202X版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第五章平面向量5.2平面向量的數(shù)量積及其應(yīng)用課件

1、5.2平面向量的數(shù)量積及其應(yīng)用高考數(shù)學(xué)高考數(shù)學(xué) (江蘇省專用)五年高考A A組組 自主命題自主命題江蘇卷江蘇卷題組題組1.(2019江蘇,12,5分)如圖,在ABC中,D是BC的中點(diǎn),E在邊AB上,BE=2EA,AD與CE交于點(diǎn)O.若=6,則的值是.ABACAOECABAC答案答案3解析解析本題考查平面向量基本定理、向量的線性運(yùn)算、平面向量的數(shù)量積等有關(guān)知識,考查學(xué)生的抽象概括能力和運(yùn)算求解能力,考查的核心素養(yǎng)為數(shù)學(xué)運(yùn)算.過D作DFEC,交AB于F.D為BC的中點(diǎn),F為BE的中點(diǎn),又BE=2EA,EF=EA,又DFEO,AO=AD,=(+).12AO12AD1212ABAC=(+)=.=6,=

2、-+,=3,|=|,=.AOEC14ABAC13ACAB14222133ACAB ACABABACAOECABAC322AC122ABABAC2AB2ACAB3 ACABAC3一題多解一題多解由于題目中對BAC沒有限制,所以不妨設(shè)BAC=90,AB=c,AC=b,建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系.則E,D,易得lAD:y=x,lEC:+=1,聯(lián)立得解得則O.由=6得6=0,c2=3b2,c=b,=.0,3c,2 2b ccbxb3yc,1,3cyxbxycb,4,4bxcy,4 4b cABACAOEC,4 4b c,3cb3ABAC32.(2016江蘇,13,5分)如圖,在ABC中,D是BC的中

3、點(diǎn),E,F是AD上的兩個三等分點(diǎn),=4,=-1,則的值是.BACABFCFBECE答案答案78解析解析解法一:=(+)(-)=-,同理,=-,=-,因?yàn)镋,F是AD上的兩個三等分點(diǎn),所以=9,=4,由-可得8=5,即=.由可得=+3=-1+=.解法二:由已知可得=+=+=-=(-)-(+)=-,=+=+=-=(-)-(+)BACAABACADDBADDB2AD2DBBECE2ED2DBBFCF2FD2DB2AD2FD2ED2FD2FD2FD58BECEBFCF2FD15878BEBDDE12BC23DA12BC23AD12ACAB13ABAC16AC56ABCECDDE12CB23DA12CB

4、23AD12ABAC13ABAC=-,=+=+=(-)-(+)=-,=+=+=(-)-(+)=-,因?yàn)?4,所以=4,則=-=-+=-(+)16AB56ACBFBDDF12BC13DA12ACAB16ABAC13AC23ABCFCDDF12CB13DA12ABAC16ABAC13AB23ACBACAABACBFCF13AC23AB1233ABAC19ABAC292AB292AC49ABAC59ABAC292AB2AC=4-(+)=-1,所以+=,從而=-=-+=-(+)+=-+4=.59292AB2AC2AB2AC292BECE16AC56AB1566ABAC5362AB5362AC2636A

5、BAC5362AB2AC2636ABAC5362922636637278解后反思解后反思求解平面向量的有關(guān)問題,通常有兩種處理方法:一是通過建立直角坐標(biāo)系,轉(zhuǎn)化為向量的坐標(biāo)運(yùn)算來加以解決,二是選擇兩個不共線的向量作為基底,通過將所求的向量轉(zhuǎn)化為用基底表示的形式來加以解決.一般情況下,運(yùn)用向量的坐標(biāo)運(yùn)算時可操作性強(qiáng),而運(yùn)用向量的基底時對思維的要求較高.方法總結(jié)方法總結(jié)應(yīng)用基底來處理相關(guān)的向量問題時,要注意合理選擇向量的基底.一般地,我們在選擇基底時,要注意充分利用圖形的“對稱性”進(jìn)行選擇.3.(2015江蘇,14,5分)設(shè)向量ak=(k=0,1,2,12),則(akak+1)的值為.cos,si

6、ncos666kkk110k答案答案93解析解析akak+1=cos,sin+cos=coscos+=coscos+sinsin+sincos+cossin+coscos=cos+sin+coscos=+sin+cos2-cossin=+sin+-sin=+sin+cos.因?yàn)閥=sin,y=cos的周期皆為6,一個周期內(nèi)的函數(shù)值和皆為零,因此(akak+1)=12=9.cos,sincos666kkk(1)6k(1)6k(1)6k6k(1)6ksincos66kk(1)(1)sincos66kk6k(1)6k6k(1)6k6k(1)6k6k(1)6k6k(1)6k626k6k(1)6k322

