拓撲空間、開集、閉集、閉包、聚點、鄰域

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上第一章 拓撲空間與拓撲不變量數(shù)學(xué)分析中的連續(xù)函數(shù)的定義與和值域都是歐氏空間（直線、平面或空間）或是其中的一部分。本章將首先把連續(xù)函數(shù)的定義域和值域的主要特征抽象出來用以定義度量空間，將連續(xù)函數(shù)的主要特征抽象出來用以定義度量空間的連續(xù)映射。然后將兩者再度抽象，給出拓撲空間和拓撲空間之間的連續(xù)映射。隨后逐步提出拓撲空間的一些基本問題如鄰域、開集、閉集、閉包、聚點、導(dǎo)集、內(nèi)部、邊界、序列、極限等。進一步引入緊致性、連通性、可數(shù)性與分離性等重要的拓撲不變性§1.1拓撲空間、開集、閉集、聚點、閉包、鄰域一、問題的引入數(shù)學(xué)分析里我們知道，在連續(xù)函數(shù)的定義中只涉及距離這個

2、概念，定義域是一維歐氏空間,即實數(shù)空間，兩點之間的距離d(x,y)=|x-y|,即兩兩實數(shù)之差的絕對值,定義域是n維歐氏空間，兩點x=(x1 ,x2,，xn),Y=(y1,y2,，yn) 之間的距離d(x,y)= 。無論是幾維空間，它的距離都有下面的性質(zhì)： 1. d(x,y)0 , x,y ; 2. d(x,y) = 0 x = y ; 3. d(x,y) = d(y,x) x,y ; 4. d(x,z) d(x,y) + d(y,z) , x,y,z ;這些性質(zhì)反映了距離的特征。將推廣為一般的集合，我們由距離可以抽象出度量以及度量空間的定義。（一 ） 度量空間1. 定義定義1 設(shè)X是一個集合

3、，：X×XR ,如果對于任何x,y,zX,有（正定性）（x,y）0 并且 (x,y) = 0 x = y ； （對稱性） (x,y) = (y,x) ；（三角不等式） (x,z) (x,y) + (y,z) 則稱是集合X中的一個度量。 如果 是集合X中的一個度量，則稱偶對（X，）是一個度量空間，或徑稱X是一個度量空間。而（x,y）稱為從點X到點Y的距離。2. 度量空間舉例例2.1.1 實數(shù)空間R對實數(shù)集合，定義：R×RR如下：x,yR，令（x,y）=|x-y| ,易知是R的一個度量。因此（R,）是一個度量空間?？梢姡攘靠臻g是實數(shù)空間的推廣，度量是距離的推廣。例2.1.1

4、n維歐式空間對實數(shù)集合R的n重笛卡爾積=R×R××R，定義：×R如下：對任意兩點x=(x1 ,x2,，xn),Y=(y1,y2,，yn) ，令（x,y）= ，可以驗證是的一個度量，偶對（，）稱為n維歐氏空間。有時徑稱為n維歐氏空間。n=2時，常稱為歐氏平面或平面。例2.1.2 Hilbert空間H記H是平方收斂的所有實數(shù)序列構(gòu)成的集合，即H= x=(x1 ,x2,，xn) | xi R, iZ+ , ,定義：H×HR如下：對于任意x=(x1 ,x2,，xn),Y=(y1,y2,，yn) H，令（x,y）= 。這個定義的合理性及驗證以及驗證是H的

5、一個度量，可見P49 附錄。因此（H, ） 是一個度量空間，稱為Hilbert空間。例2.1.3 離散的度量空間設(shè)（X, ）是一個度量空間，稱（X, ）是一個離散的度量空間或稱是一個離散的度量，如果對每一個xX,存在一個實數(shù)使得（x,y）> ,對任何yX，y x成立。如，設(shè)X是一個集合，定義：X×XR ,使得對于任何x,yX,有 , 易知 是X的一個離散度量，度量空間（X, ）是離散的。思考題例2.1.5 令X= C (a,b) = f: a,bR |f在a,b上連續(xù)，并且對于任意的f , g C (a,b),令d(f,g)= , d是C (a,b)的度量嗎？ （答案： d是C

