立體幾何大題訓練及答案

1、MCB1、如圖，正方形ABCD所在平面與平面四邊形ABEF所在平面互相垂直，ABE是等腰直角三角形，ABAE2,FAFE,AEF45(1)線段CD的中點為P,線段AE的中點為M,求證：PM/平面BCE；(2)求直線CF與平面BCE所成角的正切值.D解：（1）取AB的中點為N,連MN,PN則MNEB,PNBCP面PMN/面EBC,PM/平面BCE5分(2)先證出FE面EBC,8分FCE為直線CF與平面BCE所成角，1分tanFCE三亞1分EC6AB/DE , AC=AD=CD=DE=2 , AB =1 , O2、己知多面體ABCDE中，DE平面ACD,為CD的中點.(1)求證：AO平面CDE;(

2、2)求直線BD與平面CBE所成角的正弦值解：U)證明:=。為CD的中點*月。LCD.又。£J_平面？1CD,力Ou面HCD,，7分(!)取CE中點尸，連接BF、DF,由已知可得，AB/DE=-DE.2在中，OF胃DE且OF三LDE.2A四邊形乂NFO是平行四邊形.ABF/AOt由（I）知HF1平面COE.，8尸1。產(chǎn).=:DF1CJJ.DFJ平面UBE.(第19腮)AZDjBF就是直線BD與平面CBE所成希.12分在尸中，DFyfl*80=正，；*in/DS產(chǎn)=半即直線電 與平面CAE所成角的正弦值為平14分（此建證NDAF為所求用.方法較笠，酌情給分）3、如圖，在 ABC中,C 9

3、0 , AC BC 3a,點 P 在 AB 上，PEBC 交 AC 于E , PF AC交BC于F .沿PE將 APE翻折成 A' PE ,使平面 A' PE平面ABC ；沿PF將 BPF翻折成B'PF，使平面B'PF 平面ABC.（1）求證：（2）若 APB'C 平面 A'PE;2PB,求二面角A'PC解：(1)因為FC/PE,FC平面A'PE,所以FC/平面A'PE.因為平面A'PE平面PEC，且A'EPE,所以A'E平面ABC.2分同理，B'F平面ABC,所以B'FA'

4、E,從而B'F/平面A'PE.一分所以平面B'CF平面A'PE,從而B'C/平面A'PE.6分(2)因為ACBC3a,AP2BP,所以CEa,EA2a,PE2a,PC75a.8分過E作EMPC,垂足為M,連結AM.B（第20題）由（1）知A'E平面ABC，可得AEPC,所以PC面AEM,所以AMPC.所以A'ME即為所求二面角A'PCE的平面角，可記為12分在RtAPCE中，求得EM2-5J所以tan2aEM2、5a515分4、如圖,中點.DA平面ABC,ED平面BCD,DE=DA=AB=AC.BAC1200,M為BC(1

5、)求直線EM與平面BCD所成角的正弦值;(2)P為線段DM上一點，且APDM,求證：AP/DE.EDCM解：ED平面BCDEMD為EMDM為EM在平面BCD上的射影,與平面BCD所成角.QDA平面ABC,DAAB,DAAC,設ABa,又QDAABAC,DCDB在ABC中，QBAC120,BC<3a,又QM為BC中點，DM1-BMBC2-.3Ta5DMBC,，巳a.5分2(2)在RtEDM中，EMDE2DM72a.CMsinEMDDEEMa3-a2AB為BC中點,BCDA平面ABC,BCBC平面DAM.9分又AP平面DAM,又APDM,AP又ED平面BCD，BCAP,平面BCD.AP/DE

6、.11分13分14分5、如圖，已知ABCD是邊長為1的正方形，AF，平面ABCD(1)證明：BDXEF;(2)若AF=1,且直線BE與平面ACE所成角的正弦值,CE/AF,CEAF(1).為32，求的值.10解：（1）連結BD、AC,交點為O.ABCD是正方形，BD，AC2分.AF，平面ABCDAFXBD4分 BD，平面ACEF6分 BDXEF7分(2)連結OE,由(1)知，BD，平面ACEF,所以/BEO即為直線BE與平面ACE所成的角.10分.AF，平面ABCD,CE/AF,.CEL平面ABCD,CE±BC,2 ,BC=1,AF=1,貝UCE=,BE=%；12,BO=,2 .Rk

