǎng)期以面粉和大米為主食，面食每 100 g含蛋白質(zhì)6個(gè)單位，含淀粉 4個(gè)單 位，售價(jià)0.5元，米食每100 g含蛋白質(zhì)3個(gè)單位，含淀粉7個(gè)單位，售價(jià)0.4元，學(xué)校要 求給學(xué)生配制盒飯，每盒

10、盒飯至少有8個(gè)單位的蛋白質(zhì)和10個(gè)單位的淀粉，問(wèn)應(yīng)如何配制盒飯，才既科學(xué)又費(fèi)用最少 ？解：設(shè)每盒盒飯需要面食 x百克，米食y百克，6x+3yf3y=8K4x+77所需費(fèi)用為Sxy，且x、y滿足r6x+3y 8,4x+7y 10,x 0,0,S最小.由圖可知，直線y= 5x+ s過(guò)A 3 , 14丨時(shí)，縱截距s最小，即4 215152故每盒盒飯為面食培養(yǎng)能力百克，米食15百克時(shí)既科學(xué)又費(fèi)用最少15A、B兩種藥劑，需要甲、乙兩種原料，配一劑A種藥需甲料3 mg,乙料5 mg ;配一劑B種藥需甲料5 mg,乙料4 mg.今有甲料20 mg ,乙料25 mg，假設(shè)A、B兩種藥至 少各配一劑，問(wèn)共有多少

11、種配制方法 ？解：設(shè)A、B兩種藥分別配x、y劑x、y N，貝Ux 1,嚴(yán)1,3x+5yw 20,(5x+4yw 25.上述不等式組的解集是以直線x=1 , y=1 , 3x+5y=20及5x+4y=25為邊界所圍成的區(qū)域，這個(gè)區(qū)域內(nèi)的整點(diǎn)為1, 1、 1，2、 1，3、 2, 1、 2，2、 3，1、 3, 2、 4, 1. 所以，在至少各配一劑的情況下，共有8種不同的配制方法.8某公司方案在今年內(nèi)同時(shí)出售變頻空調(diào)機(jī)和智能洗衣機(jī)，由于這兩種產(chǎn)品的市場(chǎng)需求量非常大，有多少就能銷售多少，因此該公司要根據(jù)實(shí)際情況如資金、勞動(dòng)力確定產(chǎn)品 的月供應(yīng)量，以使得總利潤(rùn)到達(dá)最大對(duì)這兩種產(chǎn)品有直接限制的因素是資

12、金和勞動(dòng)力， 通過(guò)調(diào)查，得到關(guān)于這兩種產(chǎn)品的有關(guān)數(shù)據(jù)如下表：資金單位產(chǎn)品所需資金百元月資金供應(yīng)量百元空調(diào)機(jī)洗衣機(jī)本錢3020300勞動(dòng)力工資510110單位利潤(rùn)68試問(wèn)：怎樣確定兩種貨物的月供應(yīng)量，才能使總利潤(rùn)到達(dá)最大，最大利潤(rùn)是多少？解：設(shè)空調(diào)機(jī)、洗衣機(jī)的月供應(yīng)量分別是x、y臺(tái)，總利潤(rùn)是 P,貝U P=6x+8y,由題意廣30x+20yW 300,O1020 x5x+10yW 110, x 0,y 0, X、y均為整數(shù).3 1由圖知直線 y= x+ P過(guò) MP也取最大值 Pmax=6 x 4+8 x 9=96百元4 8故當(dāng)月供應(yīng)量為空調(diào)機(jī) 4臺(tái)，洗衣機(jī)9臺(tái)時(shí)，可獲得最大利潤(rùn) 9600元. 探

13、究創(chuàng)新fx=x2+ax+2b=0的一個(gè)根在0, 1內(nèi)，另一個(gè)根在1, 2內(nèi)，求: 1的值域；a 12 a 12+ b 22 的值域；3a+b 3的值域.f 0 0解：由題意知v f 1 0b 0, a+ b+1 0.如下列圖.A一 3, 1、B一 2, 0、C一 1, 0.又由所要求的量的幾何意義知， 值域分別為1 -a+b=-128, 17；3一 5, 4.4思悟小結(jié)簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃在實(shí)際生產(chǎn)生活中應(yīng)用非常廣泛，主要解決的問(wèn)題是：在資源的限制下，如何使用資源來(lái)完成最多的生產(chǎn)任務(wù)；或是給定一項(xiàng)任務(wù)， 如何合理安排和規(guī)劃，能以最少的資源來(lái)完成如常見(jiàn)的任務(wù)安排問(wèn)題、配料問(wèn)題、下料問(wèn)題、布局問(wèn)題、庫(kù)存

14、問(wèn)題，通常 解法是將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型，歸結(jié)為線性規(guī)劃，使用圖解法解決圖解法解決線性規(guī)劃問(wèn)題時(shí)，根據(jù)約束條件畫(huà)出可行域是關(guān)鍵的一步 一般地，可行域可以是封閉的多邊形，也可以是一側(cè)開(kāi)放的非封閉平面區(qū)域第二是畫(huà)好線性目標(biāo)函數(shù)對(duì)應(yīng)的平行直線系，特別是其斜率與可行域邊界直線斜率的大小關(guān)系要判斷準(zhǔn)確通常最優(yōu)解在可行域的頂點(diǎn)即邊界線的交點(diǎn)處取得，但最優(yōu)整數(shù)解不一定是頂點(diǎn)坐標(biāo)的近似值它應(yīng)是目標(biāo)函數(shù)所對(duì)應(yīng)的直線平移進(jìn)入可行域最先或最后經(jīng)過(guò)的那一整點(diǎn)的坐標(biāo)教師下載中心教學(xué)點(diǎn)睛線性規(guī)劃是新增添的教學(xué)內(nèi)容，應(yīng)予以足夠重視線性規(guī)劃問(wèn)題中的可行域，實(shí)際上是二元一次不等式組表示的平面區(qū)域，是解決線性規(guī)劃問(wèn)題的根底，因

15、為在直線 Ax+By+C=O同一側(cè)的所有點(diǎn)x, y實(shí)數(shù)Ax+By+C的符號(hào) 相同，所以只需在此直線的某一側(cè)任取一點(diǎn) X。，y。假設(shè)原點(diǎn)不在直線上，那么取原點(diǎn)0， 0最簡(jiǎn)便，把它的坐標(biāo)代入 Ax+By+C=0，由其值的符號(hào)即可判斷二元一次不等式 Ax+By+C 0或V 0表示直線的哪一側(cè)這是教材介紹的方法在求線性目標(biāo)函數(shù) z=ax+by的最大值或最小值時(shí)，設(shè) ax+by=t，那么此直線往右或左 平移時(shí)，t值隨之增大或減小，要會(huì)在可行域中確定最優(yōu)解解線性規(guī)劃應(yīng)用題步驟：1設(shè)出決策變量，找出線性約束條件和線性目標(biāo)函數(shù)；2利用圖象在線性約束條件下找出決策變量，使線性目標(biāo)函數(shù)到達(dá)最大或最小拓展題例【例 1】 fx=px2 q 且一4W f 1w 1， 1 f 2w 5，求 f 3的范圍.解： 4 4，4p q w 5，、4p q 1.求z=9p q的最值.4p-q=-1 p- q=-43,7)p-q=-1)4p- q=5(0,1)p- q=5如圖，.p=0,q=i,Zmin= 1 ,P=3, Zmax=20 ,q=7