6、 (a,b)的度量，因此（C (a,b)，d）是一個度量空間）3. 鄰域、開集 度量空間的球形鄰域及其基本性質(zhì)定義2. 設(shè)（X, ）是一個度量空間，xX, 對于任意的>0，B（x, ）=yX |（x,y）< 稱為以x為中心，為半徑的球形鄰域，也稱為x的一個鄰域，也記作B(x) 。定理1.0.1 度量空間（X, ）的球形鄰域具有以下性質(zhì)： 每一點xX至少有一鄰域，并且x屬于它的每一個鄰域； 對于點xX的任意兩個球形鄰域，存在x的一個球形鄰域同時包含于兩者； 如果yX屬于x的某個球形鄰域，則y有一個球形鄰域包含于x的那個球形鄰域。證明： 度量空間的開集及其基本性質(zhì)定義3. 設(shè)X是一個度

7、量空間，AX，如果，使B(a, ) X ，則稱A是X的一個開集。由定理2.1.1的知，X的球形鄰域都是開集。例2.1.7 實數(shù)空間R中的開區(qū)間都是開集，而半開半閉區(qū)間、閉區(qū)間都不是開集。兩個開區(qū)間的并也是開集?？梢姡攘靠臻g的開集是實數(shù)空間開區(qū)間的推廣。定理1.0.2 度量空間X的開集具有以下性質(zhì)： 集合X本身和空集都是開集； 任何兩個開集的交是開集； 任何一個開集族的并是開集。證 推論 U是度量空間的開集的充分必要條件是U是這個空間中若干個球形鄰域的并。 度量空間中點x的鄰域-球形鄰域的推廣定義4. 設(shè)X是一個度量空間， xX,UX，如果存在開集V使xV U ，則稱U是x的一個鄰域。注： 有

8、定義可知，開集V是它的每一點的鄰域，但鄰域卻不一定是開集。如0，2是1 的鄰域，但它不是開集。定理1.0.3 設(shè)X是一個度量空間，xX,UX，則U是x的一個鄰域存在B(x,) U。證明： 本定理為鄰域提供了一個等價說法。推論 X是一個度量空間， UX， 則U是X的一個開集U是其內(nèi)每一點的鄰域。證 由定義2.1.3和定理2.1.3 。（二 ） 度量空間之間的連續(xù)映射定義5 設(shè)X和Y是兩個度量空間，f：XY，以及x0X，如果對于f (x0)的任何一個球形鄰域B(f(x0),)，存在x0的某一個球形鄰域B(x0，)使得f (B(x0，) B(f(x0),)，則稱映射f在x0 處是連續(xù)的。如果映射f

9、在X的每一點連續(xù)，則稱f 是一個連續(xù)函數(shù)。顯然這個定義是數(shù)學(xué)分析中連續(xù)函數(shù)定義純粹形式上的推廣。定理1.0.4 設(shè)X和Y是兩個度量空間，f：XY，則 f在x0 點處連續(xù) f (x0)的每一個鄰域的原像是x0的一個鄰域； f 是連續(xù)的 Y中每個開集的原像是 X中的開集。證明： “”若f在x0 點處連續(xù)，設(shè)U為f (x0) 的一個鄰域，據(jù)TH2.1.3，有B(f(x0),) U，因為f在x0 點處連續(xù)，所以存在B(x0，)使得f (B(x0，) B(f(x0),)，然而f-1 B(f(x0),) f-1(U)，而B(x0，) f-1 B(f(x0),)，所以B(x0，) f-1(U)，這

10、說明f-1(U)是 x0的一個鄰域 。“” 設(shè)f (x0)的每一個鄰域的原像是x0的一個鄰域，任給f (x0) 的一個鄰域B(f(x0),)，則f-1 B(f(x0),)是x0的一個鄰域，據(jù)TH2.1.3，x0有一個球形鄰域B(x0，) f-1 B(f(x0),)，因此f B(x0，) B(f(x0),)，所以f在x0 點處連續(xù)。 “”設(shè)f連續(xù)，令V為Y中一開集，U= f-1(V),對于每一個xU，則f(x) V，由于V是開集，所以V是f(x)的一個鄰域，由于f 在每一點x連續(xù)，故由知U是x的一個鄰域，由上面的推論知，U是開集?！啊痹O(shè)Y中每個開集的原像是 X中的開集，下證f 在任一點

