數(shù)學(xué)必修4-第二章-平面向量知識點(diǎn)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上 數(shù)學(xué)必修4第二章 平面向量知識點(diǎn)2.1 平面向量的實(shí)際背景及基本概念1. 向量：既有大小又有方向的量。2. 向量的模：向量的大小即向量的模（長度），如的模分別記作|和。注：向量不能比較大小，但向量的?？梢员容^大小。3. 幾類特殊向量(1)零向量：長度為0的向量，記為，其方向是任意的，與任意向量平行，零向量0。由于的方向是任意的，且規(guī)定平行于任何向量，故在有關(guān)向量平行（共線）的問題中務(wù)必看清楚是否有“非零向量”這個條件。（注意與0的區(qū)別）(2)單位向量：模為1個單位長度的向量，向量為單位向量。將一個向量除以它的模即得到單位向量，如的單位向量為：(3)平行向量（共線向量

2、）：方向相同或相反的非零向量,稱為平行向量.記作。規(guī)定：與任何向量平等，任意一組平行向量都可以移到同一直線上，由于向量可以進(jìn)行任意的平移(即自由向量)，平行向量總可以平移到同一直線上，故平行向量也稱為共線向量。數(shù)學(xué)中研究的向量是自由向量，只有大小、方向兩個要素，起點(diǎn)可以任意選取，現(xiàn)在必須區(qū)分清楚共線向量中的“共線”與幾何中的“共線”、的含義，要理解好平行向量中的“平行”與幾何中的“平行”是不一樣的。（4）相反向量：與長度相等、方向相反的向量，叫做的相反向量。記作。關(guān)于相反向量有： 零向量的相反向量仍是零向量， =； ； 若、是互為相反向量，則=,=,+=。（5）相等向量：長度相等且方向相同的向

3、量。記為。相等向量經(jīng)過平移后總可以重合。2.2 平面向量的線性運(yùn)算1.向量加法（1）定義：求兩個向量和的運(yùn)算叫做向量的加法設(shè)，則+=。規(guī)定：；（2）向量加法的法則“三角形法則”與“平行四邊形法則” 用平行四邊形法則時，兩個已知向量是要共始點(diǎn)的，和向量是始點(diǎn)與已知向量的始點(diǎn)重合的那條對角線。 三角形法則的特點(diǎn)是“首尾相接”，由第一個向量的起點(diǎn)指向最后一個向量的終點(diǎn)的有向線段就表示這些向量的和。注：當(dāng)兩個向量的起點(diǎn)公共時，用平行四邊形法則；當(dāng)兩向量是首尾連接時，用三角形法則。向量加法的三角形法則可推廣至多個向量相加： ，但這時必須“首尾相連”。（3）向量加法的運(yùn)算律：交換律： 結(jié)合律：2.法向量的

4、減（1） 定義：若則向量叫做與的差，記為。求兩個向量差的運(yùn)算，叫做向量的減法。（2） 向量減法的法則“三角形法則”與“平行四邊形法則” 三角形法則：當(dāng)有共同起點(diǎn)時，表示為從減向量的終點(diǎn)指向被減向量的終點(diǎn)的向量。 平行四邊形法則：兩個已知向量是要共始點(diǎn)的，差向量是如圖所示的對角線。設(shè)則-=.3.實(shí)數(shù)與向量的積（1） 定義：實(shí)數(shù)與向量的積是一個向量，記作，它的長度與方向規(guī)定如下： ； 當(dāng)時，的方向與的方向相同；當(dāng)時，的方向與的方向相反；當(dāng)時，方向是任意的。（2） 數(shù)乘向量的運(yùn)算律 ；。2.3 平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示1.平面向量基本定理：如果，是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的

5、任一向量，有且只有一對實(shí)數(shù)1，2使=1+2.注意：(1) 我們把不共線向量、叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底； (2) 基底不惟一，關(guān)鍵是不共線；2.向量的夾角:已知兩個非零向量、，作，則AOB，叫向量、的夾角，當(dāng)=0°，、同向，當(dāng)=180°，、反向，當(dāng)=90°，與垂直，記作。3.平面向量的坐標(biāo)表示：在直角坐標(biāo)系中，分別取與x軸、y軸方向相同的兩個單位向量作為基底，由平面向量的基本定理知，該平面內(nèi)的任一向量可表示成，由于與數(shù)對(x,y)是一一對應(yīng)的，因此把(x,y)叫做向量的坐標(biāo)，記作=(x,y)，其中x叫作的橫坐標(biāo)，y叫做作縱坐標(biāo)。規(guī)定： ， 相等的向量坐標(biāo)

