過期課件重發(fā)概率第7次

1、評講作業(yè)評講作業(yè):A.組組: 設隨機變量設隨機變量 12,n 是獨立同分布是獨立同分布,其分布函數(shù)為其分布函數(shù)為 1arctan,xF xab 辛欽大數(shù)辛欽大數(shù)定理對此序列是否適用定理對此序列是否適用?為什么為什么?解解: dFxdx 22bbx dFxdxdx 22b xdxbx 2202bxdxbx 220lnbbx 不適用不適用.B組組: 設隨機變量設隨機變量X服從正態(tài)分布服從正態(tài)分布 2,N 隨著隨著 的增大的增大,概率概率 是否變化是否變化為什么為什么? PX解解: 保持不變保持不變. PX PX 211 =0.6826設設X1,X2,Xn是取自正態(tài)總體是取自正態(tài)總體),(2 N的樣

2、本，則有的樣本，則有(1) /XUn 12 n 22(1)nSW (2) 0,1N復習復習:練習:設設Y服從自由度為服從自由度為27的的 分布分布,求求2 1. 46.96P Y 46.960.012. 18.1P Y 0.903. 12.88P Y 1-0.99 =0.014. 12.8846.96PY0.98 20.02511 21.9 20.97511 3.82 nT 服從的分布為自由度為服從的分布為自由度為 n的的 t 分布分布. 定義定義: 設設N(0,1) , , 且且與與相互相互獨立，則獨立，則)(2n nt說明說明: 1.注意注意T的表達形式的表達形式.2.注意注意分子分子與與

3、分母分母的分布的分布.三三.其他分布其他分布(一一) t 分布分布t分布的密度函數(shù)為：分布的密度函數(shù)為：212)1()2(2)1();( nnxnnnnxf 記為記為Xt(n).當當n充分大時，其圖形類似于標準正態(tài)分充分大時，其圖形類似于標準正態(tài)分布密度函數(shù)的圖形布密度函數(shù)的圖形. 0);(nxfLimxt分布的密度函數(shù)關于分布的密度函數(shù)關于x=0對稱，且對稱，且E(X)=0; D(X)=n / (n-2) , 對對n 2 請看演示請看演示t 分布分布 由圖可知，當由圖可知，當n充分大充分大(n30)時，時，t 分布近似分布近似N (0,1)分布分布. 但對于較小的但對于較小的n，t分布與分布

4、與N (0,1)分分布相差很大布相差很大.t分布的臨界值分布的臨界值:已知已知的值可查表求的值可查表求臨界值臨界值.稱為稱為 分布的臨界值分布的臨界值 n2 P若若-9,01.0 n 901.0t 3.2502 2 即即:已知兩邊之外的面積求臨界值已知兩邊之外的面積求臨界值.練習:設設X服從自由度為服從自由度為15的的 分布分布,求求t1. 2.602P Y 0.022. 1.074P Y 0.703. 0.866P Y 0.24. 0.05P Y 0.0525t 2.06 0.00130t 3.646 2.602 1.753 定理定理 設設X1,X2,Xn是取自正態(tài)總體是取自正態(tài)總體),(2

5、 N的樣本的樣本,2SX和分別為樣本均值和樣本方差分別為樣本均值和樣本方差,則有則有)1( ntnSXT 分析分析:nSXT nSX/2 需說明需說明分子分子是是標準正態(tài)分布標準正態(tài)分布分母分母是是2分布分布證明證明: n,NX2 1 , 0/NnX ) 1() 1(222 nSn T=nX/ 22)1( Sn 1 n 1 ntnSX 2 ,NXi有有:且且:那么那么:(3)比較比較U分布分布: 10,NnXU 例例:設設X1,X2,.Xn是正態(tài)總體是正態(tài)總體X的樣本的樣本,Y1=)(61621XXX )(31,9872XXXY ,2197222 iiYXS SYYZ212 證明證明:服從服從

6、t(2)分布分布分析分析: 要證要證Z t(2)只需說明只需說明Z是標準正態(tài)與是標準正態(tài)與2分布之比即可分布之比即可.證明證明:設設),(NX2 ),(2 NXi則則.)(616211XXXY 6,2 N)(319872XXXY 3,2 N那么那么:21YY 2, 02 N 1 , 02/21NYY 9722221iiYXS而而: 22 2213 S 972131iiXX是是X7,X8,X9的樣本方差的樣本方差. 1 , 02/21NYY 22222 S所以所以:2/21 YY 222 S2t(2)即即: 2221tSYYZ T= SYY212 (二二)兩正態(tài)總體樣本均值差的分布兩正態(tài)總體樣本

7、均值差的分布12221212()XYnn (1)122212(,)(,)XNYN ，YX和分別是這兩個樣本的分別是這兩個樣本的且且X與與Y獨立獨立,X1,X2,1nX是取自是取自X的樣本的樣本,取自取自Y的樣本的樣本,均值均值, 則有則有Y1,Y2,2nY是是樣本樣本設設 0,1N定理定理:定理定理:) 2(112) 1() 1()(21212122221121nntnnnnSnSnYX ，設),(),(2221 NYNXYX和分別是這兩個樣本的分別是這兩個樣本的且且X與與Y獨立獨立,X1,X2,1nX是取自是取自X的樣本的樣本,取自取自Y的樣本的樣本,分別是這兩個樣本的樣本方差分別是這兩個樣