11、xX連續(xù)。設(shè)U是f(x)的一個鄰域，即存在開集V使f(x) VU，從而x f-1(V) f-1(U),由條件f-1(V) 是 X中的開集，所以f-1(U) 是x的一個鄰域，于是中必要條件成立。所以f 在點xX連續(xù)。由于x的任意性，所以f 是連續(xù)映射。 二、拓撲空間、開集、閉集參照度量空間中開集的基本性質(zhì)（TH1.1.2） 建立拓撲空間定義1.1.1 設(shè)X是一個集合，T 是X的一個子集族，如果T 滿足如下條件： X ,T ； 若A,BT ，則ABT ； 若T 1 T ，則 。則稱T是X的一個拓撲。若T是X的一個拓撲，則稱偶對（X, T ）是一個拓撲空間，或稱集合X是相對于拓撲T 而言的

12、拓撲空間；或T 不需指出時，徑稱集合X是一個拓撲空間。T 中每一個元素叫做拓撲空間（X, T ）或X中的一個開集；開集的補集稱為閉集。說明： 條件蘊含著：當(dāng)n > 1時若A1 ，A2 ， ， An T ,則A1A2 An T 。（但對無限交不一定成立，見后面的例） 、兩條常被稱為關(guān)于有限交、無限并封閉； 當(dāng)T 1 =時，, 這一點在中已有規(guī)定，因此以后驗證成立只需對T 1 驗證即可； 有拓撲空間的定義和度量空間開集的基本性質(zhì)知，度量空間都是拓撲空間。關(guān)于這一點還有下面的定義：定義1.1.2 設(shè)（X, ）是度量空間。令T 是由X中的所有開集構(gòu)成的集族，據(jù)TH1.0.2，T 是X的一個拓撲。

13、我們稱T為X的由度量誘導(dǎo)出來的拓撲。約定：說度量空間（X, ）的拓撲時，如果沒有另外說明，就指T ，稱其為拓撲空間時就指（X, T） 。 因此，實數(shù)空間R，n維歐氏空間Rn (特別，歐氏平面R2),Hilbert空間H都可以叫做拓撲空間，其拓撲就是其各自的通常度量誘導(dǎo)出來的拓撲。在實數(shù)空間中，（）是開集，但不是開集。這說明無限個開集的交不一定是開集。定理1.1.1 設(shè)X是一個拓撲空間，記F 為所有閉集構(gòu)成的集族。則： X,F ； 如果A,BF ，則A,BF ； 如果F 1 F ，則 。證明 由于X,T ，所以=X，X=F 。 當(dāng)A,BF 時，有 A,BT ，從而ABT ，因此AB = AB=（

14、AB）F 。 令T 1 =A |AF 1 ,于是T 1 T ，因此，從而 。證畢。注： 蘊含著，n>1時，A1，A2，An 是閉集，則A1A2An 也是閉集。即閉對有限并封閉； 中要求F 1，因為F 1 =時， 無意義。例1. 平庸空間設(shè)X是一個集合，令T =X ,，容易驗證T是X的一個拓撲，稱為X的平庸拓撲，稱 （X，T ）為平庸空間。在平庸空間中，有且只有兩個開集：X ,；有且只有兩個開集：X ,。 例2.離散空間設(shè)X是一個集合，令T =P (X)，易知T是X的一個拓撲，稱為X的離散拓撲，稱（X，T ）為離散空間。在離散空間中，每一個子集都是開集，每一個子集都是開集。離散空間可以記作

15、（X，P (X)） 。例3. 設(shè)X=a,b,c,令T = ,a ,a,b,X ,可以驗證T是X的一個拓撲，因此（X，T ）為一個拓撲空間。它既不是平庸拓撲，又不是離散拓撲。說明： 對X=a,b,c，可以為其構(gòu)造出29個拓撲，其中平庸拓撲最小，離散拓撲最大。可見對同一個集合，它可以有不同的拓撲。例4.有限補拓撲空間設(shè)X是一個集合，令T =U X | U' 是X的一個有限子集 。易驗證T是X的一個拓撲，稱其為X的有限補拓撲，（X，T ）稱為有限補拓撲空間。下面驗證T 滿足拓撲定義中的成立 設(shè)T 1 T ，若T 1 = ，則 T ；若存在A0, A0T 1 ,則是X的有限子集，所以 T 。所