7、6k326k126k6k3226k341 cos3k143k3 34(21)6k12(21)6k(21)6k12(21)6k110k3 343B B組統(tǒng)一命題、省組統(tǒng)一命題、省( (區(qū)、市區(qū)、市) )卷題組卷題組考點(diǎn)一平面向量的數(shù)量積考點(diǎn)一平面向量的數(shù)量積1.(2019北京文,9,5分)已知向量a=(-4,3),b=(6,m),且ab,則m=.答案答案8解析解析本題考查兩向量垂直的充要條件和向量的坐標(biāo)運(yùn)算,考查了方程的思想方法.ab,ab=(-4,3)(6,m)=-24+3m=0,m=8.易錯警示易錯警示容易把兩向量平行與垂直的條件混淆.2.(2019課標(biāo)全國理改編,3,5分)已知=(2,3)

8、,=(3,t),|=1,則=.ABACBCABBC答案答案2解析解析本題考查了平面向量的坐標(biāo)表示以及數(shù)量積和模的求解;通過模的運(yùn)算,考查了方程的思想方法.考查的核心素養(yǎng)為數(shù)學(xué)運(yùn)算.=-=(1,t-3),|=1,t=3,=(2,3)(1,0)=2.BCACABBC221(3)tABBC思路分析思路分析先利用|=1求出t的值,再利用數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算求出數(shù)量積.BC3.(2019課標(biāo)全國理改編,7,5分)已知非零向量a,b滿足|a|=2|b|,且(a-b)b,則a與b的夾角為.答案答案3解析解析本題考查向量的運(yùn)算及向量的夾角;考查學(xué)生的運(yùn)算求解能力;考查了數(shù)形結(jié)合思想;考查的核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)

9、運(yùn)算.解法一:因?yàn)?a-b)b,所以(a-b)b=ab-|b|2=0,又因?yàn)閨a|=2|b|,所以2|b|2cos-|b|2=0,即cos=,又知0,所以=.解法二:如圖,令=a,=b,則=-=a-b,因?yàn)?a-b)b,所以O(shè)BA=90,又|a|=2|b|,所以AOB=,即=.123OAOBBAOAOB33思路分析思路分析本題可由兩向量垂直的充要條件建立方程求解;也可以將兩向量放在直角三角形中,由題設(shè)直接得到兩向量的夾角.4.(2019課標(biāo)全國理,13,5分)已知a,b為單位向量,且ab=0,若c=2a-b,則cos=.5答案答案23解析解析本題主要考查平面向量的數(shù)量積、模長及平面向量夾角的計

10、算;通過向量的數(shù)量積、夾角的求解考查學(xué)生運(yùn)算求解的能力,體現(xiàn)了數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).|a|=|b|=1,ab=0,ac=a(2a-b)=2a2-ab=2,|c|=|2a-b|=3.cos=.5552(25 )ab224a5b4 5a b|a ca c23小題巧解小題巧解不妨設(shè)a=(1,0),b=(0,1),則c=2(1,0)-(0,1)=(2,-),cos=.5521 323方法總結(jié)方法總結(jié)利用數(shù)量積求解向量模的處理方法:a2=aa=|a|2或|a|=;|ab|=.a a2()ab5.(2018課標(biāo)全國理改編,4,5分)已知向量a,b滿足|a|=1,ab=-1,則a(2a-b)=.答案答案37解

11、析解析因?yàn)閨a|=1,ab=-1,所以a(2a-b)=2|a|2-ab=212-(-1)=3.6.(2017課標(biāo)全國理,13,5分)已知向量a,b的夾角為60,|a|=2,|b|=1,則|a+2b|=.答案答案23解析解析本題考查平面向量的模與數(shù)量積的計算,考查學(xué)生的運(yùn)算求解能力.解法一(公式法):由題意知ab=|a|b|cos60=21=1,則|a+2b|2=(a+2b)2=|a|2+4|b|2+4ab=4+4+4=12.所以|a+2b|=2.解法二(坐標(biāo)法):根據(jù)已知條件建立恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系,由題意,不妨取a=(2,0),b=,則a+2b=(3,),所以|a+2b|=2.12313,22322

12、3( 3)37.(2016浙江,15,4分)已知向量a,b,|a|=1,|b|=2.若對任意單位向量e,均有|ae|+|be|,則ab的最大值是.6答案答案12解析解析對任意單位向量e,均有|ae|+|be|ae+be|=|(a+b)e|,|a+b|,當(dāng)且僅當(dāng)a+b與e共線時,等號成立.a2+2ab+b26,又|a|=1,|b|=2,ab,即ab的最大值為.661212考點(diǎn)二數(shù)量積的綜合應(yīng)用考點(diǎn)二數(shù)量積的綜合應(yīng)用1.(2019課標(biāo)全國文改編,3,5分)已知向量a=(2,3),b=(3,2),則|a-b|=.答案答案2解析解析本題主要考查平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算以及向量模的計算;考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)

