圓錐曲線預(yù)備知識

1、§7.4 圓錐曲線預(yù)備知識·方程與曲線·軌跡的概念重點·圓錐曲線的定義·圓錐曲線的標準方程·圓錐曲線的幾何性質(zhì)難點·拋物線和雙曲線定義的思想·焦點及離心率的概念·據(jù)已知條件求圓錐曲線方程學(xué)習要求·掌握圓錐曲線的幾何定義和標準方程·了解焦點、離心率和準線的含義及圓錐曲線的幾何性質(zhì)·會據(jù)已知條件導(dǎo)出已知曲線的方程·會解決圓錐曲線在實際中的簡單應(yīng)用問題 在上一節(jié)中你已經(jīng)看到，圓以x,y的二次方程作為其特點之一；同時你也看到，有一些x,y的二次方程并不是矛盾方程，但它不表示

2、圓，那么這種方程表示的是怎樣的曲線呢？這就是本節(jié)所學(xué)習的對象圓錐曲線，具體分為橢圓、拋物線和雙曲線三種你所要知道的是這三種曲線的定義、標準方程及幾何性質(zhì) 1. 圓錐曲線的定義和來歷 (1)橢圓的定義 在人類的認識史上，圓由于其特征明確、成形簡單，可以說是最早被人們所認識的、具有一定形狀的幾何曲線一個被壓扁了的圓，就其外形而言，也不難被人們所認識，但它的幾何特征是什么？是怎么生成的？ 圓是到定點(圓心)的距離為常數(shù)(半徑)的動點的軌跡圖7-60(1)O 你可以先動手做一個試驗取一根線將其兩端系在兩顆圖釘上，把兩顆固定在紙面的同一點上，用鉛筆套進線環(huán)后，保持拉緊線移動鉛筆因為把圓的定義“圓是到定點

3、的距離為常數(shù)的動點的軌跡”改為“圓是到定點的來回距離為常數(shù)的動點的軌跡”，并無實質(zhì)性的改變，鉛筆尖在紙上畫圖7-60(2)F2F1AB··出的當然是一個圓，固定圖釘?shù)狞cO就是圓心；設(shè)線長為2a，則圓半徑為a (見圖7-60(1) 現(xiàn)在你把兩顆圖釘分開固定在兩個點F1,F2上，使線長大于兩圖釘之間的距離，并保持拉緊狀態(tài)移動鉛筆，鉛筆尖在紙上也能畫出一條曲線(見圖7-60(2)，并立即能發(fā)現(xiàn)，這條曲線的形狀正是一個壓扁了的圓 我們把第二次試驗得到的那個壓扁了的圓，稱之為橢圓，因此橢圓是平面上到兩個定點的距離之和為常數(shù)的動點的軌跡并且稱兩個定點為橢圓的焦點，兩個定點間的距離(即圖

4、7-60(2)上線段F1F2的長)為焦距F1F2·圖7-60(3)···AB 仍用2a表示線的長度，即動點到定點的距離和當動點在直線F1F2與橢圓的交點、即圖7-60(3)的位置A(或B)處時， 2a=AF2+AF1=AF2+BF2=AB，因此2a就是直線F1F2與橢圓的交點的距離 用2c表示焦距，由試驗可知a>c現(xiàn)在保持線的長度2a不變，你可以繼續(xù)做實驗：把兩點并攏一些(c減小)，畫出來的橢圓越接近圓；分開一些(c增大)則橢圓越“扁”因此比值 e=(<1) (7-4-1)就能很好地反映圓被壓扁的程度，e越接近1(兩點分得越開)，橢圓越扁；e

5、越接近0(兩點并得越攏)，橢圓越圓；當e=0，即c=0，兩點并成一點了，橢圓回復(fù)成圓了c的大小反映了原來并在圓心處的兩點分開距離的大小，e=表示每單位到定點距離和的分開距離，因此自然被稱為離心率課內(nèi)練習11. 求下列橢圓的離心率e，焦距2c，并說明哪個橢圓比較“扁”一些： (1)到相距為4的兩個定點距離和為6的點的軌跡； (2)到相距為4的兩個定點距離和為8的點的軌跡 (2)雙曲線的定義···F2F1F2F1···PP·圖7-61(1)圖7-61(2) 根據(jù)橢圓的定義，人們自然會想，到兩個定點的距離之差是常數(shù)的動點的軌跡是怎

6、樣的？你仍然先動手作一個實驗：取兩個細繩，各把一端固定在定點F1, F2處，其余一端穿進一個能緊箍細繩的扣子內(nèi)，然后拉緊F1, F2 間的繩，此時扣子在點P處，用一支鉛筆緊貼扣子點；P到F1,F2的距離差=PF2-PF1記作2a(見圖7-61(1) )；之后逐步把扣子往后縮，使兩條細繩放長同樣的長度，那么兩條細繩的長度差始終是2a, 緊貼在扣子上的鉛筆就會畫出一條曲線這條曲線就是滿足到兩個定點的距離差為常數(shù)2a的點P的軌跡(見圖7-61 (2)中右邊的曲線)扣子可以往上移，也可以往下移，因此在直線F1F2的兩側(cè)都有曲線；你也可以在一開始把P定在靠近F2的一側(cè)，使PF1-PF2=2a，然后按上述

