基本物理量的測量與誤差分析

1、實驗1：基本物理量的測量與誤差分析土卓1401 邱宏浩 U201415471 摘要：本實驗由幾個基本實驗組成，注重培養(yǎng)學生在物理實驗的基礎知識、基本方法和基本技能等方面的科學素質。單擺實驗是個經(jīng)典實驗，許多著名的物理學家，例如伽利略、牛頓等，都對單擺實驗進行過細致地研究。關鍵詞：單擺 扭擺 轉動慣量 誤差分析一、引言【實驗背景】本實驗由幾個基本實驗組成，注重培養(yǎng)學生在物理實驗的基礎知識、基本方法和基本技能等方面的科學素質。單擺實驗是個經(jīng)典實驗，許多著名的物理學家，例如伽利略、牛頓等，都對單擺實驗進行過細致地研究。轉動慣量時剛體轉動時慣性的量度，與剛體的質量、轉軸的位置及質量分布有關，且形狀復雜

2、、質量分布不均勻的剛體的轉動慣量通常很難直接計算，需要用實驗方法測定，本實驗中會采用扭擺法測量物體的轉動慣量以及切變模量，切變模量是剪切應力與應變的比值，是材料的力學性能指標之一?！緦嶒災康摹?、學會幾種常用測量儀器的正確使用方法。2、學會并掌握誤差均分原理及其應用。3、學會不確定度法分析評估實驗結果。4、研究單擺的運動規(guī)律，測量本地的重力加速度。5、研究扭擺的運動，測量轉動慣量和切變模量?！緦嶒炘怼浚ㄒ唬┱`差均分原理設間接測量量值為y，它是由n個互不相關的直接測量x1 x2 x3 xn通過函數(shù)關系f得到y(tǒng)=fx1,x2,xn得到，則直接測量的標準不確定度和相對標準不確定度的傳遞公式為：U2

3、y=i=1nfxi2uc2(xi)Ur2y=i=1nlnfxi2uc2(xi)在單擺實驗中為要求Ury1%，由誤差均分原理，擺長誤差:UL0.35mm，周期誤差：UT0.005s，為滿足周期誤差范圍至少要測量40個周期的時間。（二）單擺如圖（1），理想單擺時一根長度為l、沒有質量和彈性的柔軟細線，下端系有一個沒有體積、質量為m的質點，在與地面垂直的平面內(nèi)繞支點o作擺角q趨于0的自由振動。 其擺動周期T為：T=2(l/g)1/2 而實際的單擺懸線有質量、彈性，擺球是有質量有體積的剛性小球，擺角不為零，受空氣浮力影響，其周期公式為：T=2lg1+d220l2-ml12m1+d2l+mlm+02+2

4、16式中，T是擺動周期，g是重力加速度，l、mL是單擺擺線長度及質量，d、m、是擺球的直徑，質量和密度，0為空氣密度，是擺角。 實驗時，選擇一根長度為l的柔軟細線與直徑為d的小球構成單擺，不計空氣浮力的影響，使小球在豎直平面內(nèi)作小角度（不大于5）擺動，則擺動周期為T=2l+d/2g得出公式： g=2T2(l+d/2)（三）扭擺 將一細金屬絲（鋼絲）的上端固定，下端聯(lián)結一轉動慣量為I的物體，以金屬絲為軸將物體扭轉一小角度后松開，物體將在鋼絲彈性扭轉力矩M的作用下作周期性的自由擺動。若鋼絲在扭轉擺動中的角位移以F表示，爪手整個裝置對其中心軸的轉動慣量是I0，根據(jù)轉動定律則有：M=-KF=I0d2F

5、dt2其扭動周期滿足：T0=2I0K在測量鋼絲扭轉系數(shù)K和擺動物體繞軸的轉動慣量I0的試驗中，分別測量轉動系統(tǒng)本身繞軸擺動的周期T0，再將一個內(nèi)外直徑，高度，質量已知的圓環(huán)水平放在爪手上，測得轉動周期T1，則可得：T12-T02=42KI1又K=GR4/2L，則：G=2KLR4由理論推導，圓環(huán)繞中心軸作水平擺動的轉動慣量I1為：I1=Mb2+c28若使圓環(huán)繞豎直方向擺動，則其轉動慣量I1為：I1=M(b2+c216+d212)其中，b為圓環(huán)內(nèi)直徑，c為圓環(huán)外直徑，d為圓環(huán)高度，M為圓環(huán)質量。（四）轉動慣量的平行軸定理： 理論分析證明，若質量為M的物體繞質心軸的轉動慣量為I0，若軸平行移動距離為