13、.a=(2,3),b=(3,2),a-b=(-1,1),|a-b|=.22( 1)12一題多解一題多解a=(2,3),b=(3,2),|a|2=13,|b|2=13,ab=12,則|a-b|=.222aa bb 132 1213 22.(2019天津理,14,5分)在四邊形ABCD中,ADBC,AB=2,AD=5,A=30,點(diǎn)E在線段CB的延長線上,且AE=BE,則=.3BDAE答案答案-1解析解析本題主要考查平面幾何知識的應(yīng)用、解三角形、向量的坐標(biāo)運(yùn)算及數(shù)量積的求解;考查學(xué)生數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用以及運(yùn)算求解能力;通過向量的不同表現(xiàn)形式更全面地考查了學(xué)生邏輯推理、直觀想象及數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).解

14、法一:BAD=30,ADBC,ABE=30,又EA=EB,EAB=30,在EAB中,AB=2,EA=EB=2.以A為坐標(biāo)原點(diǎn),AD所在直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系,如圖所示.則A(0,0),D(5,0),E(1,),B(3,),=(2,-),=(1,),333BD3AE3=(2,-)(1,)=-1.解法二:同解法一,得AB=2,以,為一組基底,則=-,=+=-,=(-)=-+-=-=52-12-25=-1.BDAE333ABADBDADABAEABBEAB25ADBDAEADAB25ABADADAB2AB25ABAD252AD75ABAD2AB252AD75332253.(2018北京理改編,

15、6,5分)設(shè)a,b均為單位向量,則“|a-3b|=|3a+b|”是“ab”的.(填“充分不必要條件”“必要不充分條件”“充分必要條件”或“既不充分又不必要條件”)答案答案充分必要條件解析解析本題主要考查平面向量的數(shù)量積的應(yīng)用以及充分、必要條件的判斷.|a-3b|=|3a+b|a-3b|2=|3a+b|2a2-6ab+9b2=9a2+6ab+b22a2+3ab-2b2=0,又|a|=|b|=1,ab=0ab.方法總結(jié)方法總結(jié)1.平面向量模的問題的處理方法:通常是進(jìn)行平方,轉(zhuǎn)化成平面向量的數(shù)量積問題解決.2.充分條件與必要條件的判斷方法:(1)直接法:分別判斷命題“若p,則q”和“若q,則p”的真

16、假.(2)集合法:設(shè)p、q對應(yīng)的集合分別為P,Q,利用集合間的包含關(guān)系進(jìn)行判斷.(3)利用原命題與其逆否命題同真假來判斷.4.(2018天津文改編,8,5分)在如圖的平面圖形中,已知OM=1,ON=2,MON=120,=2,=2,則的值為.BMMACNNABCOM答案答案-6解析本題考查向量的運(yùn)算.解法一:連接OA.=-=3-3=3(-)-3(-)=3(-),=3(-)=3(-|2)=3(21cos120-12)=3(-2)=-6.解法二:在ABC中,不妨設(shè)A=90,取特殊情況ONAC,以A為坐標(biāo)原點(diǎn),AB,AC所在直線分別為x軸,y軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系,因?yàn)镸ON=120,ON=2

17、,OM=1,所以O(shè),C,M,B.故=-=-6.BCACABANAMONOAOMOAONOMBCOMONOMOMONOMOM32,23 30,25,0215,02BCOM15 3 3,2213,22154945.(2018天津理改編,8,5分)如圖,在平面四邊形ABCD中,ABBC,ADCD,BAD=120,AB=AD=1.若點(diǎn)E為邊CD上的動點(diǎn),則的最小值為.AEBE答案答案2116解析解析本題主要考查數(shù)量積的綜合應(yīng)用.解法一:如圖,以D為原點(diǎn),DA所在直線為x軸,DC所在直線為y軸,建立平面直角坐標(biāo)系,則A(1,0),B,C(0,),令E(0,t),t0,=(-1,t)=t2-t+,t0,當(dāng)

18、t=-=時,取得最小值,()min=-+=.解法二:令=(01),由已知可得DC=,=+,=+=+,=(+)(+)=+|2+2|233,2233AEBE33,22t32323322 134AEBEAEBE3163234322116DEDC3AEADDCBEBAAEBAADDCAEBEADDCBAADDCADBAADDCBADC=32-+.當(dāng)=-=時,取得最小值.3232322 314AEBE2116方法總結(jié)方法總結(jié)向量的最值問題常用數(shù)形結(jié)合的方法和函數(shù)的思想方法求解,建立函數(shù)關(guān)系時,可用平面向量基本定理,也可利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算.6.(2018浙江改編,9,4分)已知a,b,e是平面向量,e是單