16、以成立。問題：當(dāng)X是一個有限集合時，X 的有限補拓撲空間又是已知的什么拓撲空間 ？例5. 可數(shù)補拓撲空間設(shè)X是一個集合，令T =U X | U' 是X的一個可數(shù)子集 。易驗證T是X的一個拓撲，稱其為X的可數(shù)補拓撲，（X，T ）稱為可數(shù)補拓撲空間。（課下驗證）問題：當(dāng)X是一個可數(shù)集合時，X 的可數(shù)補拓撲空間又叫做什么拓撲空間 ？（離散拓撲空間） 。當(dāng)X是有限時，與什么空間是同一個空間？（有限拓撲空間）三、鄰域與鄰域系、聚點、導(dǎo)集，閉集，閉包1. 鄰域鄰域系的定義 定義1.1.3 設(shè)（X,T ）是一個拓撲空間，xX,U X,如果存在開集VT使得xV U ，則稱U是x的一個鄰域。點x的所有鄰

17、域構(gòu)成的集族稱為點x的鄰域系。由定義，若U是包含x的開集，那么它一定是x的一個鄰域，稱U是點x的一個開鄰域。說明：由于X的子集A是X作為度量空間的開集與A是X作為拓撲空間的開集是一回事，所以包含x的集合U是X作為度量空間x的鄰域U是X作為拓撲空間x的鄰域。定理1.1.2 X是一個拓撲空間， UX， 則U是X的一個開集U是其內(nèi)每一點的鄰域。證明：“”顯然?！啊?若U =，則結(jié)論成立。若U ，由條件對每一個xU，存在開集Vx 使xVxU ，因此，所以 為開集。推論 U是X的一個開集 U可以表示為開鄰域之并。2. 導(dǎo)集，閉集，閉包的概念定義1.1.4 設(shè)X是拓撲空間，AX，xX，如果對x的每一個鄰域

18、U都有U(A-x),則稱點x是集合A的一個聚點。集合A的所有聚點構(gòu)成的集合稱為A的導(dǎo)集，記作d(A)。如果xA，并且x不是A的凝聚點，既存在x的一個鄰域U使得U(A-x)=，則稱點x是集合A的一個孤立點。集合A與A的導(dǎo)集d(A)的并Ad(A)稱為集合A的閉包，記作或。即= Ad(A) 。說明 (1)A的孤立點一定的屬于A，但A的極限點不一定屬于A；(2)凝聚點、孤立點、導(dǎo)集都是相對于X的某個拓撲而言的，它與拓撲有關(guān)。因此在談這些問題時一般都需要明確是相對于那個拓撲來說的。同時也可知：(3) 歐氏空間中有關(guān)這幾個概念的結(jié)論在一般拓撲空間中不見得的成立。(4)若Ad(A)，則稱 A為自密集，若A=

19、d(A)，則稱A為完全集。若d(A)A=，則稱A為孤立點集。(5)在離散空間中，由于d(A)=，既沒有任何極限點，所以任何子集都是閉集。（我們已知任何子集是開集）。而在平庸空間中，d(x。)=X-x。，若A多于一個點，則d(A)=X，所以在平庸空間中任何真子集都不是閉集3. 導(dǎo)集，閉集，閉包的性質(zhì)定理1.1.3 設(shè)X是一個拓撲空間AX，則d()= 若AB，則d(A)d(B)d(AB) =d(A)d(B) d(d(A)Ad(A)證明 由于對于每一點xX和點x的任何一個鄰域U有U(-x)=,所以xd(),因此d()= 。 如果xd(A),U是x一個鄰域,由于U(A-x),所以U(B-x)，因此xd

20、(B)。這證明了d(A) d(B) 。 據(jù)及A,B AB得知d(A)，d(B) d(AB)，所以d(A)d(B) d(AB)，下證d(AB) d(A)d(B) 。設(shè)xd(AB)，則對x的任何一個鄰域U有U(AB -x)，即U(A-x)(B-x)= U(A-x)U(B-x)，所以U(A-x)或U(B-x)，所以xd(A)或xd(B)，所以xd(A)d(B)，所以d(AB) = d(A)d(B) 。 設(shè)x Ad(A)，則 xA 且 xd(A) ，所以存在x的一個鄰域U 使U(A-x)= ，任意選取x的一個開鄰域V，使得VU ，這是我們也有V(A-x)= ,由于xA ，所以VA =，這也就是說，V中