6、x時，則物體對新軸的轉動慣量為：I=I0+Mx2二、實驗過程【實驗內(nèi)容】1、固定單擺擺長測量擺動周期，計算本地重力加速度，檢驗測量結果是否滿足精度要求。（1）按照要求設定擺長為50cm；（2）用米尺和千分尺分別測量單擺的擺長和擺球的直徑各5次；（3）搭建單擺，用秒表測量50個周期的時間，重復5次；（4）計算測量結果，寫出結果表達式；（5）檢驗測量結果是否滿足Urg1%。2、驗證單擺擺長與振動周期平方成正比關系。（1）依次設置擺長為50、55、60、65、70、75、80cm，用秒表測量單擺擺動50個周期的對應時間，記錄數(shù)據(jù)；（2）分別作擺長與擺動周期、擺長與擺動周期平方關系圖。3、測量鋼絲的扭

7、轉系數(shù)及系統(tǒng)本身繞對稱軸的轉動慣量（圓環(huán)繞對稱軸的轉動慣量已知）。（1）反別用電子天平和游標卡尺測量圓環(huán)的質量和內(nèi)、外直徑各5次，記錄數(shù)據(jù)；（2）搭建單線扭擺，用智能計時儀器測量系統(tǒng)本身繞鋼絲轉動的5個周期，重復5次；（3）測量在爪手上水平放置圓環(huán)時整個系統(tǒng)繞鋼絲轉動的5個周期，重復5次；（4）計算鋼絲的扭轉系數(shù)及轉動系統(tǒng)本身的轉動慣量I0；（5）計算K和I0的不確定度，寫出結果表達式。4、用扭擺法測量鋼絲或銅絲的切變模量G。（1）用米尺測量擺線的有效長度1次；（2）用千分尺測量不同處的直徑5次；（3）用游標卡尺測量圓環(huán)內(nèi)、外直徑和高度各1次；（4）用電子天平稱量圓環(huán)的質量1次；（5）搭建單線

8、扭擺，分別將圓環(huán)以水平和垂直兩種狀態(tài)放置在爪手上，用智能計時儀測量扭擺擺動5個周期的時間5次；（6）計算鋼絲或銅絲的切變模量G和不確定度，寫出結果表達式?！緦嶒灧椒ê图夹g】1、單擺法測量當?shù)刂亓铀俣龋?選擇長度為l的柔軟細繩與直徑為d的小球構成單擺，不計空氣浮力的影響，使小球在豎直平面內(nèi)作小角度（不大于5）擺動，粗測量重力加速度；2、對于數(shù)據(jù)的測量： 反復多次取平均值?！緦嶒灲Y果的分析和結論】1、單擺法測量重力加速度（擺角小于5）：表1.1 單擺數(shù)據(jù)擺球直徑（mm）擺長（cm）單擺50個周期（s）120.00550.1071.66220.00550.0871.34320.00350.0771

9、.46420.00350.0871.47520.00250.1071.56平均值20.003650.08671.498U(y)0.000001m0.0002m0.03s平均周期：T=1.42996s；平均擺長：l=0.500086m；擺球直徑平均值：d=0.0200036m；g=2T2l+d2=9.846m/s2Ug=(gT)2UT2+(gl)2Ul2+(gd)2Ud2=82l+d2T32Ug2+(2T)4Ug2+14(2T)4Ug2=0.001m/s2測量結果為：g=9.8460.001m/s2測量結果相較武漢本地的重力加速度(9.79 m/s2)偏大，造成誤差的可能原因有：（1）測量誤差，

10、對擺長、小球直徑等的測量誤差；（2）在單擺實驗中，擺線懸掛點不穩(wěn)定，影響單擺周期的測量；（3）計算為忽略空氣阻尼、擺線彈性以及小球形狀不規(guī)則的結果。2、驗證單擺擺長與振動周期平方成正比的關系：表1.2 擺長與周期數(shù)據(jù)記錄擺長（cm）50個周期（s）周期（s）周期的平方（s2）5071.4414.29204.155574.5614.91222.376078.1615.63244.366581.4316.29265.237084.3116.86284.337587.1517.43303.808090.0018.00324.00作擺長與擺動周期以及擺長與周期平方的圖像如下：圖1.1 擺長周期圖由圖以