8、本的樣本方差,均值均值,2221SS 和則有則有Y1,Y2,2nY是是樣本樣本(2)證明證明:由題可知由題可知 122212()XYnn (1) 0,1N即即: 1212()0,111XYNnn (2) 21121211nSn 22222211nSn 2211222211nSnS 2122nn 由由t分布的定義分布的定義:) 2(112) 1() 1()(21212122221121nntnnnnSnSnYX 若若:21nn 則有則有:nSS)(YX222121 )n( t22 1212()11XYnn 2211222211nSnS 122nn12 (2)t nn整理整理:(三三)兩個正態(tài)總體

9、的樣本方差比定理兩個正態(tài)總體的樣本方差比定理1.F分布分布 ),n(),n(222121 定義定義: 設設 1與與2相互相互獨立，則稱隨機變量獨立，則稱隨機變量服從自由度為服從自由度為n1及及 n2 的的F分布，分布，n1稱為第一自稱為第一自由度，由度，n2稱為第二自由度，記作稱為第二自由度，記作 FF(n1,n2) .2211nnF F(n1,n2)由定義可見，由定義可見，11221nnF F(n2,n1) 0001222221212112121212121xxx)x)()()()()n ,n; x( fnnnnnnnnnnnnn X的數(shù)學期望為的數(shù)學期望為:若若XF(n1,n2)， X的概

10、率密度為的概率密度為即它的數(shù)學期望并不即它的數(shù)學期望并不依賴于第一自由度依賴于第一自由度n1.2)(22nnXE若若n22請看演示請看演示F分布分布 111011,1 00 xxFxxx 注意注意: 21n,nF分布的臨界值分布的臨界值:P=,已知已知的值可查表求的值可查表求臨界值臨界值.例如例如:已知已知151205021 n,n,. 那么臨界值那么臨界值 1512050,F.482. 即即:已知右邊面積求已知右邊面積求臨界值臨界值稱為稱為 分布的臨界值分布的臨界值 21n,nF 0.0515,12F 2.62解釋解釋: 1512050,F.482. 0.0515,12F 2.621.隨機變

11、量倒數(shù)的臨界值不等于臨界值的倒數(shù)隨機變量倒數(shù)的臨界值不等于臨界值的倒數(shù).12若若 12,15F 那么那么: 115,12F 2.F臨界值的倒數(shù)臨界值的倒數(shù) 0.0512,15F 0.0515,12F 0.051?12,15F 由由F臨界值的定義臨界值的定義: 0.0512,150.05PF 那么那么: 0.051112,15PF 設設: 12,15F 115,12F 這里這里:故故: 0.051112,15PF 0.05即即: 0.950.05115,1212,15FF 0.95F分布的臨界值有如下重要的分布的臨界值有如下重要的倒數(shù)倒數(shù)性質性質: 112,Fn n 211,Fn n 例如例如:

12、 0.9512,9F 0.0519,12F12.8=0.357 2.兩個正態(tài)總體樣本方差比的分布定理兩個正態(tài)總體樣本方差比的分布定理) 1, 1(2122222121nnFSS ，設),(),(222211NYNXYX和分別是這兩個樣本的分別是這兩個樣本的且且X與與Y獨立獨立,X1, X2,1nX是取自是取自X的樣本的樣本,取自取自Y的樣本的樣本,分別是這兩個樣本的樣本方差分別是這兩個樣本的樣本方差,均值，均值，2221SS 和則有則有Y1,Y2,2nY是是樣本樣本證明證明: 121nX,X,X是總體是總體X 的一個樣本的一個樣本. 211 ,N由定理由定理:S)n(212111 112 n

13、221nY,Y,Y是總體是總體X 的一個樣本的一個樣本. 222 ,NS)n(222221 122 n 同理同理:由由F分布的定義可知分布的定義可知:F=212111 S)n( 222221 S)n( 11 n12 n=22222121 SS 1121 n,nF例例:設總體設總體X , (X1,X2)是總體的一個是總體的一個 樣本樣本,求求 20 ,N 221221XXXXY 的概率密度函數(shù)的概率密度函數(shù).解解: 20 ,NX 2102,i,NXi XX21 220 ,NXX 221 10,NXX2212 12 同理同理:XX2212 12 XX2212 12 XX2212 12 由定理可知由

14、定理可知:2212 XX12212 XX1= 221221XXXX Y 11,F 111011,1 00 xxFxxx 所求的概率密度函數(shù)為所求的概率密度函數(shù)為:例例:已知已知 ,Xt n求證求證: 21,XFn證明證明:設設 X n ,t n其中其中: 0,1N 2n那么那么:2 21 2X 2 n 1,Fn1證畢證畢.本節(jié)重要結論本節(jié)重要結論:1)XUn 設設X1,X2,Xn是取自正態(tài)總體是取自正態(tài)總體),(2 N的樣本，則有的樣本，則有已知總體已知總體,要對要對進行推斷時常常用到進行推斷時常常用到.2)XTSn 未知總體未知總體,要對要對進行推斷時常常用到進行推斷時常常用到.(0,1)N(1)t n 22(1)3)nSW 對總體方差對總體方差 進行推斷時常用到進行推斷時常用到.2 對兩個總體的均值是否相等的推斷中用對兩個總體的均值是否相等的推斷中用.12221212()XYnn 4) 0,1N2(1)n 對兩個總體的均值是否相等的推斷中用對兩個總體的均值是否相等的推斷中用.122211221212()(1)(1)112XYnSnSnnnn 5)22112222SS 6.)對兩個總體的方差是否相等的推斷中用對兩個總體的方差是否相等的推斷中用