19、位向量.若非零向量a與e的夾角為,向量b滿足b2-4eb+3=0,則|a-b|的最小值是.3答案答案-13解析解析本題考查平面向量的數(shù)量積、坐標(biāo)運(yùn)算、向量模的最值和點(diǎn)到直線的距離.設(shè)=a,=b,=e,以O(shè)為原點(diǎn),的方向?yàn)閤軸正方向建立平面直角坐標(biāo)系,則E(1,0).不妨設(shè)A點(diǎn)在第一象限,a與e的夾角為,點(diǎn)A在從原點(diǎn)出發(fā),傾斜角為,且在第一象限內(nèi)的射線上.設(shè)B(x,y),由b2-4eb+3=0,得x2+y2-4x+3=0,即(x-2)2+y2=1,即點(diǎn)B在圓(x-2)2+y2=1上運(yùn)動.而=a-b,|a-b|的最小值即為點(diǎn)B到射線OA的距離的最小值,即為圓心(2,0)到射線y=x(x0)的距離減

20、去圓的半徑,所以|a-b|min=-1.OAOBOEOE33BA33一題多解一題多解將b2-4eb+3=0轉(zhuǎn)化為b2-4eb+3e2=0,即(b-e)(b-3e)=0,(b-e)(b-3e).設(shè)=e,=a,=b,=3e,=2e,則,點(diǎn)B在以M為圓心,1為半徑的圓上運(yùn)動,如圖.|a-b|=|,|a-b|的最小值即為點(diǎn)B到射線OA的距離的最小值,即為圓心M到射線OA的距離減去圓的半徑.|=2,AOM=,|a-b|min=2sin-1=-1.OEOAOBONOMEBNBBAOM3337.(2017課標(biāo)全國理改編,12,5分)已知ABC是邊長為2的等邊三角形,P為平面ABC內(nèi)一點(diǎn),則(+)的最小值是.

21、PAPBPC答案答案-32設(shè)BC的中點(diǎn)為D,AD的中點(diǎn)為E,則有+=2,則(+)=2=2(+)(-)=2(-).PBPCPDPAPBPCPAPDPEEAPEEA2PE2EA解析解析而=,當(dāng)P與E重合時,有最小值0,故此時(+)取最小值,最小值為-2=-2=-.2AE232342PEPAPBPC2EA3432方法總結(jié)方法總結(jié)在求向量數(shù)量積的最值時,常用取中點(diǎn)的方法,如本題中利用=-可快速求出最值.PAPD2PE2EA一題多解一題多解以AB所在直線為x軸,AB的中點(diǎn)為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系,如圖,則A(-1,0),B(1,0),C(0,),設(shè)P(x,y),取BC的中點(diǎn)D,則D.(+)=2=2(-1

22、-x,-y)=2=2.因此,當(dāng)x=-,y=時,(+)取得最小值,為2=-.313,22PAPBPCPAPD13,22xy13(1)22xxyy22133444xy1434PAPBPC34328.(2015福建改編,9,5分)已知,|=,|=t.若點(diǎn)P是ABC所在平面內(nèi)的一點(diǎn),且=+,則的最大值等于.ABACAB1tACAP|ABAB4|ACACPBPC答案答案13解析解析以A為原點(diǎn),AB所在直線為x軸,AC所在直線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系,則B(t0),C(0,t),P(1,4),=(-1,t-4)=17-17-22=13,故的最大值為13.1,0tPBPC11, 4t14tt1,“ ”2t當(dāng)

23、且僅當(dāng)時 取PBPC9.(2015天津,14,5分)在等腰梯形ABCD中,已知ABDC,AB=2,BC=1,ABC=60.動點(diǎn)E和F分別在線段BC和DC上,且=,=,則的最小值為.BEBCDF19DCAEAF答案答案2918解析解析如圖,以A為原點(diǎn),AB所在直線為x軸建立直角坐標(biāo)系,則B(2,0),C,D.由=得E,由=得F.33,2213,22BEBC32,22DF19DC113,292從而=+2=當(dāng)且僅當(dāng)=時,取等號.AEAF32,22113,2921718292171813291823C C組教師專用題組組教師專用題組考點(diǎn)一平面向量的數(shù)量積考點(diǎn)一平面向量的數(shù)量積1.(2014課標(biāo)全國改編

24、,3,5分)設(shè)向量a,b滿足|a+b|=,|a-b|=,則ab=.106答案答案1解析解析由|a+b|=得a2+b2+2ab=10,由|a-b|=得a2+b2-2ab=6,-得4ab=4,ab=1.106思路分析思路分析分別對|a+b|=和|a-b|=兩邊平方,然后作差即可求得ab.106一題多解一題多解設(shè)m=a+b,n=a-b,則|m|=,|n|=,且a=(m+n),b=(m-n).則ab=(m+n)(m-n)=(m2-n2)=1.106121214142.(2013課標(biāo)全國,13,5分)已知兩個單位向量a,b的夾角為60,c=ta+(1-t)b.若bc=0,則t=.答案答案2解析解析解法一