7、方法移動扣子，那么還能得到圖7-66(2)中左半支的圖象由此可見，滿足條件的動點的軌跡是分為左右兩個半支的 這樣得到的軌跡稱為雙曲線，即平面上到兩個定點的距離差為常數(shù)的動點的軌跡，稱為雙曲線；并且稱兩個定點(圖7-61(2)上的F1, F2)為雙曲線的焦點，稱焦點間的距離(圖7-61(2)上的線段F1F2的長)為焦距圖7-62F2··F1P·AB 如圖7-62，當P在直線F1F2與雙曲線的交點A(或B)處時， |AF1-AF2|=|AF1-BF1|=AB，所以2a就是直線F1F2與雙曲線的交點的距離 用2c表示焦距(即F1F2=2c)，由試驗可知a<c現(xiàn)在保

8、持|PF1-PF2|的大小不變(即2a不變)，你可以繼續(xù)作實驗：把F1,F2并攏一些(c減小)，畫出來的雙曲線的“張口”變窄了；反之，把F1,F2拉開一些(c增大)，“張口”又變寬了因此比值 e= (7-4-2)就能很好地反映雙曲線“張口”的大小，e越接近1，“張口”越窄；e越大，則“張口”越寬(7-4-2)定義的e稱雙曲線的離心率因為a<c，所以雙曲線的離心率e>1課內(nèi)練習21. 求下列雙曲線的離心率e，焦距2c，并說明哪個雙曲線的張口比較“寬” 一些： (1)到相距為10的兩個定點距離差為6的點的軌跡； (2)到相距為10的兩個定點距離差為8的點的軌跡 (3)拋物線的定義

9、83;·····lF圖7-63B 圓錐曲線的第三種是拋物線，它的定義方法表明上看與橢圓和雙曲線不同，其實有著內(nèi)在聯(lián)系現(xiàn)在先介紹拋物線的定義：拋物線是平面上到一個定點F與定直線l等距的動點的軌跡(見圖7-63)稱這個定點為拋物線的焦點，稱定直線為拋物線的準線 (4)圓錐曲線的來歷和它們之間的聯(lián)系 橢圓、雙曲線和拋物線的定義各不相同，它們之間有什么聯(lián)系？ 聯(lián)系切割圓錐 正圓錐你應(yīng)該很熟悉，它是一個直角三角形RtDVOA繞一條直角邊VO旋轉(zhuǎn)得到的幾何體(見圖7-64(1)；稱被繞的直角邊VO為旋轉(zhuǎn)軸，稱斜邊VA為母線，稱由直角邊OA旋轉(zhuǎn)所得的圓為底面

10、，稱由斜邊VA旋轉(zhuǎn)所得的曲面為圓錐面V圖7-64(4)AO··VAO圖7-64(3)VAO圖7-64(2)VAO圖7-64(1) 現(xiàn)在我們用一個平面，以四種不同角度去切割它：第一種，平面平行于底面，它與圓錐面的截交線是一個圓(見圖7-65(2)；第二種，平面與底面、旋V圖7-64(5)AO··轉(zhuǎn)軸及母線都不平行，它與圓錐面的截交線是一個壓扁了的圓，已經(jīng)證明它正是一個橢圓(見圖7-64(3)；第三種，平面與母線VA平行且不經(jīng)過V，它與圓錐面的截交線也被證明是一條拋物線(圖7-64(4)；最后當平面與旋轉(zhuǎn)軸VO平行且不經(jīng)過V，它與圓錐的圓錐面截交得到一條曲線

11、，恰好就是雙曲線的一支(圖7-64(5) 因此橢圓、雙曲線和拋物線，是在同一個圓錐上、用不同平面去切割圓錐面得到的，通稱為圓錐曲線，可見這三種曲線是有著密切的“血緣”關(guān)系的 聯(lián)系運動學(xué) 下面的事實你是必定有體驗的：投擲一個球，最后還是在地心引力的作用下回落到地面上，球在空中運行的軌跡是一條曲線，這條曲線正是以地心為焦點的拋物線(這也可以說是這條曲線命名的由來)圖7-65···O1Ol1l2l3l4 如果你有像發(fā)射火箭那樣的推力，使球的運動速度能略超過9.8km/s，這時球就不會回落到地面上來了，而是在地心引力的作用下，成為圍繞地球運行的一顆“衛(wèi)星球”，運行的軌道恰

12、好是以地心O1作為一個焦點的橢圓(見圖7-65的l1)人造地球衛(wèi)星總是在橢圓軌道上運行，就是這個原理如果你投擲球的速度再快一些，那么球還能脫離地球的引力范圍，進入到太陽的引力范圍，成為圍繞太陽O的運行的一顆“行星球”，運行軌道仍然是一個橢圓，太陽O是橢圓軌道的一個焦點(見圖7-65的l2)你的球的速度越快，橢圓就越“扁”，即圍繞太陽的橢圓軌道的離心率e越接近1，也即橢圓軌道的另一個焦點離開太陽越遠，此時你的球有點像“彗星球”了彗星通常在很“扁”的橢圓軌道上繞太陽運行設(shè)想你投球的速度能達到16km/s，這時你的球?qū)x太陽而去，永遠也不會回來了，它的運行軌道是一個離心率e=1的“橢圓”，也就是另

