第2講數(shù)列斂散性

1、精品文檔第二章函數(shù)的斂散性與極限第一節(jié)數(shù)列的極限極限的概念是高等數(shù)學(xué)最基本的一個概念，以后將介紹的導(dǎo)數(shù)，定積分等重要的概念都是建立在極限概念之上的。先介紹數(shù)列(特殊函數(shù))極限的概念。一、實例具體分析某一數(shù)列的視角有多個，但數(shù)列一般項的變化趨勢無疑是最值得重視的。高中數(shù)學(xué)都是通過實例引入數(shù)列極限概念的。觀察下列數(shù)列：(i)nn1：/，2,nn1,；遞增無限接近于i(2)葉：1，1，1，1,；遞減無限接近于0n胃上-i,i，-1以,川交錯無限接近于0n23nn無限增大時，以上數(shù)列與某一常數(shù)無限接近。(4) (-1)n：1,1,1,1，；交錯(5) 2n:2,4,8，2n.無限增大(6) -2n:-

2、2,-4,-8,|H,-2nH|.無限遞減n無限增大時以上數(shù)列無上述變化趨勢。將數(shù)列的這一變化趨勢用普通語言描述出來就是中學(xué)所介紹的極限的直觀描述性定義二、概念1 .定T生定義：對于數(shù)列xn,如果存在一個常數(shù)a,當(dāng)n無限增大時(記為nt),xn與常數(shù)a無限接近(就把常數(shù)a叫做數(shù)列xn的極限。記作nimxn=a；有時也可記做：XnTa(nT.這個定義無疑是正確的。但缺乏數(shù)學(xué)形式的精確的、量化的刻畫，比如：什么叫n無限增大時xn與常數(shù)a無限接近？所謂“無限接近”即它們的距離可以任意的小，用數(shù)學(xué)語言說就是：xn-a可以任意的小。以數(shù)列(2)為例：就是當(dāng)n無限增大時，-1的項與0的差的絕對值xn0=1

3、0=nn可以任意的小。比如，要使Xn-0（卷,即要1100；要彳xn-0|父瑞，即要A10100；容易看出：要使Xn-a任意小，只要項數(shù)n充分大。我們引入名表示任意小的數(shù)（應(yīng)為正數(shù)），上面的表述改述為“只要n1,就有|xn-0|院.即在大于1的這一項后面的所有項與0的差的絕對值都小于e.可更簡單地說成“只要項數(shù)n,就有xn08，如果再把滿足不等式Xn-01,再讓nN,我們再用寬泛的“存在”取代&“找到，上面的表述就變?yōu)椋捍嬖谡麛?shù)N,當(dāng)nN時，就有Xn-0|N時，恒有|xn-a|N=|an-a|N”刻畫n足夠大。N的存在性是保證|xn-a|0,3N/A孑nN時二|xn-a|S.三、數(shù)列極限的幾

4、何解釋把數(shù)列4的項都擺在數(shù)軸上(圖)，于是，Xi,X2,，Xn,，都是數(shù)軸上的點。設(shè)有一個動點在數(shù)軸上跳動，動點的第一個位置在點X1,第二個位置在點x1,，第n個位置在點xn,。根據(jù)nimxn=a的定義，再由|Xn-a|0,要使|Xn-1|e,只要/1，取自然數(shù)N為工的s整數(shù)部，即取N=1,則當(dāng)nN時，=|n+(/尸-i|.；n.n(-1)nJlim4-.nj二：n注用數(shù)列極限的定義來證明某個數(shù)列an以某個常數(shù)a為極限時(或說用數(shù)列極限定義來驗證已知數(shù)列和已知常數(shù)的極限關(guān)系)，關(guān)鍵是證明N的存在性，找到了就證明了存在。通常是從要滿足的不等式|xn-a|:-(1 n)2Xn -a更好!1, n精

