§14全稱量詞與存在量詞學(xué)案

1、§ 1.4 全稱量詞與存在量詞一、全稱量詞與存在量詞1.表示整體或全部的含義的量詞叫作全稱量詞,其形式為“所有”“每一個”“任何一個”“任意一條”“一切”等,通常用符號“”表示. 讀作“任意”.2.含有全稱量詞的命題,叫作全稱命題,它的一般形式可表示為“xM,p(x)”,其中M為給定的集合,p(x)是一個關(guān)于x的命題.3.表示個別或一部分的含義的量詞叫作存在量詞,其形式為“有些”“至少有一個”“有一個”“存在”等,通常用符號“”表示,讀作“存在”.4.含有存在量詞的命題叫作特稱命題,它的一般形式可表示為“xM,p(x)”,其中M為給定的集合,p(x)是一個關(guān)于x的命題.自我檢測：1.

2、判斷下列全稱命題的真假.(1)xR,f(x)=x2的值域是(0,+);(2)任意兩個面積相等的三角形是全等三角形;(3)所有函數(shù)的定義域都不是空集.答案:(1)因為x=0時,f(x)=0(0,+),所以此命題為假命題.(2)一個正三角形與一個直角三角形可以做到面積相等,但它們不是全等三角形.故此命題是假命題.(3)由函數(shù)的概念,可知此命題是真命題.2.判斷下列命題是否為特稱命題,并判斷其真假.(1)存在一個xR,使=0;(2)存在一組m、n的值,使m-n=1;(3)至少有一個集合A,滿足A1,2,3.解析:用特稱命題的概念來判定.要判定特稱命題“xM,p(x)”是真命題,只需在集合M中找到一個

3、x0,使p(x0)成立即可,如果在集合M中,使p(x)成立的元素不存在,那么它是假命題.答案:(1)是特稱命題.不存在xR,使=0成立,所以該命題是假命題.(2)是特稱命題.當m=4,n=3時,使m-n=1成立,所以該命題是真命題.(3)是特稱命題.存在A=3,使A1,2,3成立,所以該命題是真命題.小結(jié) 只需找到命題中滿足條件的一個元素就可以說明特稱命題是真命題,如果這樣的元素不存在,那么這個特稱命題就是假命題.練習(xí)：2.判斷下列命題是全稱命題還是特稱命題?并判斷其真假.(1)對數(shù)函數(shù)都是單調(diào)函數(shù);(2)至少有一個整數(shù),它既能被2整除,又能被5整除.(3)xx|x是無理數(shù),x2是無理數(shù);(4

4、)xx|xZ,log2x>0.答案:(1)全稱命題,真命題;(2)特稱命題,真命題;(3)全稱命題,假命題;(4)特稱命題,真命題.含有一個量詞的命題的否定5.全稱命題的否定是特稱命題.即全稱命題p: xM,p(x),它的否定非p:xM,非p(x).6.特稱命題的否定是全稱命題.即特稱命題p:xM,p(x),它的否定非p:xM,非p(x).自我檢測：判斷下列命題的真假,并寫出這些命題的否定.(1)三角形的內(nèi)角和為180°(2)每個二次函數(shù)的圖像都開口向下;(3)存在一個四邊形不是平行四邊形.解析:全稱命題的否定是特稱命題,特稱命題的否定是全稱命題.答案:(1)是全稱命題且為真命

5、題.命題的否定是:三角形的內(nèi)角和不全為180°,即存在一個三角形且它的內(nèi)角和不等于180°.(2)是全稱命題且為假命題.命題的否定是:存在一個二次函數(shù)的圖像開口不向下.(3)是特稱命題且為真命題.命題的否定是:所有的四邊形都是平行四邊形.小結(jié) 全稱命題p:xM,p(x),它的否定非p:xM,非p(x);特稱命題p:xM,p(x),它的否定非p:xM,非p(x),要注意形式上的變化.變式訓(xùn)練3.寫出下列命題p的否定:(1)p:所有能被5整除的整數(shù)的末位數(shù)字是0或5;(2)p:有的等腰三角形是直角三角形;(3)p:任意兩個等邊三角形都是相似的;(4)p:xR,x2+2x+2=0