13、一個焦點在無窮遠處的“橢圓”然而橢圓的兩個焦點應(yīng)該在有限位置處，離心率也應(yīng)該小于1，實際上這樣的軌道已經(jīng)不能再稱“橢圓”了，那么是什么呢？正好是以太陽O為焦點的拋物線(見圖7-65的l3)！所以可以說拋物線是一個焦點在有限位置、另一個焦點在無窮遠處的“橢圓”，或者說是離心率e=1的“橢圓”最后如果你的球速能比16km/s還大，此時球?qū)⒁噪p曲線軌道永遠離開太陽系，太陽O仍然在雙曲線的一個焦點上(見圖7-65的l4) 聯(lián)系準線定義 拋物線是以“到一個定點F與定直線l等距的動點的軌跡”來定義的，改成“到一個定點F的距離與到一條定直線l的距離之比為常數(shù)1的動點的軌跡”，是完全等價的對橢圓和雙曲線，也有

14、這么一條直線l1，使橢圓和雙曲線上的點，到一個焦點F1的距離與到定直線l1的距離之比為常數(shù)(見圖7-66(1),(2)，只是這個常數(shù)不是1而是離心率e (即圖7-66(1),(2)上=e,P1是P在l1上的垂足)；而且因為橢圓和雙曲線的焦點有兩個，所以這樣的直線有兩條，另一條是圖7-66(1),(2)上的l2，它滿足=e,P2是P在l2上的垂足)我們同樣把上述l1,l2稱為橢圓和雙曲線的準線根據(jù)三種曲線的這種公共特征，可以說平面上到一個定點(焦點)的距離與到一條定直線(準線)的距離之比為常數(shù)e的動點的軌跡，稱為圓錐曲線，當比值e<1稱為橢圓；當e>1稱為雙曲線；當e=1稱為拋物線因

15、此我們也很自然地規(guī)定，拋物線的離心率e=1圖7-66(2)F2··F1P·ABl1l2P1P2F1F2·圖7-66(1)···AB·Pl1l2P2P1 2. 圓錐曲線的標準方程 圓錐曲線在建筑、機械、電子乃至宇宙航行等領(lǐng)域有廣泛的應(yīng)用，有必要進一步探求它們的一些性質(zhì)，為此首先要建立表示它們的數(shù)學(xué)方程 (1)橢圓的標準方程及幾何性質(zhì) 橢圓的標準方程 橢圓是到兩個定點(即焦點)距離為常數(shù)的動點的軌跡，建立橢圓方程實際上是求滿足條件的軌跡方程 以連接焦點F1,F2的直線為x軸，它們的中點為原點建立坐標系(見圖7-67(1

16、)設(shè)F1F2=2c，動點P(x,y)到F1,F2的距離和x圖7-67(1)yAC····O··PF1F2abcBD· PF1+PF2=2a, (a>c)，則焦點坐標F1(c,0),F2(-c,0) PF1+PF2= =+=2a即 =2a-兩邊平方 (x+c)2+y2=4a2-4a+(x-c)2+y2，移項整理得 a=a2-xc，兩邊再次平方得 a2(x2-2xc+c2+y2)=a4-2a2xc+x2c2，合并同類項后得 (a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2)記 b= (7-4-3)上式可以改寫為 b2x2+a

17、2y2=a2b2，兩邊同除以a2b2，最終得到 =1,(a>b>0) (7-4-4)x圖7-67(2)yCA····O··PF1F2bacDB· 在上面方程推導(dǎo)中，我們以連接焦點F1,F2的直線為x軸，如果把連接焦點F1,F2的直線設(shè)為y軸，那么得到的方程將是 =1,(a>b>0) (7-4-5)按照y軸是縱軸的習慣，橢圓的圖象也轉(zhuǎn)了一個個兒，成為圖7-67(2)那樣豎的了 按照上面兩種方法建立的坐標系，稱為標準坐標系；在標準坐標系中，橢圓的方程為(7-4-4)或(7-4-5)，它們稱為橢圓的標準方程

18、 讓我們來解釋一下標準方程里的系數(shù) 方程(7-4-4)或(7-4-5)中的a是清楚的，在分析定義時你已經(jīng)知道，它是圖7-67中AB長的一半，即OA的長；當P到達圖7-67的C或D點處，此時PF1=PF2=a，因此b=OC=OD，其中C,D是橢圓與標準坐標系非焦點所在的坐標軸的交點顯然b<a 橢圓的幾何性質(zhì) 在導(dǎo)出橢圓的標準方程時，是從已知a,c出發(fā)的下面，我們從橢圓的標準方程(7-4-4),(7-4-5)出發(fā)，借助圖7-68(1),(2)，來探求橢圓的一些幾何性質(zhì)，并把它們列在下面的表里名稱內(nèi)容、定義及計算公式標準方程=1,(a>b>0)=1,(a>b>0)xyA

19、C····O·F1F2abcBD·xyCA····O·F1F2bacDB·圖 形有 界 性橢圓含于直線x=±a,y=±b所圍成的定界矩形內(nèi)橢圓含于直線y=±a,x=±b所圍成的定界矩形內(nèi)對 稱 性橢圓關(guān)于標準坐標系的坐標軸對稱，也關(guān)于原點呈中心對稱中 心橢圓的對稱軸的交點，即標準坐標系的原點頂 點對稱軸與橢圓的四個交點，即圖中的A,B,C,D長、短軸長軸為x軸上線段AB, 短軸為y軸上線段CD長軸為y軸上線段AB短軸為x軸上線段CD長、

