上海事業(yè)單位職業(yè)能力傾向測驗考試數(shù)學思維的運用容斥問題

1、2016上海事業(yè)單位職業(yè)能力傾向測驗考試：數(shù)學思維的運用-容斥問題【導(dǎo)讀】數(shù)學是邏輯的基礎(chǔ)，在很多考生在做邏輯題目的時候，有時也需要借助一些數(shù)學思維，其中比較典型的就是邏輯中的容斥問題。所謂容斥問題，是指根據(jù)兩個集合間的關(guān)系(一般考相容或相斥)的情況來判斷集合整體數(shù)字的最大情況或最小情況。在邏輯中，關(guān)于容斥問題的考查根據(jù)出題形式主要有兩種：第一種為結(jié)論型(即直接推出結(jié)論)，第二種則為沖突型(即問選項與題干沖突的或相符的)。本文將就這兩種題型分別進行闡述。一、何為容斥?在講授兩種題型之前，我們首先要了解一下容斥的含義，所謂容斥，是根據(jù)集合間的關(guān)系來講的，在數(shù)學中，集合間的關(guān)系共分為五種，分別問全

2、同、全異、交叉、包含、包含于。容，即指一個集合的范圍一定是完全在另一個集合的范圍里面的，比如中國人和人的集合，中國人的范圍一定在人的范圍里面，那么就可以說它們之間是包含的關(guān)系，也可以說是相容的;再比如土豆和馬鈴薯，土豆的集合范圍和馬鈴薯是一樣的，那么也可以說土豆(馬鈴薯)范圍一定在馬鈴薯(土豆)的范圍里面，它們之間是全同的關(guān)系，但也可以說是相互相容的。根據(jù)前文的兩個例子，所謂的容，其實包含了集合間五種關(guān)系的三種，即全同、包含和包含于。斥，即兩個集合范圍相互排斥，即兩個集合間的關(guān)系是一種全異關(guān)系，比如桌子和椅子，它們的范圍就是相互排斥的關(guān)系。了解完容斥問題的含義，它對我們做題有什么幫助呢?其實容

3、斥問題是考查集合范圍最大(多)情況和最小(少)情況的核心點，比如給一群人，這群人里面有10個女生和15個游泳愛好者，并且女生和游泳愛好者涉及到這群人所有人了，那么這群人的最多和最少是什么呢?對于這個問題，很多人一眼就可以看出來，最多一定是25個人，最少是15個人。對于這個一眼就可以知道答案的題目，很多人都覺得很簡單，但是這個簡單的背后我們需要思考它的深層次原因，為什么最多就是25個人，最少就是15個人。這里面就需要借助數(shù)學的考查方法。當給出幾個集合的時候，這幾個集合所覆蓋的面積越大，所得數(shù)字就越大，這幾個集合所覆蓋的面積越小，多得數(shù)字就越小。比如：當女生和游泳愛好者的范圍這樣子分布(包含)的時

4、候，這兩個集合的面積是最小情況(由于這兩個集合女生的數(shù)字是10人，游泳愛好者的愛好是15人，所以最少的數(shù)字得取到15，即兩個集合中的最大的數(shù)字)，即所得數(shù)字就是最少的情況。所以可以這樣說，當兩個集合的范圍為(包含或包含于或全同)的時候，整體集合的最小數(shù)字取幾個集合中最大范圍集合的數(shù)字即可(比如上圖取的是15，即這群人最少有15人。)根據(jù)上文的闡述，如果題目中給出幾個集合，當幾個集合的關(guān)系為全異的時候，各個集合的數(shù)字加和所得數(shù)字即是整體的最大數(shù)字;當幾個集合的關(guān)系為包含(包含于、全同)的時候，幾個集合間數(shù)字最大的即為整體最小數(shù)字的情況。、結(jié)論型題目在了解完什么是容斥之后，再面對結(jié)論型題目就顯的比

