DSP_03離散時(shí)間信號(hào)-差分方程

1、線性常系數(shù)差分方程Linear Constant Coefficients Difference EquationLesson 32022-3-92復(fù)習(xí)提問(wèn)l如何判斷周期序列？l什么響應(yīng)反映了系統(tǒng)的特性？l從哪兩個(gè)方面來(lái)理解h(n)？l離散卷積的四個(gè)步驟是什么？2022-3-93線性常系數(shù)差分方程線性常系數(shù)差分方程Linear Constant Coefficients Difference Equation線性非移變系統(tǒng)可以用下列常系數(shù)差分方程來(lái)描述線性非移變系統(tǒng)可以用下列常系數(shù)差分方程來(lái)描述其中其中 稱為差分方程或稱為差分方程或系統(tǒng)的階次系統(tǒng)的階次。引入單位延遲算子引入單位延遲算子 ，即，

2、即 ，于是上述差分方程，于是上述差分方程可以寫為：可以寫為：MrrNkkrnxbknya00ND 1nynDy MrrrNkkknxDbnyDa002022-3-941.求系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)，響應(yīng)形式與系統(tǒng)的齊次解相同，由系統(tǒng)初始求系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)，響應(yīng)形式與系統(tǒng)的齊次解相同，由系統(tǒng)初始條件確定齊次解中的待定系數(shù)。條件確定齊次解中的待定系數(shù)。2.求系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)。求系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)。3.系統(tǒng)的完全響應(yīng)為零輸入響應(yīng)與零狀態(tài)響應(yīng)之和。系統(tǒng)的完全響應(yīng)為零輸入響應(yīng)與零狀態(tài)響應(yīng)之和。線性常系數(shù)差分方程線性常系數(shù)差分方程Linear Constant Coefficients Difference Equ

3、ation求解下列線性非移變系統(tǒng)的差分方程可以按照以下求解下列線性非移變系統(tǒng)的差分方程可以按照以下3步進(jìn)行。步進(jìn)行。MrrNkkrnxbknya002022-3-951.零輸入響應(yīng)的求解零輸入響應(yīng)的求解 Zero Input Response首先寫出齊次方程首先寫出齊次方程 Homogeneous Equation00Nkkknya得到特征方程得到特征方程 Characteristic Equation00NkkNkpaN個(gè)特征根個(gè)特征根 Characteristic RootsNipi, 2 , 1,2022-3-961.零輸入響應(yīng)的求解零輸入響應(yīng)的求解 Zero Input Respons

4、e零輸入響應(yīng)就是下面齊次解的形式零輸入響應(yīng)就是下面齊次解的形式 Homogeneous Solution 11221NnnnnzirkkNNkynC pC pC pCp若特征根有重根，比如設(shè)若特征根有重根，比如設(shè) 為為 重根，則解的形式為重根，則解的形式為1pm nNNnmnmnmmmmzirpCpCpCpCnCnCnCny3221112211上式中上式中 為待定系數(shù)，由系統(tǒng)給定的初始條件求出。為待定系數(shù)，由系統(tǒng)給定的初始條件求出。NkCk, 2 , 1,2022-3-971.零輸入響應(yīng)的求解零輸入響應(yīng)的求解 Zero Input Response例例 2.6 求以下系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)求以下系統(tǒng)

5、的零輸入響應(yīng)解：特征方程：解：特征方程： 12123NnnnzirkkkynC pCC nnzirny32 5162000,11y ny ny nyy0652 pp特征根特征根3, 221pp所以：所以：代入初始條件代入初始條件 得到得到 01, 00yy1, 121CC所以系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)為：所以系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)為：2022-3-982.零狀態(tài)響應(yīng)的求解零狀態(tài)響應(yīng)的求解 Zero State Response前面介紹卷積運(yùn)算時(shí)，我們已經(jīng)知道，系統(tǒng)的響應(yīng)是輸入前面介紹卷積運(yùn)算時(shí)，我們已經(jīng)知道，系統(tǒng)的響應(yīng)是輸入和系統(tǒng)的單位取樣響應(yīng)之間的卷積，實(shí)際上，這部分響應(yīng)和系統(tǒng)的單位取樣響應(yīng)之間的卷積，實(shí)際