20、短半軸長(長、短半軸)稱長軸頂點間距離AB=2a為長軸長，a為長半軸長；稱短軸頂點間距離CD=2b為短軸長，b為短半軸長焦點、焦距及半 焦 距焦點位于x軸上,焦點坐標為F1(c,0),F2(-c,0);焦距為2c,半焦距為c；c=焦點位于y軸上,焦點坐標為F1(0,c),F2(0,-c);焦距為2c,半焦距為c；c=離 心 率ee=, (0<e<1), e越接近0, 橢圓越接近圓準線方程x=, x= -y=, y= - 注意，所謂橢圓的長軸，就是位于焦點所在軸的兩個頂點之間的線段，短軸則是位于另一軸兩個頂點之間的線段，焦點總是在長軸上在標準方程(7-4-4),(7-4-5)中，我們

21、總認為a>b，所以也可以說長半軸長為a，短半軸長為b至于長軸是在x軸上還是在y軸上，要取決于標準方程的具體形式，具體些說，取決于x2, y2項的分母哪個大我們不加證明地直接給出了準線方程(其實證明也不難，你可以自己動手證明一下)，從方程可見，它們是垂直于長軸的直線，且因為c<a，所以準線在定界矩形之外(見圖7-66(1) 橢圓的作圖 有了橢圓的標準方程，可以用描點法作出它的比較精確的圖象，但是比較麻煩因為橢圓圖象有固定的特征：是一個壓扁了的圓，因此如果作圖要求不太高，可以用下面簡便的方法作出它的草圖：先根據(jù)橢圓方程的標準方程(7-4-4)或(7-4-5)標出四個頂點；然后過這四個頂

22、點作坐標軸的平行線，得到橢圓的定界矩形，再用曲線將四個頂點連成一個橢圓畫圖時要注意橢圓的對稱性及頂點附近的平滑性 例1 求下列橢圓的頂點、焦點坐標、長軸、短軸的長、離心率及準線方程，并畫出草圖： (1)+=1； (2)2x2+y2=32； 解 (1)由已知標準方程得x圖7-68(1)y-3-3···O· a2=10, b2=9, c2=a2-b2=1，即 a=, b=3, c=1故橢圓的四個頂點分別是 (,0), (-,0), (0,3), (0,-3)； 長軸長2a=2，短軸長2b=6； 因為x2項的分母大于y2項的分母，所以焦點在x軸上，故兩個焦點分

23、別是(1,0), (-1,0)； 離心率e=； 準線方程x=±=±10沒有畫出準線的草圖見圖7-68(1) x圖7-68(2)y44-4···O·-4 (2)化方程為標準方程+=1， a2=32, b2=16, c2=a2-b2=16，即 a=4, b=4, c=4故橢圓的四個頂點分別是 (0, 4), (0,- 4), (4,0), (-4,0)； 長軸長2a=8，短軸長2b=8； 因為y2項的分母大于x2項的分母，所以焦點在y軸上，故兩個焦點分別是(0,4), (0,-4)； 離心率e=； 準線方程y=±=±8

24、沒有畫出準線的草圖見圖7-68(2) 比較一下兩張圖，可以發(fā)現(xiàn)第二題的橢圓比第一題的橢圓要扁一些，你可以從兩個離心率的比較得到印證課內(nèi)練習31. 求下列橢圓的頂點、長軸長、短軸長、焦距、離心率及準線方程，并畫出草圖： (1)+=1； (2)25x2+y2-25=0 (2)雙曲線的標準方程及幾何性質(zhì) 雙曲線的標準方程x圖7-69(1)yPF2·F1··OA·B·2ab2cCD 按定義，雙曲線是到兩個定點(即雙曲線的焦點)F1,F2的距離差為常數(shù)的動點的軌跡，設(shè)F1F2=2c，距離差為2a,(a<c)以直線F1F2為x軸，線段F1F2的中點為

25、原點建立坐標系如圖7-69(1)，則焦點F1,F2的坐標為(c,0),(-c,0)記動點為P(x,y)，據(jù)定義應(yīng)有 |PF1-PF2|=2a，即 |=2a，以下如同橢圓標準方程推導(dǎo)過程完全類似，得到方程 =1, (a>0, b>0) (7-4-6)其中 b2=c2- a2 (7-4-7) 如果以直線F1F2為y軸，則焦點F1,F2的坐標為(0, c),(0, -c)，方程成為 =1, (a>0, b>0) (7-4-8)x圖7-69(2)yPF2·F1··OA·B·2ab2cCD其中的b還是以(7-4-8)表示，此時軌跡

26、曲線、即雙曲線的圖象成為圖7-69(2) 稱以上述兩種不同方式建立的坐標系為標準坐標系，而相應(yīng)得到的方程(7-4-6),(7-4-8)為雙曲線的標準方程 標準方程中的系數(shù)a是雙曲線與焦點所在的坐標軸的兩個交點間的距離之半，那么b是什么呢？改寫(7-4-7)為 c2=a2+b2，可見b是這么一條線段：邊長為2a,2b的矩形的對角線長，正好等于2c，在圖7-69中，我們已經(jīng)畫出了這個矩形，稱這個矩形為雙曲線的定界矩形在圖7-69(1)情況，矩形四角頂點坐標是(a,b),(-a,b),(-a,-b),(a,-b)，其兩條對角線方程為 =0，=0 (7-4-9)在圖7-69(2)情況，矩形四角頂點的坐