25、:bc=0,bta+(1-t)b=0,tab+(1-t)b2=0,又|a|=|b|=1,=60,t+1-t=0,t=2.12解法二:由題意作=a,=b,=60,|=|=1,設(shè)=c,則由c=ta+(1-t)b及bc=0,知A、B、C三點(diǎn)共線且BOC=90,如圖,可知C在BA的延長線上,所以A為BC的中點(diǎn),即a=b+c,所以c=2a-b,所以t=2.OAOBOAOBOAOBOC1212思路分析思路分析可以利用向量的數(shù)量積運(yùn)算列方程求得t值;也可以將題中滿足條件的向量用共起點(diǎn)的有向線段表示,從而畫出符合條件的幾何圖形,通過分析圖形中向量終點(diǎn)間的位置關(guān)系求得t的值.3.(2013課標(biāo)全國,14,5分)

26、已知正方形ABCD的邊長為2,E為CD的中點(diǎn),則=.AEBD答案答案2解析解析解法一:=(-)=-+0=22-22=2.解法二:以A為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系(如圖).則A(0,0),B(2,0),C(2,2),D(0,2),E(1,2).=(1,2),=(-2,2).從而=(1,2)(-2,2)=1(-2)+22=2.AEBD12ADABADAB2AD122AB12AEBDAEBD評析評析本題考查了向量的基本運(yùn)算.向量的運(yùn)算可以利用運(yùn)算法則也可以利用坐標(biāo)運(yùn)算.4.(2012江蘇,9,5分)如圖,在矩形ABCD中,AB=,BC=2,點(diǎn)E為BC的中點(diǎn),點(diǎn)F在邊CD上,若=,則的值是.2ABAF2A

27、EBF答案答案2解析解析以A為原點(diǎn),AB所在直線為x軸,AD所在直線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系,設(shè)F(x,2),=(x,2),=(,0),=x=,F(1,2),=.AFAB2ABAF22AEBF25.(2012課標(biāo),13,5分)已知向量a,b的夾角為45,且|a|=1,|2a-b|=,則|b|=.10答案答案32解析解析|2a-b|=,(2a-b)2=10,4+|b|2-4|a|b|cos45=10,|b|=3.1026.(2011課標(biāo)全國文改編,3,5分)設(shè)向量a,b滿足|a|=|b|=1,ab=-,則|a+2b|=.12答案答案3解析解析因?yàn)閨a|=|b|=1,ab=-,所以|a+2b|=.

28、122244aa bb 1423考點(diǎn)二數(shù)量積的綜合應(yīng)用考點(diǎn)二數(shù)量積的綜合應(yīng)用1.(2015湖南,8,5分)已知點(diǎn)A,B,C在圓x2+y2=1上運(yùn)動,且ABBC.若點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2,0),則|+|的最大值為.PAPBPC答案答案7解析解析解法一:由圓周角定理及ABBC,知AC為圓的直徑.故+=2=(-4,0)(O為坐標(biāo)原點(diǎn)).設(shè)B(cos,sin),=(cos-2,sin),+=(cos-6,sin),|+|=7,當(dāng)且僅當(dāng)cos=-1時取等號,此時B(-1,0),故|+|的最大值為7.解法二:同解法一得+=2(O為坐標(biāo)原點(diǎn)),又=+,|+|=|3+|3|+|=32+1=7,當(dāng)且僅當(dāng)與同向時取等號

29、,此時B點(diǎn)坐標(biāo)為(-1,0),故|+|max=7.PAPCPOPBPAPBPCPAPBPC22(cos6)sin3712cos3712PAPBPCPAPCPOPBPOOBPAPBPCPOOBPOOBPOOBPAPBPC評析評析本題考查向量的坐標(biāo)運(yùn)算,向量的模等基礎(chǔ)知識,對能力要求較高.2.(2009江蘇,15,14分)設(shè)向量a=(4cos,sin),b=(sin,4cos),c=(cos,-4sin).(1)若a與(b-2c)垂直,求tan(+)的值;(2)求|b+c|的最大值;(3)若tantan=16,求證:ab.解析解析(1)a與(b-2c)垂直,a(b-2c)=ab-2ac=0,即4c

30、ossin+4sincos-8coscos+8sinsin=0,即4sin(+)-8cos(+)=0,tan(+)=2.(2)b+c=(sin+cos,4cos-4sin),|b+c|2=sin2+2sincos+cos2+16cos2-32cossin+16sin2=17-30sincos=17-15sin2,其最大值為32,所以|b+c|的最大值為4.(3)證明:由tantan=16,得sinsin=16coscos,即4cos4cos-sinsin=0,所以ab.2三年模擬A A組組 20172019 20172019年高考模擬年高考模擬考點(diǎn)基礎(chǔ)題組考點(diǎn)基礎(chǔ)題組考點(diǎn)一平面向量的數(shù)量積考點(diǎn)

