立體幾何解答題的建系設(shè)點問題

1、立體幾何解答題的建系設(shè)點問題、基礎(chǔ)知識:Zj底面兩條線垂直)，(一)建立直角坐標(biāo)系的原則：如何選取坐標(biāo)軸1、z軸的選取往往是比較容易的，依據(jù)的是線面垂直，即z軸要與坐標(biāo)平面xOy垂直，在幾何體中也是很直觀的，垂直底面高高向上的即是，而坐標(biāo)原點即為z軸與底面的交點2、x,y軸的選?。捍藶樽鴺?biāo)是否易于寫出的關(guān)鍵，有這么幾個原則值得參考：(1)盡可能的讓底面上更多的點位于x,y軸上(2)找角：x,y軸要相互垂直，所以要利用好底面中的垂直條件(3)找對稱關(guān)系：尋找底面上的點能否存在軸對稱特點解答題中，在建立空間直角坐標(biāo)系之前，要先證明所用坐標(biāo)軸為兩兩垂直(即一個線面垂直這個過程不能省略。3、與垂直相關(guān)

2、的定理與結(jié)論：(1)線面垂直：如果一條直線與一個平面上的兩條相交直線垂直，則這條直線與該平面垂直兩條平行線，如果其中一條與平面垂直，那么另外一條也與這個平面垂直兩個平面垂直，則其中一個平面上垂直交線的直線與另一個平面垂直直棱柱：側(cè)棱與底面垂直(2)線線垂直(相交垂直)：正方形，矩形，直角梯形等腰三角形底邊上的中線與底邊垂直(三線合一)菱形的對角線相互垂直勾股定理逆定理：若AB2AC2BC2,則ABAC(二)坐標(biāo)的書寫：建系之后要能夠快速準(zhǔn)確的寫出點的坐標(biāo)，按照特點可以分為3類1、能夠直接寫出坐標(biāo)的點(1)坐標(biāo)軸上的點，規(guī)律：在哪個軸上，那個位置就有坐標(biāo)，其余均為0(2)底面上的點：坐標(biāo)均為x,

3、y,0,即豎坐標(biāo)z0,由于底面在作立體圖時往往失真，所以要快速正確寫出坐標(biāo)，強烈建議在旁邊作出底面的平面圖進行參考2、空間中在底面投影為特殊位置的點：如果Ax1,y1,z在底面的投影為Ax2,y2,0,那么x1x2,y1y2(即點與投影點的橫縱坐標(biāo)相同)由這條規(guī)律出發(fā)，在寫空間中的點時，可看下在底面的投影點，坐標(biāo)是否好寫。如果可以則直接確定了橫縱坐標(biāo)，而豎坐標(biāo)為該點到底面的距離。以上兩個類型已經(jīng)可以囊括大多數(shù)幾何體中的點，但總還有一些特殊點，那么就要用到第三個方法：3、需要計算的點 中點坐標(biāo)公式：Ax1,y1,z1,Bx2,y2,z2,則AB中點Mxx2,y1y2,z1一z2，圖中的H,I,E

4、,F等222中點坐標(biāo)均可計算 利用向量關(guān)系進行計算（先設(shè)再求）：向量坐標(biāo)化后，向量的關(guān)系也可轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)的關(guān)系，進而可以求出一些位置不好的點的坐標(biāo)，方法通常是先設(shè)出所求點的坐標(biāo)，再選取向量，利用向量關(guān)系解出變量的值1.如圖，在等腰梯形ABCD中，AB/CD,ADDCCB1,ABC600,AB=2,CF平面ABCD，且CF1,建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系并確定各點坐標(biāo)。（兩種方法）思路：本題直接有一個線面垂直，所以只需在平面ABCD找過C的相互垂直的直線即可。由題意，BCD不是直角。所以可以以其中一條邊為軸，在底面上作垂線即可構(gòu)造出兩兩垂直的條件，進而可以建立坐標(biāo)系方案一:（選擇BC為軸），連結(jié)AC可知A

5、DC120o在VADC中AC2AD2DC22AD|DCcosADC3AC8由ACV3,|BC1,ABC60o可解得AB2,ACB90oACBCQCF平面ABCDCFAC,CFBC以AC,CF,BC為坐標(biāo)軸如圖建系：B0,1,0,A.3,0,0,D黃，-,0,F0,0,122方案二（以CD為軸）A過C作CD的垂線CMQCF平面ABCDCFCD,CFCM以CD,CF,CM為坐標(biāo)軸如圖建系:（同方案一）計算可得：CM二國,AB223331A一，-,0,B一，一,0,D0,1,0,F0,0,122222.已知四邊形ABCD滿足八八1八AD/BC,BAADDC-BCa,E是BC中點，將2成VB1AE,使