6、上，這部分響應(yīng)是系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)，即，是系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)，即，系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)是輸入和單系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)是輸入和單位取樣響應(yīng)之間的卷積。位取樣響應(yīng)之間的卷積。即即 knhkxnhnxnykzsr下面主要討論系統(tǒng)的下面主要討論系統(tǒng)的單位取樣響應(yīng)單位取樣響應(yīng) 的求解，我們只的求解，我們只討論系統(tǒng)的特征根為單根的情況。討論系統(tǒng)的特征根為單根的情況。 nh2022-3-992.零狀態(tài)響應(yīng)的求解零狀態(tài)響應(yīng)的求解 Zero State Response用延遲算子重寫系統(tǒng)的差分方程：用延遲算子重寫系統(tǒng)的差分方程：所以有：所以有：令令 ，則有：，則有： MrrrNkkknxDbnyDa00 NMnxDpADp

7、ADpAnxDaDbnyNkkkMrrr設(shè)22221100111 nnx NiiNNnhnDpAnDpAnDpAnh12211111其中其中 nupAnDpDpAnDpAnhniiiiiiii2211所以所以 NiniiNiinupAnhnh112211iiiiiAAp Dp Dp D( )()kDnnk2022-3-9102.零狀態(tài)響應(yīng)的求解零狀態(tài)響應(yīng)的求解 Zero State Response例例2.7 設(shè)一個(gè)因果線性非移變系統(tǒng)由下列差分方程描述設(shè)一個(gè)因果線性非移變系統(tǒng)由下列差分方程描述求系統(tǒng)的求系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)單位階躍響應(yīng) Unit Step Response。解：系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)

8、是零狀態(tài)情況下，系統(tǒng)在單位階解：系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)是零狀態(tài)情況下，系統(tǒng)在單位階躍函數(shù)躍函數(shù) 作用下的響應(yīng)，首先令作用下的響應(yīng)，首先令 得到得到 nxnynyny2213 nu nnx nnhnhnh2213 nnhDnDhnh223 nununDDnDDnhnnn12122112122311122022-3-9112.零狀態(tài)響應(yīng)的求解零狀態(tài)響應(yīng)的求解 Zero State Response解解(續(xù)續(xù))：所以系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)為：所以系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)為 nunnnununuknukuknukunununxnhnynnnkknkkkkn3212121212121212210101112022-3

9、-912遞推法例例2.8 設(shè)一個(gè)因果線性非移變系統(tǒng)由下列差分方程描述設(shè)一個(gè)因果線性非移變系統(tǒng)由下列差分方程描述用遞推法求系統(tǒng)的用遞推法求系統(tǒng)的單位取樣響應(yīng)單位取樣響應(yīng) Unit Sample Response解：把原方程寫成遞推形式，并令解：把原方程寫成遞推形式，并令 ，則有，則有 nnhanh1 nxnyany1 nnx2022-3-913遞推法根據(jù)因果系統(tǒng)規(guī)定的初始條件遞推如下根據(jù)因果系統(tǒng)規(guī)定的初始條件遞推如下 nuanhnannhanhahahahahhahnnhnn，或表示為，0,121210110100022022-3-914差分方程表示 第二項(xiàng)第一項(xiàng)MrrNkkrnxabknyaa

10、ny0010線性非移變系統(tǒng)的差分方程可以重寫出如下形式線性非移變系統(tǒng)的差分方程可以重寫出如下形式(1) 當(dāng)上式第一項(xiàng)存在時(shí)，系統(tǒng)的單位取樣響應(yīng)是無(wú)限長(zhǎng)當(dāng)上式第一項(xiàng)存在時(shí)，系統(tǒng)的單位取樣響應(yīng)是無(wú)限長(zhǎng)的，這種系統(tǒng)稱為無(wú)限沖激響應(yīng)的，這種系統(tǒng)稱為無(wú)限沖激響應(yīng)(Infinite Impulse Response)系統(tǒng)，簡(jiǎn)稱為系統(tǒng)，簡(jiǎn)稱為IIR系統(tǒng)系統(tǒng)或或IIR濾波器濾波器。2022-3-915差分方程表示(2) 當(dāng)上式第一項(xiàng)不存在時(shí)，系統(tǒng)的單位取樣響應(yīng)是有限長(zhǎng)當(dāng)上式第一項(xiàng)不存在時(shí)，系統(tǒng)的單位取樣響應(yīng)是有限長(zhǎng)的，這種系統(tǒng)稱為有限沖激響應(yīng)的，這種系統(tǒng)稱為有限沖激響應(yīng)(Finite Impulse Resp