27、標則變?yōu)?b,a),(-b,a),(-b,-a),(b,-a)，其兩條對角線方程為 -=0，=0 (7-4-9)¢這兩組方程，只要令標準方程的左邊等于0，再分解因式，分別令兩個因子等于0就能得到你即將看到，這兩組對角線在雙曲線中起著重要作用 雙曲線的幾何性質(zhì) 從雙曲線的標準方程和圖象，立即可以得到它的一些幾何性質(zhì)，我們同樣列在表中xyF2F1··OA·B·CD標準方程=1, (a>0, b>0)=1, (a>0, b>0)xyF2F1··OA·B·CD圖象定界矩形由直線x=

28、7;a, y=±b圍成由直線y=±a, x=±b圍成漸近線=0=0無界性雙曲線位于直線x=±a外側(cè)，向x軸兩頭開口, 兩端無限延伸且無限靠近漸近線 雙曲線位于直線y=±a外側(cè)，向y軸兩頭開口, 兩端無限延伸且無限靠近漸近線對稱性以x軸、y軸為對稱軸，以原點為對稱中心實軸虛軸雙曲線與x軸相交, 稱x軸上線段AB為實軸, 其長2a為實軸長, a為實半軸長; y軸上線段CD為虛軸, 其長2b為虛軸長, b為虛半軸長.雙曲線與y軸相交, 稱y軸上線段AB為實軸, 其長2a為實軸長, a為實半軸長; x軸上線段CD為虛軸, 其長2b為虛軸長, b為虛半軸

29、長.頂 點稱雙曲線與(實軸所在的)x軸的交點A,B為其頂點, 頂點坐標A(a,0),B(-a,0)稱雙曲線與(實軸所在的)y軸的交點A,B為其頂點, 頂點坐標A(0,a),B(0,-a)焦 點交點在(實軸所在的)x軸上, 坐標為F1(c,0),F2(-c,0), c=交點在(實軸所在的)y軸上, 坐標為F1(0,c),F2(0,-c), c=離心率e=,e>1,e越大, 雙曲線張口越開準線方程x=, x= -y=, y= - 注意，雙曲線問題中，判斷實軸在哪個坐標軸至關(guān)重要，因為焦點、頂點都在這根軸上，雙曲線的開口方向也是向著這根軸給出焦點坐標或給出頂點坐標，即可確定實軸所在的坐標軸非零

30、坐標的同名軸；給出了雙曲線的標準方程，也能立即判定正系數(shù)變量的同名軸準線方程與橢圓是相同的，它們垂直于實軸，且因為c>a，因此準線應(yīng)該在兩個頂點之間(見圖7-66(2) 例2 求以下列方程給出的雙曲線的實軸、虛軸所在的坐標軸、實半軸長、虛半軸長、離心率、頂點坐標、焦點坐標、定界矩形、漸近線及準線： (1)x2-=1； (2)=-1； (3)y2-x2=-2 解 (1)由標準方程得a=1,b=2, c= 因x2項系數(shù)為正，所以實軸在x軸上，虛軸在y軸上；實半軸長=a=1，虛半軸長=b=2，離心率e=； 頂點在x軸上，坐標為(1,0),(-1,0)；焦點也在x軸上，坐標為(,0),(-,0)

31、； 定界矩形由直線x=1, x=-1, y=2, y=-2圍成； 令x2-=0，分解因式，得漸近線方程：x+=0, x-=0； 準線方程為x=±=±，即x=± (2)改寫方程為標準方程：=1得a=3, b=4, c=5 因y2項系數(shù)為正，所以實軸在y軸上，虛軸在x軸上；實半軸長=a=3，虛半軸長=b=4，離心率e=； 頂點在y軸上，坐標為(0,3),(0,-3)；焦點也在y軸上，坐標為(0,5),(0,-5); 定界矩形由直線x=4, x=-4, y=3, y=-3圍成； 令=0，分解因式，得漸近線方程：=0, =0； 準線方程為y=±=± (

32、3) 改寫方程為標準方程：=1得a=b=, c=2 因x2項系數(shù)為正，所以實軸在x軸上，虛軸在y軸上；實半軸長=虛半軸長=，離心率e=； 頂點在x軸上，坐標為(,0),(-,0)；焦點也在x軸上，坐標為(2,0),(-2,0)； 定界矩形由直線x=, x=-, y=, y=-圍成； 令=0，分解因式，得漸近線方程：=0，即x+y=0,x-y=0(第,象限分角線和第,分角線)； 準線方程為x=±=±1 其中第(3)題的雙曲線有特點：長軸長與短軸長相等，稱這種雙曲線為等軸雙曲線等軸雙曲線的兩條漸近線，恰好是第,象限分角線和第,分角線，且準線方程必定是x=±1或y=&#