5、品文檔故Ve0,要使Xn-a8,只要11,取N=-1,則nN時，=(1)n-0.這就是所要證明的。(1+n)2注存在一個N就存在無窮多個，而我們只需要找一個就夠用。找那個呢？當(dāng)然找那個最好找的。其中，放大不等式一是簡化證明過程(1n)n的關(guān)鍵，這使得N的選取比較容易了。例3恒取常值-7的數(shù)列(即an三-7)以常數(shù)a=-7為極限。證.V60,不等式|xn-a|三0N=Ian-a|由例3可以得出一般性結(jié)論：恒取常值的數(shù)列，以這個常值為極限。例4設(shè)|q1,證明limqn=0.n證q=0時，結(jié)論顯然成立。以下設(shè)0|q|0,要使xn-a名，只要qn名，nlnqln=qn-0需取Ne,.limqn=0.n

6、一，=兩邊取自然對數(shù)，得取N=竿!則nN,Jn|q|_精品文檔五、性質(zhì)1、極限的唯一性數(shù)列xn不能收斂與兩個不同的極限b-a證（反證法）假設(shè)同時有xnTa及xnTb,且aN1的一切xn,不等式x_.Xn-aN2的一x-.切xn,不等式.baxn-b2(2)都成立。取N=maxN1,N2，則當(dāng)nN時，（1）、（2）會同時成立。但由（1）有xn亙士2,矛盾。222、收斂數(shù)列的有界性若數(shù)列xn收斂，則xn是有界數(shù)列。（或Xn一定有界）食界數(shù)乏Lxn如果三正數(shù)M,弓Un,恒有xnM.分析求證數(shù)列xn有界，即證明3M=I,使彳導(dǎo)fnW捷二|xn|N=|xn-axn-a|*=1)axn-a+aN=|xn|

7、a|+10M=maxIx11,1x2I,1xn1,1a11,n=|xn|-M.所以數(shù)列xn有界。其逆否命題？定理的逆否命題：無界數(shù)列必發(fā)散。其否命題？一一有界數(shù)列未必收斂（即定理1的逆命題不成立），例如通項公式是xn=（-1）n的數(shù)列，是發(fā)散的數(shù)列，但它是有界的?？梢娛諗繑?shù)列只是有界數(shù)列中的一部分（圖19）,即數(shù)列收斂是其有界的充分條件；而有界性僅是數(shù)列收斂的的必要條件。精品文檔3、收斂數(shù)列的保號性若limxn=a,與limyn=b,且ab,則x_x.3N=N+VnN,有Xnyn。證法：df,三NwN+/nN,有xna-,a-yn224、收斂數(shù)列與其子數(shù)列間的關(guān)系：若數(shù)列xn收斂（于a）,則x

8、n的任一子數(shù)列也收斂（于a）。5、運算性質(zhì)-四則運算若limxn=a,與limyn=b則：x.x.1） .lim（xnyn）=limxnlimyn=abx-x工二x.2） lim（xn.yn）=limxn.limyn=a.bx-xL：x一.xlimxnax3）lim=x=一,且b#0.（問題：若b=0,lim存在否？）x一ynnlim.ynbx一yn六、數(shù)列收斂的判別法1 .定義法2 .收斂數(shù)列與其子數(shù)列間的關(guān)系判別法3 .準則1.（兩邊夾定理）（夾逼定理）若數(shù)列&/,句/乂2滿足下列條件：1)yn”xn”zn,(n=1,2,3,.)2)limyn=a,limzn=axnx二則數(shù)列&n的極限存

9、在，且limxn=ax,證df,4.準則2單調(diào)有界數(shù)列必收斂1n重要極限Hm(1一)n=e,e=2.718281828459045.1n設(shè)Xn=(1+)，證明Xn單調(diào)增加有界n首先，由二項式定理，有Xn=(1 -)n = 1n口1!1n(n-1)1n(n-1)(n-2)1n2!n23!n3n(n-1)(n-n1)1-f-+n!nn111=1,1(1-)2!n3!1 ”類似的，Xm1，。(1)(1一2) (1一口n nn1112) (1)(1 -)n 13! n 1 n 1I -一)(1 一n 1 n 1)(1n -1n 1(n 1)!(1)(1) (1精品文檔比較的展開式，可以看到除前兩項外，的每一項都小于的對應(yīng)項,并且還多了最后一項，其值大于0,因