11、onse)系統(tǒng)，簡(jiǎn)稱為系統(tǒng)，簡(jiǎn)稱為FIR系統(tǒng)系統(tǒng)或或FIR濾波器濾波器。令。令 ，可，可得系統(tǒng)的沖激響應(yīng)為得系統(tǒng)的沖激響應(yīng)為 nnx 其它，0, 2 , 1 , 0,0Mnabnhn2022-3-916用用MATLAB解線性常系數(shù)差分方程解線性常系數(shù)差分方程 MATLAB信號(hào)處理工具箱中提供的信號(hào)處理工具箱中提供的filter函數(shù)，可以函數(shù)，可以實(shí)現(xiàn)線性常系數(shù)差分方程的遞推解法，調(diào)用格式如下：實(shí)現(xiàn)線性常系數(shù)差分方程的遞推解法，調(diào)用格式如下： y=filter(b,a,x,xi); 其中其中x是輸入信號(hào)向量，是輸入信號(hào)向量，b和和a是系統(tǒng)差分方程的系數(shù)矩陣，是系統(tǒng)差分方程的系數(shù)矩陣，即即b=b0

12、,b1,bM和和a=a0,a1,aN，a0=1。xi是和初是和初始條件有關(guān)的向量，用函數(shù)始條件有關(guān)的向量，用函數(shù)xi=filtic(b,a,ys,xs)得到，其得到，其中中ys和和xs是初始條件向量，即是初始條件向量，即ys=y(-1),y(-2),.，xs=x(-1),x(-2),.。如果是因果序列，則。如果是因果序列，則xs=0。 用函數(shù)用函數(shù)filter(b,a,x,xi)計(jì)算輸出計(jì)算輸出y，如果和輸入信號(hào)，如果和輸入信號(hào)和系統(tǒng)的初始狀態(tài)有關(guān)，稱為系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)。如果和系統(tǒng)的初始狀態(tài)有關(guān)，稱為系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)。如果系統(tǒng)的輸入條件為零，就默認(rèn)系統(tǒng)的輸入條件為零，就默認(rèn)xi=0，調(diào)用格式為

13、，調(diào)用格式為y=filter(b,a,xi)。 2022-3-917用用MATLAB解線性常系數(shù)差分方程解線性常系數(shù)差分方程 例例2.12 用用MATLAB計(jì)算差分方程計(jì)算差分方程 當(dāng)輸入序列為當(dāng)輸入序列為x(n)= (n) 時(shí)的輸出結(jié)果時(shí)的輸出結(jié)果y(n),0 n 30 。 )3(02. 0)2(36. 0) 1(44. 0)(8 . 0)3(6 . 0)2(45. 0) 1(7 . 0)(nxnxnxnxnynynyny2022-3-918用用MATLAB解線性常系數(shù)差分方程解線性常系數(shù)差分方程 解解 MATLAB程序如下：程序如下： N=31; b=0.8 -0.44 0.36 0.22

14、; a=1 0.7 -0.45 -0.6; x=1 zeros(1,N-1); k=0:1:N-1; y=filter(b,a,x); stem(k,y) xlabel(n);ylabel(輸出輸出y(n) 2022-3-919用用MATLAB解線性常系數(shù)差分方程解線性常系數(shù)差分方程051015202530-1-0.500.511.5n輸出y(n)2022-3-920用用MATLAB解線性常系數(shù)差分方程解線性常系數(shù)差分方程 例例2.13 用用MATLAB計(jì)算差分方程計(jì)算差分方程 當(dāng)輸入為當(dāng)輸入為x(n)= (n)，初始條件，初始條件y(-1)=1 ，求輸出結(jié)果，求輸出結(jié)果y(n),0 n 30。)() 1(8 . 0)(nxnyny2022-3-921用用MATLAB解線性常系數(shù)差分方程解線性常系數(shù)差分方程 解解 MATLAB程序如下：程序如下： N=31; a=1 -0.8;ys