33、177;1課內(nèi)練習41. 求以下列方程給出的雙曲線的實軸、虛軸所在的坐標軸、實半軸長、虛 半軸長、離心率、頂點坐標、焦點坐標、定界矩形及漸近線： (1) =1； (2)5x2-y2=-20； (3) -x2+y2=-4 雙曲線的作圖 已知雙曲線的標準方程，可以用描點法作出它的精確圖象就作出其草圖而言，雙曲線的漸近線使我們可以以較少的點就能辦到 第一步 據(jù)標準方程的系數(shù)，畫出定界矩形及其兩條對角線； 第二步 確定實軸所在軸，標出頂點和焦點； 第三步 取虛軸所在軸坐標=b，則實軸所在軸坐標=a，標出該點P1 (即坐標為(a,b)若實軸在x軸上，或(b,a)若實軸在y軸上的點P1)； 第四步 光滑連

34、接頂點、P1，使連線在頂點處與定界矩形的邊相切，接著一邊延伸一邊與對角線之一無限靠近如此得到雙曲線的半支； 第五步 關(guān)于實軸所在的坐標軸作對稱，得雙曲線的一支，再關(guān)于虛軸對稱，得到雙曲線全部圖象x圖7-70(1)yF2·F1P1O·211-2··· 圖7-70(1)(2)(3)就是根據(jù)上述步驟作出的例2中各雙曲線的草圖x圖7-70(2)yF2F1P1O···-443-3··x圖7-70(3)yF2·F1P1O···· -課內(nèi)練習51. 求作課內(nèi)練

35、習4中各雙曲線的草圖 (3)拋物線的標準方程及幾何性質(zhì) 拋物線的標準方程 拋物線是到一個定點(即焦點)F和定直線(即準線)l距離相等的動點的軌跡，建立拋物線方程實際上是求滿足條件的軌跡方程x圖7-71(1)y·O·lFP- 以過焦點F、垂直于準線l的直線為x軸、以垂足與定點間的線段的中點為原點，建立坐標系如圖7-71(1)記焦點到準線的距離為p(p>0)，則準線方程為x=-，焦點坐標為(,0)動點P(x,y)到準線的距離為|x+|，到焦點的距離為，令兩者相等，得 x+=兩邊平方、移項整理后得 y2=2px (p>0) (7-4-10)x圖7-71(4)y

36、3;O·lFP-x圖7-71(3)y·O·lFP-x圖7-71(2)y·O·lFP 當然你也能把準線放在原點的右邊，或者把過焦點、垂直于準線的直線作為y軸，因此還有如圖7-71(2)(3)(4)幾種可能情況此時推出的方程，依次寫在圖的下面 y2=-2px(p>0) x2=2py(p>0) x2=-2py(p>0)所有這些方式建立的坐標系都稱為標準坐標系，而導(dǎo)出的拋物線方程的四種形式，也都稱為標準方程 對標準方程本身的識別問題方面，特別提醒你注意幾點： ¨標準方程的形式，左邊是一個變量的平方項，其系數(shù)為1，右邊是另一個

37、變量的一次方，其系數(shù)為±2p(p>0)；其中p為拋物線的焦點到準線的距離； ¨在標準坐標系中，焦點位于一次方變量的同名軸上；焦點坐標的兩個分量，與一次方變量同名的分量是一次方項系數(shù)的，另一個分量為0； ¨準線方程是一次方同名變量等于一次方項系數(shù)的的相反數(shù)； ¨為了求焦點坐標或準線方程，你首先應(yīng)把所給方程化為標準方程 通觀三種圓錐曲線的標準方程，它們有一個公共的特點：方程中必定出現(xiàn)變量的二次方項因此在很多書中，稱圓錐曲線為二次曲線 例3 求下列拋物線的焦點F的坐標及準線l方程： (1)y2=4x； (2)x2+3y=0； (3) x=- y2； (4

38、)4x2=-y； (5)5y2=-3x 解 (1)由已知標準方程y2=4x，得焦點F(1,0)；準線l：x=-1 (2)化方程為標準方程x2=-3y，得焦點F(0,-)；準線l：y= (3)化方程為標準方程y2=-x，得焦點F(-,0)；準線l：x= (5) 化方程為標準方程y2=-x，得焦點F(-,0)；準線l：x= 課內(nèi)練習61. 求下列拋物線的焦點F坐標及準線l方程： (1)x2=4y； (2)x2-20y=0； (3)y2=-5x； (4) x=10y2； (5)3x2+y=0 拋物線的幾何性質(zhì) 從拋物線的標準方程和圖象，立即可以得到它的一些幾何性質(zhì)，這些性質(zhì)集中列在下面的表中xyOl

39、F-·xy·OlF-標準方程y2=2px,(p>0)y2=-2px,(p>0)x2=2py,(p>0)x2=-2py,(p>0)xyOlF-·xyOlF-·圖象位置特征及無界性拋物線位于y軸右側(cè)，開口向右，并向右上方和右下方無限延伸拋物線位于y軸左側(cè)，開口向左，并向左上方和左下方無限延伸拋物線位于x軸上側(cè)，開口向上，并向右上方和左上方無限延伸拋物線位于x軸下側(cè)，開口向下，并向右下方和左下方無限延伸對稱性以x軸為對稱軸以y軸為對稱軸頂點以坐標原點為頂點焦點F(,0)F(-,0)F(0,)F(0,-)準線方程x=-x=y=-y=離心率