7、BEO中，sinBEOBO+述，13分BE2.1210因為1,解得4,15分36、如圖，在幾何體中，AA1平面ABC,ABBC,CC1AA1，ABBCAA12,BCC1,D,E分別是AB,AA1的中點.求證：BC1平面CDE;（2）求二面角EDCA的平面角的正切值解：（1）連接ACRiR交EC于點F,由題意知四邊形ACCRiRE是矩形，則F是ACRiR的中點，連接DF,D是AB的中點，DF是ABCRiR的中位線，BCR1R/DF,4分BCRiR平面EDC,DF平面EDC,BCRiR/平面CDE.(2)作AH，直線CD,垂足為H,連接HE, AARiRL平面ABC,AARiRXDC,CD,平面A

8、HE, CDXEH, AHE是二面角E-CD-A的平面角.11分D是AB的中點，在 BCD中,求得:AH =在 AEH中,tanAHE2.5AE 一 5AH V即所求二面角的正切值為7、如圖，已知平面 QBC與直線PA均垂直于Rt ABC所在平面，且PA AB AC ,(1)求證：PA /平面QBC ;(2)若PQ 平面QBC ,求CQ與平面PBC所成角的正弦值解：(1)證明：過點Q作QD BC于點D,平面 QBC，平面 ABC, QD平面ABC2分CBQA又 PA,平面ABCQD / PA,2 分又.QD 平面QBCPA / 平面 QBC(2) PQ 平面 QBC PQB PQC 90

9、76;,又. PB PC, PQ PQ PQB PQC . . BQ CQ 8分.點D是BC的中點，連結AD ,則AD BC AD 平面 QBC PQ / AD , AD QD.四邊形PADQ是矩形10分設 PA AB AC 2a得：PQ AD &a, PD 76a又.BC PA, BC PQ, BC 平面 PADQ,AH等于點B到CD的距離，從而平面PBC平面PADQ,過Q作QHPD于點H,則：QH平面PBC12QCH是CQ與平面PBC所成角2.2a23,QHa,CQBQJ6a,63QH2312sinQCHCQ363CQ與平面PBC所成角的正弦值為4214分8、如圖，在直三棱柱 AB

10、C AB1C1中,ABC是等腰直角三角形，ACB 900 ,側棱由已知可得£，24.，片尸兒”,乂"/潭產(chǎn)=，/AAi=2,D,E分別為CCi與AiB的中點，點E在平面ABD上的射影是ABD的重心.(1)求證：DE平面ACB;(2)求AiB與平面ABD所成角的正弦值.解I)期中點尸上.玷.所以耳齒形DEFC為平行四邊形則EOCE因為£/芯下面刃BC,FCc平面耳fiC,<II>過E作上月1DF子連結HR.所以,481平面。EFC. EH c平面口EH；AiJC=屋AFFB乂CFC1CD=C.CF.CDu平面DEFC.所以力RJ.EH.乂EHLOFJ)F

11、C國8=F,/IB,DF匚平面且肛所以E"J.平ill"3D.所以NEB”為川聲與平而4BQ所成能的平面角，IL分月為446D的重心.花，也比戶禮E尸=FH、FD=！F口=1所以得心=J5,丹尸一g,ev-tcr=JI/=£邱=S,B-F用sin工EBH=世=&.所以4日與川而ABD的底他的正弦值為坐.EBJ15分9、如圖，在側棱垂直于底面的三棱柱ABCAiBiCi中，底面4ABC為等腰直角三角形,/B=90°,D為棱BBi的中點。(1)求證：面DAiC,面AAiCiC；AA-(2)右一1V2,求二面角AAiDC的大小。ABPMDCD10、如圖，