6、相同，坐標(biāo)相同的向量是相等的向量； 向量的坐標(biāo)與表示該向量的有向線段的始點(diǎn)、終點(diǎn)的具體位置無關(guān),只與其相對位置有關(guān)4.平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算：若，則；若，則；若=(x,y)，則=(x, y)；若，則；若， 則附：向量的表示方法：1幾何表示法：用帶箭頭的有向線段表示，如，注意起點(diǎn)在前，終點(diǎn)在后；4. 2符號表示法：用一個小寫的英文字母來表示，如，等；5. 3坐標(biāo)表示法：在平面內(nèi)建立直角坐標(biāo)系，以與軸、軸方向相同的兩個單位向量，為基底，則平面內(nèi)的任一向量可表示為，稱為向量的坐標(biāo)，叫做向量的坐標(biāo)表示。如果向量的起點(diǎn)在原點(diǎn)，那么向量的坐標(biāo)與向量的終點(diǎn)坐標(biāo)相同。運(yùn)算向量形式坐標(biāo)形式：；加法<1>

7、平行四邊形法則：起點(diǎn)相同，對角線為和向量。<2>三角形加法法則：首尾相連。記：減法起點(diǎn)相同的兩個向量的差，（箭頭指向被減向量）記：數(shù)乘是一個向量，方向：時，與同向；時，與反向；時，數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)交換律：；結(jié)合律：；。加法： 減法：2.4 平面向量的數(shù)量積（1） 平面向量的數(shù)量積的定義 向量，的夾角：已知兩個非零向量，過O點(diǎn)作，則AOB=（001800）叫做向量，的夾角。當(dāng)且僅當(dāng)兩個非零向量同方向時，=00，當(dāng)且僅當(dāng)反方向時=1800，同時與其它任何非零向量之間不談夾角這一問題。 垂直；如果的夾角為900則稱垂直，記作。 的數(shù)量積：兩個非零向量，它們的夾角為，則叫做稱的數(shù)量積（或內(nèi)積

8、），記作，即=，規(guī)定=0 非零向量 當(dāng)且僅當(dāng)時，=900，這時=0。在方向上的投影：（注意是射影）所以，的幾何意義：等于的長度與在方向上的投影的乘積。（2） 平面向量數(shù)量積的性質(zhì)設(shè)是兩個非零向量，是單位向量，于是有：；當(dāng)同向時，；當(dāng)反向時，特別地，。；(3)平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律交換律成立： 對實(shí)數(shù)的結(jié)合律成立：分配律成立：特別注意：（1）結(jié)合律不成立：；（2）消去律不成立不能得到（3）=0不能得到=或=0但是乘法公式成立： ；（3） 平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示 若=(x1,y1),=(x2,y2)則=x1x2+y1y2 若=(x,y),則|=.=x2+y2, 若A(x1,y1),B(x2,y2),則 若=(x1,y1),=(x2,y2)則（注意與時條件區(qū)別，）若=(x1,y1),=(x2,y2)則2.5 平面向量應(yīng)用列舉1、 線段的定比分點(diǎn)（1）定義：設(shè)P1,P2是直線L上的兩點(diǎn)，點(diǎn)P是L上不同于P1,P2的任意一點(diǎn)，則存在一個實(shí)數(shù)，使，叫做點(diǎn)P分有向線段所成的比。當(dāng)點(diǎn)P在線段上時，；當(dāng)點(diǎn)P在線段或的延長線上時，<0（2）定比分點(diǎn)的坐標(biāo)形式,其中P1(x1,y1), P2(x2,y2), P (x,y)，向量形式呢？（3）中點(diǎn)坐標(biāo)公式當(dāng)=1時，分點(diǎn)P為線段的中點(diǎn)，即有，向量形式呢？2、平移（1）圖形平移的定義：設(shè)F是坐標(biāo)平面內(nèi)的一個圖形，將圖上的所有