11、及線性回歸分析可知擺長與擺動周期的線性相關性很差；圖1.2擺長周期平方圖由圖以及線性回歸分析可知擺長與時間平方的線性相關性很好，且過原點，即擺長與周期的平方成正比，由線性擬合的信息可知直線斜率為0.2466。3、測量鋼絲的扭轉系數(shù)及系統(tǒng)本身繞對稱軸的轉動慣量：表1.3 圓環(huán)的基本參數(shù)數(shù)據(jù)記錄次數(shù)12345平均U(y)質量(g)854.5854.6854.5854.5854.6854.540.05內(nèi)徑(cm)8.0008.0027.9968.0008.0028.0000.002外徑(cm)11.01011.01211.01011.00811.01011.0100.001表1.4 繞鋼絲轉動的5個

12、周期系統(tǒng)本身轉動5個周期時間(s)水平放置圓環(huán)轉動5個周期時間(s)135.6290.09235.7590.18336.2091.12435.8489.78535.5790.23平均35.8090.28周期7.1618.06U(y)0.040.09轉動慣量以及不確定度的計算： T0=7.16s T1=18.06s T02=42KI0 T12=42K(I0+I1) T12-T02=42KI1 I1=Mb2+c28=0.8540482+11.012810-4 kgm2=1.97710-3 kgm2 K=42I1T12-T02=2.8410-4 kgm2s-2 I0=T02K42=3.6810-4

13、kgm2 UI1=(b2+c28)2UM2+(2Mb8)2Ub2+(2Mc8)2Uc2=0.0001kgm2 UK=(42T12-T02)2UI12+2T142I1(T12-T02)22UT12+2T042I1(T12-T02)22UT02=0.00001 kgm2s-2 UI0=(T0242)2UK2+(2T0K42)2UT02=0.00002kgm2 結果表達式： K=(2.80.1)10-4kgm2s-2 I0=(3.70.2)10-4 kgm25、用扭擺法測量鋼絲或銅絲的切邊模量：表1.5 圓環(huán)參數(shù)數(shù)據(jù)記錄擺線長（cm）擺線直徑(mm)圓環(huán)內(nèi)徑(mm)圓環(huán)外徑(mm)圓環(huán)高度(mm)圓

14、環(huán)質量(g)147.110.38880.00110.1014.10854.720.39030.39340.39650.393平均47.110.392U(y)0.010.0030.010.010.010.1表1.6 圓環(huán)不同放置轉動周期水平放置時5個周期時間(s)豎直放置時5個周期時間(s)161.5245.50261.0545.58361.2845.65461.3745.68561.2045.80平均61.2845.64周期12.269.13U(y)0.030.02 計算：圓環(huán)水平放置時周期：T1=12.26s圓環(huán)垂直放置時周期：T2=9.13s圓環(huán)繞中心軸作水平擺動的轉動慣量：I1=Mb2+

15、c28=1.97710-3 kgm2圓環(huán)垂直擺動時轉動慣量：I2=Mb2+c216+d212=1.00310-3 kgm2T12-T02=42KI1 T22-T02=42KI2 T12-T22=42K(I1-I2) K=42(I1-I2)T12-T22 K=5.7510-4kgm2s-2 G=2KLR4=1.171011kgm-1s-2 UG=(2LR4)2UK2+(8KLR5)2UR2=0.21011kgm-1s-2 測量結果：G=(1.20.2)1011kgm-1s-2【實驗遇到的問題及解決的方法】1、單擺實驗時，擺長長度測量，由于繩有彈性，測量極不準確，應懸掛小球之后再進行擺長的測量；2、擺球不在同一平面內(nèi)作小角度單擺運動，應在小球開始擺動后多等待一段時間，讓小球盡量穩(wěn)定在同一平面內(nèi)；3、扭擺法測切變模量實驗中，測量銅絲擺長不夠準確，且在實驗過程中為測量銅絲長度導致銅絲折斷，更換至鐵絲后，實驗3、4中的K值不同且實驗3中的I0無法繼續(xù)在實驗4中運算，必須重新測量，或 在計算過程中消去I0。三、實驗小結【體會或收獲】通過實驗了解到了基礎物理測量的復雜，簡單的物理量要通過多次反復地測量以減小誤差，對于測量的不確定度也要反復計算，細小的錯誤就足以對所要測量的物理量的結果產(chǎn)生巨大影響，數(shù)據(jù)處理以及不確定度的計算需要合理利用計算機excel等工具。