31、一平面向量的數(shù)量積1.(2019無錫期中,5)已知向量a,b的夾角為120,|a|=4,|b|=3,則|2a+b|的值為.答案答案7解析解析因?yàn)閍b=|a|b|cos120=-6,所以|2a+b|=7.2(2)ab2244aba b6494 ( 6) 2.(2019南通基地學(xué)校3月聯(lián)考,10)如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,點(diǎn)A(,1)在以原點(diǎn)O為圓心的圓上.已知圓O與y軸正半軸的交點(diǎn)為P,延長AP至點(diǎn)B,使得AOB=90,則=.3BPOA答案答案2解析解析由題意可知圓的半徑為r=2,則P(0,2),由AOB=90可得=0,故=(+)=+=(0,2)(,1)=2.2( 3)1OAOBBPOAB

32、OOPOABOOAOPOA33.(2019連云港期中,12)在三角形ABC中,AB=3,AC=1,A=,AD是A的平分線,則=.23ADAB答案答案98解析解析如圖所示,AD是A的平分線,=3,=+=+=+(-)=+,=+=+31cos=.BDDCABACADABBDAB34BCAB34ACAB14AB34ACADAB1344ABACAB142AB34ACAB94342398一題多解一題多解AD為A的平分線,A=,BAD=CAD=,SABD+SACD=SABC,ABADsinBAD+ACADsinCAD=ABACsinBAC,3AD+AD=3,AD=,=3cos=.23312121234ADA

33、B343984.(2019靖江檢測,11)在等腰梯形ABCD中,ABCD,AB=2,AD=1,DAB=60,若=3,=,且=-1,則實(shí)數(shù)的值為.BCCEAFABAEDF答案答案14解析解法一:=(+)(+)=(+)=(+)=(-)=|2-|2+|cos60=-+=-1.解得=.解法二:如圖,建立平面直角坐標(biāo)系,則E,F(2,0),D,AEDFABBEDAAF43ABBCDAAF4()3ABBAADDCDAAF1433ABADABAD3AB43AD4133ABAD43434133144 2 3,3313,22則=,=,所以=+=-1.解得=.AE4 2 3,33DF132,22AEDF12243

34、2 333214評析評析基底法與建系法是解決向量問題的兩種常用方法,要會根據(jù)條件選擇合適的方法,簡化解題過程.5.(2019南京、鹽城二模,12)已知AD是直角三角形ABC的斜邊BC上的高,點(diǎn)P在DA的延長線上,且滿足(+)=4.若AD=,則的值為.PBPCAD22PBPC答案答案2解析解析由ADBC,得=0,因?yàn)?+)=4,所以(2+)=4,所以=2,即|cos0=2,所以|=2,所以=(+)(+)=+=+|cos=-|=|2-|2=4-2=2.ADDCADBDPBPCAD2PDDBDCAD2PDAD2PDAD2PDPBPCPDDBPDDC2PDDBDC2PDDBDC2PDDBDCPDAD考

35、點(diǎn)二數(shù)量積的綜合應(yīng)用考點(diǎn)二數(shù)量積的綜合應(yīng)用1.(2017江蘇六校聯(lián)考,12)在ABC中,已知AB=8,AC=6,點(diǎn)O為三角形的外心,則=.BCOA答案答案14解析解析設(shè)AB,AC的中點(diǎn)分別為M,N,連接OM,ON,由題意知MOAB,ONAC,從而(-)=0,(-)=0,即=0,=0,所以=32,=18,所以=(-)=-=-18+32=14.AOAMABAOANAC12AOABAB12AOACACAOAB122ABAOAC122ACBCOAACABOAACOAABOA2.(2019如皋期末,12)如圖,在四邊形ABCD中,已知AB=2,CD與以AB為直徑的半圓O相切于點(diǎn)D,且BCAD,若=-1,

36、則=.ACBDADOD答案答案32解析解析因?yàn)?-1,所以(+)=-1,所以+=-1,因?yàn)锳B為直徑,BCAD,所以BDBC,所以=0,所以=-1,所以|cos(-ABD)=-1,可得|=1,在RtABD中,易得AD=,OBD=,又OB=OD,所以O(shè)BD為等邊三角形,所以BOD=,所以ADO=,所以=|cos=1=.ACBDABBCBDABBDBCBDBCBDABBDABBDBD3336ADODADOD633232思路分析思路分析根據(jù)題意以及圓的直徑所對的圓周角為直角,可得=-1,求得|=1,然后求得OBD為等邊三角形,求出BOD=,得ADO=,再利用數(shù)量積求得結(jié)果.ABBDBD363.(20