40、e=1 你可以按照下面的規(guī)律來記憶標準方程的形式：一次方項與對稱軸(焦點所在軸)同名；一次方項的系數(shù)等于焦點非零坐的4倍 例4 在標準坐標系中，已知拋物線以y軸為對稱軸，且焦點到準線的距離是3，求其標準方程 解 因為拋物線的對稱軸為y軸，故可設(shè)其標準方程為x2=±2py, (p>0)，焦點到準線的距離為p，據(jù)已知條件得p=3所以滿足條件的拋物線為下列兩條：x2=6y或x2=-6y 課內(nèi)練習71. 在標準坐標系中，已知拋物線的焦點坐標為(-4,0)，求其標準方程 拋物線的作圖 橢圓以離心率e的大小影響其扁圓程度，雙曲線也以離心率e的大小影響其張口的大小，拋物線的離心率e總是1，那

41、么以什么來影響其“胖瘦”呢？當然只有系數(shù)p了。例如拋物線y2=2px，以直線x=1與之相交，交點的縱坐標y=±，因此p越大，|y|越大，拋物線也·1xO圖7-72y·1 y2=2xy2=x就越胖，反之則越瘦(見圖7-72，圖中畫的拋物線是y2=x和y2=2x)即當p較小時拋物線較“瘦”；當p較大時拋物線則較“胖” 由于拋物線的圖象不像橢圓那樣有章可循是一個壓扁了的圓，也不像雙曲線那樣有漸近線可靠近，x圖7-73(1)y·O·lFP11-1·P2因此要想得到其比較精確的圖象，不得不選比較多的點，然后用描點法如果圖象的要求不太高，你可以用

42、下面的方法得出簡圖：求出過焦點、垂直于對稱軸的直線與拋物線的兩個交點P1, P2坐標(例如拋物線方程為y2=2px時，P1 (, p), P2(,-p)；光滑連接原點(即頂點)和P1,P2，并注意關(guān)于對稱軸對稱，在原點處與非對稱軸的另一坐標軸相切 例5 求下列拋物線的焦點F的坐標，并作出其草圖： (1)x2=-4y； (2)2y2-3x=0 解 (1)x2=-2´2y，p=2，焦點F(0,-1) 拋物線的對稱軸為y軸，向下開口特征點P1(2,-1), P2(-2,-1)，草圖見圖7-73(1) x圖7-73(2)y·O·lFP2·P1 (2)y2=2&#

43、180;x，p=, 焦點F(,0) 拋物線的對稱軸為x軸，向右開口特征點P1(,)，P2 (,-)，草圖見圖7-72(2) 課內(nèi)練習81. 求下列拋物線的焦點F坐標，并作出其草圖： (1)x2=10y； (2) y2+5x=0 3. 據(jù)已知條件求圓錐曲線的標準方程 (1)據(jù)已知條件求橢圓、雙曲線的標準方程 無論是橢圓還是雙曲線，要確定其標準方程，都可以通過下列步驟解決 第一步 判斷焦點在哪根坐標軸上或長軸(實軸)在哪根坐標軸上，由此可設(shè)定標準方程的形式，為下列四種之一： =1，=1，=1，=1；若不能確定焦點所在軸，則應(yīng)同時寫出兩個方程(問題可能有兩解)； 第二步 由題目中關(guān)于a,b的已知條件

44、得出關(guān)于a,b的方程組，或由題目中關(guān)于a,b,c的已知條件及關(guān)系式a2=b2+c2(橢圓情況)或c2=a2+b2(雙曲線情況)，得出關(guān)于a,b,c的方程組； 第三步 解上述方程組，求得a2,b2； 第四步 代入已知形式的方程中，得到標準方程 例6 求適合下列條件的橢圓的標準方程： (1)長軸長為4，短軸長為2，長軸在x軸上； (2)焦距為6，離心率為 解 (1)因為長軸在x軸上，故設(shè)所求的橢圓標準方程為=1,(a>b>0)由題意知2a=4,2b=2，即a2=4,b2=2，故所求的標準方程為 +=1 解之得a2=25, b2=16，故所求的標準方程為 (2)因為不能確定橢圓的焦點是在

45、哪根坐標軸上，故應(yīng)設(shè)所求的橢圓標準方程為=1或=1,(a>b>0)由已知條件及a2=b2+c2，可得方程組： 2c=6, =, a2=b2+c2， +=1 或 +=1 例7 求適合下列條件的雙曲線的標準方程： (1)焦點在y軸上，虛軸長為2，焦距為8； (2)離心率e=2，兩頂點相距為2 解 (1)因為焦點在y軸上，故可設(shè)所求的標準方程為=1, (a>0,b>0)據(jù)已知條件及c2=a2+b2，得方程組 2b=2, 2c=8, 解之得a2=15, b2=1， c2=a2+b2，故所求的雙曲線的標準方程為=1 (2)因為不能確定雙曲線的焦點在哪根坐標軸上，故設(shè)所求的標準方程