6、.答案:(1)非p:存在一個能被5整除的整數(shù)的末位數(shù)字不是0或5;(2)非p:所有的等腰三角形都不是直角三角形;(3)非p:存在兩個等邊三角形,它們不相似;(4)非p:xR,x2+2x+20.基礎(chǔ)練習(xí)作業(yè)1.判斷下列命題的真假:(1)在平面直角坐標系中,任意有序?qū)崝?shù)對(x,y)都對應(yīng)一點P;(2)存在一個函數(shù),既是偶函數(shù)又是奇函數(shù);(3)每一條線段的長度都能用正有理數(shù)表示;(4)存在一個實數(shù),使等式x2+x+8=0成立;(5)有一個實數(shù)x,使x2+2x+3=0;(6)存在兩個相交平面垂直于同一直線;(7)有些整數(shù)只有兩個正因數(shù).解析:要判定全稱命題“xM,p(x)”是真命題,需要對集合M中每個

7、元素x,證明p(x)成立,如果在集合M中找到一個元素x0,使得p(x0)不成立,這個全稱命題就是假命題;判定特稱命題“xM,p(x)”是真命題,只需在集合M中找到一個元素x0,使p(x0)成立即可,如果在集合M中,使p(x)成立的元素x不存在,那么這個特稱命題就是假命題.答案:(1)在平面直角坐標系中,任意有序?qū)崝?shù)對(x,y)與平面內(nèi)的點P是一一對應(yīng)的關(guān)系,該全稱命題是真命題.(2)如函數(shù)f(x)=0,xR,它既是偶函數(shù)又是奇函數(shù),所以原特稱命題是真命題.(3)每一條線段的長度都能用正有理數(shù)表示,由平面幾何的知識可知它是正確的,所以原全稱命題是真命題.(4)因為x2+x+8=(x+)2+>

8、;0,所以使x2+x+8=0成立的x不存在.所以原特稱命題是假命題.(5)由于xR,x2+2x+3=(x+1)2+22,因此使x2+2x+3=0的實數(shù)x不存在,所以特稱命題“有一個實數(shù)x,使x2+2x+3=0成立”是假命題.(6)由于垂直于同一直線的兩個平面互相平行,不會相交,所以特稱命題“存在兩個相交平面垂直于同一直線”是假命題.(7)由于存在整數(shù)2只有兩個正因數(shù)1和2,所以特稱命題“有些整數(shù)只有兩個正因數(shù)”是真命題.2.判斷下列命題的真假:(1)xR,|x|+22; (2)x0,sinx>0;(3)xR,x2+3>0; (4)xN,x41;(5)xZ,x3<1; (6)x

9、Q,x2=3;(7)xR,x3-3x+2=0; (8)xR,x2+1=0.解析:要判定一個全稱命題是真命題,必須對限定集合M中的每個元素x,證明p(x)成立;判定全稱命題是假命題,只要能舉出集合M中的一個x=x0,使得p(x0)不成立即可,即舉出一個反例就行.要判定一個特稱命題是真命題,只要在限定集合M中,至少能找到一個x=x0,使p(x0)成立即可,否則,這個特稱命題是假命題.答案:(1)xR,總有|x|0,因而|x|+22,所以該全稱命題是真命題.(2)00,但sin0=0,所以sin0>0不成立,所以該全稱命題是假命題.(3)xR,x20,所以x2+33>0.所以x2+3&g

10、t;0.所以命題“xR,x2+3>0”是真命題.(4)由于0N,當x=0時,x41不成立,所以命題“xN,x41”是假命題.(5)由于-1Z,當x=-1時,能使x3<1,所以命題“xZ,x3<1”是真命題.(6)由于使x2=3成立的數(shù)只有±3,而它們都不是有理數(shù),因此,沒有任何一個有理數(shù)的平方能等于3,所以命題“xQ,x2=3”是假命題.(7)因為只有x=1或x=2時,滿足x2-3x+2=0,而不是xR,x2-3x+2=0成立,所以命題“xR,x2-3x+2=0”是假命題.(8)因為不存在一個實數(shù)x,使x2+1=0成立,所以命題“xR,x2+1=0”是假命題.7.寫出下列全稱命題的否定:(1)xR,x2+x+1>0;(2)xQ,x2+x+1是有理數(shù).解析:全稱命題的否定是特稱命題,即“xM,p(x)”的否定是“xM,非p(x)”.答案:(1)的否定是“xR,x2+x+10”;(2)的否定是“