37、19海安高級中學(xué)檢測,13)如圖,已知AC=8,B為AC的中點(diǎn),分別以AB,AC為直徑在AC的同側(cè)作半圓,M,N分別為兩半圓上的動點(diǎn)(不含端點(diǎn)A,B,C),且BMBN,則的最大值為.AMCN答案答案4解析解析設(shè)NBC=,因?yàn)锽MBN,所以MBA=-,則BM=ABcos=4sin,則=(-)(-)=-+=-16=-16+=16sin2+16cos-16=-16+44,所以的最大值為4.0,222AMCNBMBABNBCBMBNBMBCBABNBABCBMBCBABNBMBABCBN21cos2AMCN一題多解一題多解以BC所在直線為x軸,AC的中垂線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系,設(shè)NBC=,因?yàn)锽M

38、BN,所以MBA=-,則BM=ABcos=4sin,則A(-4,0),C(4,0),N(4cos,4sin),所以M(2cos2-2,2sin2),=(2cos2+2,2sin2),=(4cos-4,4sin),則=(2cos2+2)(4cos-4)+2sin24sin=8cos2cos+8sin2sin+8cos-8cos2-8=-16+44,所以的最大值為4.0,222AMCNAMCN21cos2AMCN4.(2019揚(yáng)州期中,12)在ABC中,AH是邊BC上的高,點(diǎn)G是ABC的重心,若ABC的面積為+1,AC=,tanC=2,則(+)(+)=.65AHBCGBGC答案答案1解析解析在Rt

39、AHC中,tanC=2,AC=,所以解得AH=2,HC=1,故AHC的面積為1,又ABC的面積為+1,所以ABH的面積為,所以BH=.延長BG交AC于點(diǎn)D,因?yàn)镚為ABC的重心,所以D為AC的中點(diǎn),以H為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系,如圖.則H(0,0),A(0,2),C(1,0),B(-,0),由中點(diǎn)坐標(biāo)公式,得D,設(shè)G(x,y),5222,5,AHHCAHHC66661,12由=,得(x+,y)=,所以x=,y=,所以G.則+=(0,-2)+(1+,0)=(1+,-2),+=+=,所以(+)(+)=(1+,-2)=+=1.BG23BD62316,121632316 2,33AHBC66GBGC1

40、2 62,33 262,33164,33AHBCGBGC6164,331 63835.(2019南京、鹽城二模,15)設(shè)向量a=(cos,sin),b=(cos,sin),其中0,0,且a+b與a-b相互垂直.(1)求實(shí)數(shù)的值;(2)若ab=,且tan=2,求tan的值.245解析解析(1)由a+b與a-b互相垂直,可得(a+b)(a-b)=a2-b2=0,所以cos2+2sin2-1=0.(2分)又因?yàn)閟in2+cos2=1,所以(2-1)sin2=0.(4分)因?yàn)?0,所以=1.(6分)(2)由(1)知a=(cos,sin).由ab=得coscos+sinsin=,即cos=.(8分)因?yàn)?/p>

41、0,所以-0,所以sin(-)=-=-.(10分)所以tan(-)=-,(12分)因此tan=tan(-)+=.(14分)24545452221cos ()35sin()cos()34tan()tan1tan()tan126.(2019蘇錫常鎮(zhèn)四市教學(xué)情況調(diào)查一,16)已知向量a=(2cos,2sin),b=(cos-sin,cos+sin).(1)求向量a與b的夾角;(2)若(b-a)a,求實(shí)數(shù)的值.解析解析(1)設(shè)向量a與b的夾角為,因?yàn)閨a|=2,|b|=,(4分)所以cos=.(7分)考慮到0,則向量a與b的夾角為.(9分)(2)若(b-a)a,則(b-a)a=0,即ba-a2=0,(

42、12分)因?yàn)閎a=2,a2=4,所以2-4=0,解得=2.(14分)22(cossin )(cossin )2| |a bab(2cos ,2sin ) (cossin ,cossin )2 2222cos2sin2 2224一、填空題(每小題5分,共40分)B B組組 20172019 20172019年高考模擬年高考模擬專題綜合題組專題綜合題組(時間：40分鐘 分值：55分)1.(2019蘇錫常鎮(zhèn)四市教學(xué)情況調(diào)查二,13)如圖,在等腰直角三角形ABC中,CAB=90,AB=2,以AB為直徑在ABC外作半圓O,P為半圓弧AB上的動點(diǎn),點(diǎn)Q在斜邊BC上,若=,則的最小值為.ABAQ83AQCP

43、答案答案-2 53解析解析以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),AB所在直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系,則A(-1,0),B(1,0),C(-1,-2),設(shè)P(cos,sin),Q(x,y),=,即(2,0)(x+1,y)=,Q,則=,=(cos+1,sin+2),故=cos+-sin-=cos-sin=sin(-),其中tan=2,0,的最小值為-.ABAQ838312,33AQ42,33CPAQCP4343234343232 53AQCP2 532.(2019宿遷期末,12)如圖所示,矩形ABCD的邊AB=4,AD=2,以點(diǎn)C為圓心,CB為半徑的圓與CD交于點(diǎn)E,若點(diǎn)P是圓弧EB(含端點(diǎn)B、E)上的一點(diǎn),則的取值