5、較簡單了。所謂結(jié)論型題目，一般是題干中給出一群人，這群人中給出幾個集合，并問最大數(shù)字和最小數(shù)字分別是什么。例如：1.一個房間中，一批人在聊天。其中，一個沈陽人，三個南方人，兩個廣東人，兩個人是作曲家，三個人是詩人。假設(shè)以上介紹涉及了房間中所有的人，那么房間中最少可能是幾個人?最多可能是幾個人?A.最少可能是4人，最多可能是9人B.最少可能是3人，最多可能是8人C.最少可能是4人，最多可能是11人D.最少可能是5人，最多可能是9人解析：這個題目是典型的容斥問題結(jié)論型題目的考查方法，根據(jù)容斥問題的解題思路，當集合間的關(guān)系為全異時，加和所得數(shù)字為整體最多數(shù)字，當集合間關(guān)系為包含時，單個集合的最大情況

6、的數(shù)字為整體最少數(shù)字。所以，要想知道最多多少人，最少多少人，第一步就是要找出各個集合間的關(guān)系。而集合間的關(guān)系又有可確定的關(guān)系和不可確定的關(guān)系，根據(jù)題目，可確定的關(guān)系為沈陽人、南方人、廣東人，即和地方有關(guān)系的身份，而不可確定的關(guān)系為作曲家和詩人。所以就根據(jù)可確定的情況，和地方有關(guān)系的一定是4個人，而不可確定的關(guān)系包括很多種，但是無論包括多少種，最多依然是全異的情況，即為5個人，最少即為包含的情況，3個人。所以整體最多的情況就是可確定的情況和不可確定的最多情況全異加和所得數(shù)字為9人，整體最少的情況就是確定的情況和不可確定的情況的的包含或全同關(guān)系，取大數(shù)即為4人，故正確答案為A。以圖示表示：根據(jù)上題

7、，我們可以整理出結(jié)論型容斥問題的基本答題思路：第一步：找出題干中確定具有關(guān)系的集合和不確定具有關(guān)系的集合第二步：在第一步的基礎(chǔ)上，若求最多，即對確定具有關(guān)系所得數(shù)字加不確定具有關(guān)系的最大情況所得數(shù)字為整體最大情況;若求最少，即在確定具有關(guān)系的數(shù)字和不確定具有關(guān)系的集合中取大數(shù)所得數(shù)字為整體最小數(shù)字。三、沖突型容斥問題除了結(jié)論型容斥問題之外，在樸素邏輯中，也有一種容斥問題的?？碱}型，即為沖突性容斥問題，沖突型的容斥問題的出題形式一般是題干中給出幾個集合，問選項中符合題干信息的或者與題干信息沖突的。例如：2. 某大學哲學系邏輯學專業(yè)共有30名本科生，男女各一半，其中20人喜歡公理集合論，25人喜歡

8、模型論。那么以下都是不可能的，除了：A.10個男生喜歡公理集合論而不喜歡模型論B.10個喜歡模型論的男生不喜歡公理集合淪C.15個喜歡模型論的女生不喜歡公理集合論D.15個喜歡公理集合論的男生只有5個喜歡模型論解析：這道題目屬于典型的沖突型的容斥問題，根據(jù)題干的信息，一共有30名，男、女各15人，其中20人喜歡公理集合論，25人喜歡模型論。題目中問的是“以下選項中不可能的，除了”，這種問法具有迷惑性，但是仔細分析就可以發(fā)現(xiàn)題目中讓選的是可能的，即符合題干信息的，要想選出符合題干信息的，那么排除不符合題干信息的選項即可。A項中10個男生喜歡公理集合論而不喜歡模型論，這個選項的重點信息是10個男生不喜歡模型論，即有十個男生和模型論是全異關(guān)系，根據(jù)容斥關(guān)系，說明人數(shù)是35個人，但是題目中一共才有30個人，故A項超出了題干的數(shù)字范圍;同理，C項是35人，也超出了題干的數(shù)字范圍;同理D項中15個男生只有5個喜歡模型論，說明有10個不喜歡模型論，即和A項一樣，故也排除，所以本題的答案為B項。根據(jù)上題，關(guān)于沖突型的容斥問題，我們一般的做題方法是排除法，通過排除錯誤選項來確定正確選項，在考量一個選項是否排除的時候