46、為 =1，=1, (a>0,b>0) 由已知條件及c2=a2+b2，可得方程組 =2, 2a=2, 解之得a2=2, b2=6， c2=a2+b2，故所求的標準為=1或=1 課內(nèi)練習91. 求適合下列條件的橢圓的標準方程： (1)短軸長為8，離心率為，焦點在x軸上； (2)焦距為8，長軸長與短軸長之和為162. 求適合下列條件的雙曲線的標準方程： (1)實軸長為10，虛軸長為8； (2)頂點在x軸上，焦距是16，離心率e= 例8 (1)動點到兩個定點的距離和為10，定點之間距離為6，以定點組成線段的中點為原點，定點連線為x軸，求動點的軌跡方程； (2)已知定點A(0,-2),B(0

47、,2)，求到這兩個定點的距離和為12的點的軌跡 解 (1)據(jù)橢圓定義知軌跡是以定點焦點的橢圓，坐標系為標準坐標系 2a=10，2c=6，b=4；因為定點連線為x軸，所以長軸在x軸上，故所形成的橢圓的標準方程是+=1 (2)由橢圓的定義可知，所求軌跡為一以A,B為焦點的橢圓 因為焦點在y軸上，且關(guān)于原點對稱，所以可設(shè)它的方程為 =1,(a>b>0)由已知條件及a2=b2+c2，可得方程組： 2a=12, c=2, 解之得a2=36, b2=32， a2=b2+c2，故所求的軌跡方程為+=1 課內(nèi)練習101. 動點到兩個定點的距離和為2，定點之間距離為1，以定點組成線段的中 點為原點，

48、定點連線為y軸，求動點的軌跡方程2. 已知P(0,-2),Q(0,2)，求到這兩個點的距離差為2的點的軌跡方程 例9 若在標準坐標系中的橢圓過下列兩個點，求其方程： (1)A(0,-3),B(2,0)； (2)C(-2,),B(,-) 解 (1)由橢圓的幾何性質(zhì)可知，橢圓是以坐標軸為對稱軸的，以標準方程表示的橢圓，只有頂點的坐標才會有一個分量為0，因此A,B分別是橢圓在y軸上和x軸的頂點，由此可知，橢圓長半軸長a=3，短半軸長b=2，且長軸在y軸上所以橢圓方程為+=1 (2)設(shè)橢圓方程為+=1,(m>0,n>0) (1) 點C,D在橢圓上，它們的坐標應(yīng)滿足方程，所以 +=1, +=

49、1，解之，得m2=8, n2=4，所以所求橢圓的標準方程為+=1 注意，從第(2)題給定的條件，在求得方程之前難以判定焦點在哪根坐標軸上，此時可設(shè)所求的橢圓方程為(1)那樣的“中性”形式，以避免分焦點在x軸、y軸兩種情況討論的麻煩 例10 求適合下列條件的雙曲線的標準方程： (1)經(jīng)過點A(6,), B(-5,0)；(2)經(jīng)過點P(-3, 2), Q(-6,-7) 解 (1)因為B的y坐標為0，所以B是雙曲線與x軸的交點由雙曲線的性質(zhì)，這個交點是雙曲線的頂點，因此雙曲線的實軸在x軸，且實半軸長a=5故可設(shè)雙曲線的標準方程為=1，即=1 以點A的坐標代入，得=1，解得b2=25故所求雙曲線為等軸

50、的，其標準方程為 =1 (2)據(jù)已知條件無法確定焦點所在的坐標軸，故設(shè)方程為 -=1, (m,n¹0且同號，即mn>0) 點P和點Q在雙曲線上，以它們的坐標代入方程，得 -=1, -=1，解之得 m=-75,n=-25，所以所求雙曲線方程為 -+=1，即-=1 課內(nèi)練習111. 求在標準坐標系中適合下列條件的橢圓方程： (1)經(jīng)過點A(-3,0),B(0,-2)； (2)經(jīng)過點C(-,1),D(,-)2. 求在標準坐標系中適合下列條件的雙曲線方程： (1)經(jīng)過點A(2,3),B(0,5)； (2)經(jīng)過點C(2,-1),D(4,) 例11 求與橢圓2x2+7y2=70共焦點，且一

51、個頂點的坐標為(0,-6)的橢圓的標準方程 解 把已知橢圓的方程化為標準方程：+=1，可見已知橢圓的焦點在x軸上，半焦距=5，因此所求橢圓的焦點也在x軸上，且c=5 (0,-6)為橢圓在y軸上的頂點(0,±b)之一，故b=6；a2=b2+c2=36+25=71 故所求橢圓的標準方程為+=1 例12 求適合下列條件的雙曲線的標準方程： (1)頂點在x軸上，焦距為4，漸近線之一的方程為3x-2y=0； (2)一條準線的方程為y=-2，半焦距為3； (3)以橢圓+=1的焦點為頂點，且以該橢圓在y軸上的頂點為焦點 解 (1)因為頂點在x軸上，所以可設(shè)所求雙曲線的標準方程為=1, (a>0,b>0)，它的兩條漸近線方程為=0，即y=±x 改寫已知漸近線方程為y=x，可知=；又因為2c=4,c2=a2+b2，故可得方程組 =, 2c=4, 解之，得a2=16,b2=36 c2=a2+b2，故所求雙曲線的標準方程為=1 (2)因為準線y=-2垂直于y軸，所以實軸在y軸上，故設(shè)所求的雙曲線方程為 =1,(a,b>0)據(jù)已知條件可得方程組 c=3, -=-2， 解之，得a2=6, b2=3故雙曲線方程為=1 c2=a2+b2，·xO圖7-74