21、的任何一個點都不是A中的點，因此對于任何yV，有V(A-y)=,由于V是y的一個鄰域，因此y不是A的凝聚點，即yd(A) 。這說明V中沒有A的任何一個凝聚點。于是x有一個鄰域V與A的導(dǎo)集d(A) 無交，即Vd(A)=，所以V（d(A)-x）=，所以 xd(d(A) 。將以上給出的論證概括起來便是：只要x Ad(A)，便有xd(d(A)，這就是說d(d(A)Ad(A) 。證畢。 注：d(d(A) d(A) ， d(A) d(d(A)。定理1.1.4 設(shè)X是一個拓撲空間，AX，則A是閉集d(A)A。證明 “”設(shè)A是閉集，則A'是開集，如果xA，則xA'，則A'是x的一個鄰域

22、，它滿足條件：AA'=，因此xd(A)。于是我們有d(A)A。“”設(shè)d(A)A。如果xA' ，則xA，所以xd(A)，由聚點的定義x有一個鄰域U使U(A-x)=，從而UA=，也即U A'，這證明，對于任何xA'，A'是x的一個鄰域，因此A'是開集。 定理1.1.5 拓撲空間X的子集A是閉集 。證 A為閉集 d(A) A Ad(A)=A,即 。定理1.1.6 X是拓撲空間，對于任意的集合A,BX ，有 ； ； ； 證明 用到 d(AB) =d(A)d(B) 和d(d(A)Ad(A)定理1.1.7 拓撲空間X的任何一個子集A的閉包都是閉集。定理1.1

23、.8 設(shè)X是拓撲空間，F(xiàn) 是由空間X中所有的閉集構(gòu)成的族，則對于X的每個子集A，有 。即集合A的閉包等于包含A的所有閉集之交。證明 由于A包含于 ，然而后者是一閉集，所以；另一方面，因為是閉集，并且 ，所以 ，所以 。說明 因是包含A的閉集，而由定理，又包含于任何一個包含A的閉集之中。因此我們有結(jié)論：一個集合的閉包是包含著這個集的最小閉集。定理1.1.4 設(shè)X是一個拓撲空間，AX，則 ； ，由可得。一個令人關(guān)心的問題是，是否拓撲空間真的要比度量空間的范圍更廣一點？ 換句話說，是否每一個度量空間都可以由某一個度量誘導(dǎo)出來？定義2.2.3 設(shè)（X，T ）是拓撲空間。如果存在X的一個度量使得拓撲T就

24、是由誘導(dǎo)出來的拓撲T ，則稱（X，T ）是一個可度量化空間。注： 是否每一個拓撲空間都是可度量化空間？ 回答是否定的。因為由§2.1習(xí)題2可知，每一個只含有限點的度量空間作為拓撲空間都是離散空間。然而一個平庸空間如果含有多于一個點的話，它肯定不是離散空間，因此它不是可度量的。例2.2.3給出的拓撲空間含三個點，但不是離散空間，就不是可度量化的； 由此看來，拓撲空間確實比度量空間范圍更廣； 拓撲空間在什么條件下可度量化？后面將由專門討論。二 拓撲空間之間的連續(xù)映射及同胚 1. 拓撲空間之間的連續(xù)映射及性質(zhì)定義2.2.4 設(shè)X、Y是兩個拓撲空間，f:XY ,如果Y中每個開集U的原像f-1

25、(U)是X中的一個開集，則稱f是從X到Y(jié)的一個連續(xù)映射，或簡稱映射f連續(xù)。問題：常值映射連續(xù)嗎？連續(xù)。可見連續(xù)映射不一定是一一映射。注 設(shè)X、Y是兩個度量空間，f:XY連續(xù)。由于視X,Y為拓撲空間時，其開集與X,Y作為度量空間時的開集一樣，所以由該定義和Th2.1.4知，X,Y都作為拓撲空間時，f:XY也連續(xù)?？梢娡負淇臻g的連續(xù)是度量空間之間連續(xù)的推廣。定理2.2.1 設(shè)X、Y、Z是拓撲空間，則 恒同映射iX：XX是一個連續(xù)映射； 如果f:XY 連續(xù)，g:YZ連續(xù)，則g。f：XZ也連續(xù)。證明 如果U是X的一個開集，則=U,當(dāng)然也是X的開集，所以iX連續(xù)。 設(shè)f:XY 連續(xù)，g:YZ連續(xù)，設(shè)W是