44、范圍是.PAPB答案答案8-8,02解析解析以C為原點(diǎn),建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系.點(diǎn)P的軌跡方程為x2+y2=4(x0,y0),設(shè)P(2cos,2sin),又A(-4,-2),B(0,-2),則=(-4-2cos,-2-2sin),=(0-2cos,-2-2sin),所以=8cos+8sin+8=8sin+8,因?yàn)?所以+,3,2PAPBPAPB243,2457,44sin,則8-8,0.所以的取值范圍是8-8,0.421,2 PAPB2PAPB23.(2019啟東中學(xué)、前黃中學(xué)、淮陰中學(xué)等七校聯(lián)考,12)如圖,在ABC中,a、b、c分別是角A、B、C所對的邊,E,F是AB上的兩個三等分點(diǎn)

45、,G,H是AC上的兩個三等分點(diǎn),(+)(-)=-,則bcosC的最小值為.BGCEBHCF109答案答案1解析解析因?yàn)?-,=-,=-,=-,所以(+)(-)=-(+)(-)=-,所以AC2-AB2=1,作AMBC,垂足為M,則AC2-AB2=MC2-BM2=1,則bcosC=CM=1.所以bcosC的最小值為1.BG13ACABCE13ABACBH23ACABCF23ABACBGCEBHCF2233ACAB5533ACAB109ABACACAB10921BM 思路分析思路分析從條件看,考慮用基底法去研究,因?yàn)榈确贮c(diǎn)在AB,AC上,所以考慮用,作為基底表示其余向量,找到兩邊關(guān)系,然后構(gòu)造直角三

46、角形,去轉(zhuǎn)化理解bcosC的意義,題目就能夠順利解決.ABAC4.(2019如皋檢測,10)在平行四邊形ABCD中,A=,AB=2,AD=1,若M、N分別是邊BC、CD上的點(diǎn),且滿足=,則的取值范圍是.3|BMBC|CNCDAMAN答案答案2,5解析解析以AB所在直線為x軸,過A點(diǎn)且垂直于AB的直線為y軸建立如圖所示的直角坐標(biāo)系,過D點(diǎn)作DE垂直于x軸,垂足為E,則A(0,0),D,B(2,0),C.設(shè)=,0,1,M,N,故=-2-2+5=-(+1)2+62,5.13,2253,22|BMBC|CNCD32,22532 ,22AMAN5.(2019南通、揚(yáng)州、泰州、蘇北四市七市一模,12)在平

47、面四邊形ABCD中,AB=1,DA=DB,=3,=2,則|+2|的最小值為.ABACACADACAD答案答案25解析解析以A為坐標(biāo)原點(diǎn),AB所在直線為x軸,建立平面直角坐標(biāo)系,如圖所示.則A(0,0),B(1,0),又DA=DB,所以設(shè)D,因?yàn)?|cosCAB=3,所以設(shè)C(3,n),又=2,所以mn=,故|+2|=2.1,2mABACACACAD12ACAD224(2 )nm221644nmmn22184mn184mn5當(dāng)且僅當(dāng)即或時,取“=”.故|+2|的最小值為2.2,1,2mnmn1,21mn1,21mn ACAD56.(2019姜堰中學(xué)、淮陰中學(xué)期中,14)如圖,在ABC中,=,=,

48、CD與BE交于點(diǎn)P,AP=1,BC=4,=2,則的值為.AD12ABAE13ACAPBCABAC答案答案13解析解析設(shè)=,=+=(1-)+=(2-2)+.D,P,C三點(diǎn)共線,2-2+=1,解得=.=+.AP=1,BC=4,=2,解得=.BPBE13BAACAPABBPAB3ACAD3AC335AP25AB15ACAPBC2222211,55()16,21()2,55APABACBCACABAP BCABACACABABAC137.(2018南通第一次調(diào)研,12)如圖,已知矩形ABCD的邊長AB=2,AD=1.點(diǎn)P,Q分別在邊BC,CD上,且PAQ=45,則的最小值為.APAQ答案答案4-42解析解析解法一:以A為坐標(biāo)原點(diǎn),AB所在直線為x軸,AD所在直線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系,則A(0,0),B(2,0),D(0,1).設(shè)PAB=,則=(2,2tan),=tan,1,因?yàn)?(2,2tan)=2tan+2tan=+2tan=+2tan-2=+2(tan+1)-44-4,當(dāng)且僅當(dāng)tan=-1時“=”成立,所以的最小值為4-4.解法二:設(shè)PAB=,則DAQ=-,則AP=,AQ=,=|cos=APAQ410tan2APAQtan,1442(1tan )1tan41tan41