6、得平面BAE平面AECD,F為BD中點VBAE翻折思路：在處理翻折問題時，首先要確定在翻折的過程中哪些量與位置關(guān)系不變，這些都是作為已知條件使用的。題在翻折時，VBAE是等邊三角形，四邊形AECD為60o的菱形是不變的，尋找線面垂直時，根據(jù)平面面AECD,結(jié)合VBAE是等邊三角形，可取AE中點M,則可證B'M平面AECD,再在四邊形組過M的垂線即可建系解：取AE中點M,連結(jié)B'MBAE平AECD找一_'_一QVBAE是等邊三角形BMAE平面BAE平面AECD_'_''BM平面AECD，連結(jié)DMBMME,BMQ四邊形AECD為60o的菱形VADE為

7、等邊三角形DMAEBM,MD,ME兩兩垂直如圖建系，設(shè)AB為單位長度11二A,0,0,E,0,0,D0,222'.F為BD中點3.如圖，在四棱柱ABCD-ABC1D1中，側(cè)棱A1A底面ABCD,ABAC,AB=1,AC=AA=2,AD=CD=J5,且點M和N分別為BC和D1D的中點。建立合適的空間直角坐標(biāo)系并寫出各點坐標(biāo)A,B1,C1,D1均可通過投影到底面得到橫縱坐標(biāo)，圖中識進行計算。解：Q側(cè)棱AA底面ABCDAAAB,A1AACQABACAB,AC,AA1MM同以AB,AC,AA1為軸建立直角坐標(biāo)系底面上的點：B0,1,0,C2,0,0由AD=CD=J5可得VADC為等腰三角形，若

8、PDPJAD2AP22D1,2,0可投影到底面上的點A0,0,2,B10,1,2,C12,0,2,D11,2,2因為M和N分別為B1c和D1D的中點1M1,-,1,N1,2,12綜上所述：B0,1,0,C2,0,0,D1,2,0,A0,0,2D點坐標(biāo)相對麻煩，可作出底面的平面圖再根據(jù)平面兒何知A為A-BAC中點，則DPACwC:,B0,1,2,C12,0,2,D11,2,2思路：由AA底面ABCD,ABAC可得AA1,AB,AC兩兩垂直，進而以它們?yōu)檩S建立坐標(biāo)系，本題中1M1,-,1,N1,2,12思路：本題建系方案比較簡單，AiD 平面ABC ,棱柱的高未知，進而無法寫出上底面點的豎坐標(biāo)；二

9、是問題可先將高設(shè)為h,再利用條件BA1 AC1求解;解：過D作AC的垂線DM , Q AD 平面ABCAD DC,AD DM ,而 DM DC以AiD,DC,DM為軸建立直角坐標(biāo)系A(chǔ) 0, 1,0 ,C 0,1,0 ,B 2,1,0 ,設(shè)高為第二個問題可以考慮利用向量計算得到。BACDDAAiCi則 A 0,0,h，設(shè) G x,y,zuuur 則ACuuuur0,2,0 ,ACix, y,zuuur 由ACuuuurACi可得：yB4 .已知斜三棱柱ABCAB1c1,BCA90o,ACBC2,A1在底面ABC上的射影恰為AC的中點D,又知BAAC，E為BB靠近點B的三等分點，建立適當(dāng)?shù)目臻g直角

10、坐標(biāo)系并確定各點坐標(biāo)進而AiD作z軸，再過D引AC垂線即可。難點有二：一是三Bi的投影不易在圖中作出（需要擴展平面ABC）,第一個C10,2,huuurBA 2, i,huuur ,ACi0,3,hBA ACiuur uuuuBAi ACi 0A0,0,.3,Ci0,2,%3設(shè) Bi x, y,、. 3uuuirABix,y,0uuu而 AB 2,2,0uuuir且ABiuurABB12,2,3綜上所述：A0,i,0,C0,i,0,B2,i,0,A0,0,.3,Ci0,2,.3,Bi2,2,.35 .如圖，在三柱ABCABiG中，H是正方形AAiBiB的中心，AA2j2,GH平面AABiB,G

11、H后,思路：C1H對于坐標(biāo)只有建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系并確定各點坐標(biāo)平面AABiB,從而CiH可作z軸，只需在平面AAiBiB找到過H的兩條垂線即可建系（兩種方案），UUirUUir解：方案一:（利用正方形相鄰邊垂直關(guān)系建系）如圖建系：則A I .2,0 ,A , 2,2,0 ,Bi 、2, .2,0B .2, .2,0 ,Ci 0,0, 5UUUr設(shè) C x, y, z，則 CiCx, y,z、.5UULTA1A- B2、2,0A0,UULT UUT由C1c AA可得:C 0, 2、.25綜上所述:A 亞,2,0 ,A、2,亞0 ,Bi,B亞 :2,0 ,C坐標(biāo)相對麻煩，但由C1cAA可以利用向量進行計算。Ci0,0,5,C0,2'.2,、5方案二：（利用正方形對角線相互垂直建系）如圖建系：由 A