26、Z的開集,由于g 連續(xù)，所以g-1(W)是Y中開集；又因為f連續(xù)，所以f-1g-1(W)是X中的開集。因此（g。f）-1（W）=f-1g-1(W)是X中的開集。這證明g。f連續(xù)。2. 拓撲空間之間的同胚及性質(zhì)在數(shù)學(xué)的許多學(xué)科中都涉及兩類基本對象。例如在線性代數(shù)中我們考慮線性空間和線性變換，在群論中我們考慮群和同態(tài)，在集合論中我們考慮集合與映射，在不同的幾何學(xué)中考慮各自的圖形和各自的變換等等。并且對于后者都要提出一類予以重視，例如線性代數(shù)中的（線性）同構(gòu)，群論中的同構(gòu)，集合論中的一一映射，以及初等幾何中的剛體運動（即平移加旋轉(zhuǎn)）等等，我們現(xiàn)在已經(jīng)提出了兩類基本對象，即拓撲空間和連續(xù)映射。下面將從

27、連續(xù)映射中挑出一類予以關(guān)注。這就是同胚映射。定義2.2.5 設(shè)X和Y都是拓撲空間，如果f:XY是一個一一映射，并且f和f-1 都連續(xù)，則稱f是一個同胚映射或同胚。注： 直觀上說，f連續(xù)表示不撕裂， f-1 連續(xù)表示不粘連。f:XY是一個同胚，表示X到Y(jié)不撕裂、不粘連。 映射f是一一映射，一定連續(xù)嗎？不見得連續(xù)。如，設(shè)f:QZ+ 是一一映射（因為有從QZ+的單射，也有從Z+Q的單射，據(jù)定理1.7.9有這樣的一一映射f）若取Q的拓撲為平庸拓撲，Z+的拓撲為離散的拓撲，則f不連續(xù)。 連續(xù)的一一映射一定同胚嗎？不一定。如，令X=Rn ,取它的拓撲為離散拓撲，Y= Rn ,取它的拓撲為通常度量誘導(dǎo)的拓撲

28、。映射是連續(xù)的、一一的，但不連續(xù)。在Y中是閉集。所以不是同胚。定理2.2.2 設(shè)X、Y、Z是拓撲空間，則 恒同映射iX：XX是一個同胚； 如果f:XY是一個同胚，則f-1： YX也是一個同胚； 如果f:XY 和g:YZ都是同胚，則g。f：XZ也是一個同胚。證明：（以下證明中的根據(jù)，可見定理2.2.1，定理1.5.3，定理1.5.4） 恒同映射iX 是一個一一映射，并且iX =iX-1 都是連續(xù)的，從而iX 是一個同胚。 設(shè)f:XY是同胚，因此f是一個一一映射，并且f和f-1都是連續(xù)的。 于是f-1也是一個一一映射并且f-1和(f-1)-1=f也都連續(xù)，所以f-1： YX也是一個同胚。 如果f:

29、XY 和g:YZ都是同胚，因此f和g是一個一一映射,并且f和f-1,，g和g-1 都是連續(xù)的，因此g。f也是一一映射，并且g。f和（g。f）-1 = f-1 。g-1 都是連續(xù)的，所以g。f：XZ也是一個同胚。 定義2.2.6 設(shè)X、Y是拓撲空間，如果存在一個同胚f:XY，則稱拓撲空間X與拓撲空間Y是同胚的，或稱X與Y同胚，或稱X同胚與Y 。 定理2.2.3設(shè)X、Y、Z是拓撲空間，則 X與X同胚； 若X與Y同胚,則Y與X也同胚； 若X與Y同胚,則Y與Z同胚,則X與Z也同胚。證明：從定理2.2.2直接可得。說明： 在拓撲空間組成的族中，同胚關(guān)系是一個等價關(guān)系。因此同胚關(guān)系將拓撲空間族分成互不相交的等價類，使得屬于同一類的拓撲空間彼此同胚，屬于不同類的拓撲空間彼此不同胚。 拓撲空間的某種性質(zhì)P，如果為某一拓撲空間所具有，則與其同胚的拓撲空間也具有，則稱性質(zhì)P是一個拓撲不變性質(zhì)或拓撲不變量。簡言之，拓撲不變性是同胚的拓撲空間都具有的性質(zhì)。例如后面將要討論的集合為開集、閉集、點集的閉包與導(dǎo)集、點