12、在四棱錐 P-ABCD 中，PA，平面 ABCD , AB/CD , / DAB=90 ° , PA=AD=DC=1 ,工解；n r，w電融 的中反 市舟部叫點e.在站a臨I證.則上時也<出口前長!鼻鼻£行湛"比匚5；,0y.乂皿平由FSC廝以平面旗UL平面以口* J、.ft * V I濃pc中點,就 剛九西/%.從而用F面周口 匕4DE AB,CF AB, CF 33, EF FB 2 ,G 為 FB 的中點，設 AE t ,現(xiàn)將ADE, BCF分別沿DE,CF折起，使A、B兩點重合于點P ,得到多面體PEFCD .P(2)求直線MC與平面PAC所成角的余

13、弦值.CB11、如圖在梯形ABCD中，AB/DC , E、F是線段AB上的兩點，且AB=2 , M為PB的中點.一.閔邊率 cnEM為山胞i.1.，“r-,.-X-,3由心、CH0而品a再的片w證除一二；，網(wǎng)平而t取執(zhí)nr,yLACBC2AR 二一齪二女.破直線AH與平面JMC廓匾M的余弦僖為恒一怵以廣故加加直戊用C句不歸而C所疏用.改為磯At> PC= , MC=-產(chǎn)/靛小歌業(yè) 2222S(1)證明:MC平面 PAD;1MMifiiMkfa fa il briirirfari ri *.* t| J 方十(1)求證：PD 平面EGC；(2)當EG 面PFC時，求DG與平面PED所成角的

14、正切值.EF G BDi»se xv"zZXfG14分(1)證明：連接DF交EC于點M,連接MGM,G為中點PD/MG又PD面EGCMG面EGCPD平面EGC5分當EG面PFC時，EGPF又G為FB的中點,EFEP2,t27分過點G在平面PEF中作EP的垂線，垂足為N,連接DN.DE面PEF面PED面PEFGN面PEDGDN即為DG與平面PED所成角.11分321易求得GN,DN，所以DG與平面PED所成角的正切值為2212、如圖，在四邊形ABCD中，ABAD4,BCCDJ7,點E為線段AD上的一點.現(xiàn)將DCE沿線段EC翻折到PAC,使得平面PAC平面ABCE，連接PA,P

15、B.(1)證明：BD平面PAC；（2）若 BAD 60,且點E為線段AD的中點，求直線PE與平面ABCE所成角的正弦值解：（1）連接AC,ABAD4,BD交于點O,在四邊形ABCD中,BCCD7ABCADC,，DACBAC,.ACBD又.平面PAC平面ABCE,且平面PAC平面ABCE=ACBD平面PAC6分(2)如圖，過點P作AC的垂線，垂足為H,連接EH,EC并取AO中點F,連接EF,.平面PAC平面ABCE,且平面PAC平面ABCE=AC,PHACPH平面ABCE,PEH即為直線PE與平面ABCE的所成角，由（I）可知，ACBD,且AO2J3,CO<3,又PE2,PC<7，設

16、CHx,則有PH）7x2,EHVPFPHJx23又F為AO的中點，在RtEFH中，F(xiàn)H2V3x,EF1由勾股定理得，（2<3x）21x23,解得x4<3一2-一5EH73,PH典33直線PE與平面ABCE的所成角的正弦值即sinPEH EH PE 313、在三棱柱ABCA1B1C1中，AB=AC=AA1=2,平面ABC1，平面AA1C1C,ZAAiCi=ZBACi=60°,設AC1與AC相交于點O,如圖.(1)求證：BOL平面AA1C1C;(2)求二面角B1AC1A1的大小。晶SMGC為平行颯，明以皿的人第用以必二鳥£.44仃產(chǎn)6。二所以叼。為明三角曲同皿Mg也是磁三角旭而。為陽的中點，所以如UG,一一7分旦月0匚平面486，一面乎而必eq平面jg3面也0C,百EFQF u由面面期的性族定理如皿平面“CQ-f1)連結舊4交/其于？過E株以7/80交0%于廣,旌抵儂因為2W_L平面耳0UEF&quo