三角形中做輔助線的技巧及典型例題

1、三角形中做輔助線的技巧口訣：三角形圖中有角平分線，可向兩邊作垂線。也可將圖對(duì)折看，對(duì)稱以后關(guān)系現(xiàn)。角平分線平行線，等腰三角形來添。角平分線加垂線，三線合一試試看。線段垂直平分線，常向兩端把線連。線段和差及倍半，延長(zhǎng)縮短可試驗(yàn)。線段和差不等式，移到同一三角去。三角形中兩中點(diǎn)，連接則成中位線。三角形中有中線，延長(zhǎng)中線等中線。一、由角平分線想到的輔助線口訣：圖中有角平分線，可向兩邊作垂線。也可將圖對(duì)折看，對(duì)稱以后關(guān)系現(xiàn)。角平分線平行線，等腰三角 形來添。角平分線加垂線，三線合一試試看。角平分線具有兩條性質(zhì)：a、對(duì)稱性；b、角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等。對(duì)于有角平分線的輔 助線的作法，一般有兩種。

2、從角平分線上一點(diǎn)向兩邊作垂線；利用角平分線，構(gòu)造對(duì)稱圖形（如作法是在一側(cè)的長(zhǎng)邊上截取短邊）。通常情況下，出現(xiàn)了直角或是垂直等條件時(shí)，一般考慮作垂線；其它情況下考慮構(gòu)造對(duì)稱圖形。至于 選取哪種方法，要結(jié)合題目圖形和已知條件。與角有關(guān)的輔助線則有件。平分DA=D（一）、截取構(gòu)全等如圖1-1 , / AOCW BOC如取 OE=OF并連接 DE OE國(guó) OFD從而為我們證明線段、角相等創(chuàng)造了條例1. 如圖 1-2, AB/CD , BE 平分/ BCD CE /BCD 點(diǎn) E在 AD上，求證：BC=AB+CD例2. 已知：如圖 1-3, AB=2AC / BAD玄 CAD B,求證 DCL AC例3

3、.已知：如圖 1-4,在 ABC中，/ C=2/ B,AD平分/ BAC 求證：AB-AC=CD分析：此題的條件中還有角的平分線，在證明中還要全等三角形，此題還是證明線段的和差倍分問題。用到的來證明的，在長(zhǎng)的線段上截取短的線段，來證明。試試看的延長(zhǎng)來證明呢?練習(xí)是截取法可否把短用到構(gòu)造=AC已知在 ABC中，AD平分/ BAC / B=2/ C,求圖1-4證：AB+BD2.已知：在 ABC中，/ CAB=2/ B, AE平分/ CAB交 BC于 E, AB=2AC 求證：AE=2CE3.4.已知：D是4ABC的/ BAC的外角的平分線 AD上的任一點(diǎn)，連接 DB DG求證:BD+CD>A

4、B+A C已知：在 ABC中，AB>AC,AM/ BAC的平分線， M為AD上任一點(diǎn)。求證： BM-CM>AB-AC（二）、角分線上點(diǎn)向角兩邊作垂線構(gòu)全等過角平分線上一點(diǎn)向角兩邊作垂線，利用角平分線上的點(diǎn)到兩邊距離相等的性質(zhì)來證明問題。如圖 2-1 ,已知 AB>AD, /BAC4 FAC,CD=BC求證:/ ADC吆 B=180分析：可由C向/ BAD的兩邊作垂線。近而證/ ADC與/ B之例2.如圖 2-2,在 ABC 中，/ A=90 , AB=AC / ABD=求證:BC=AB+AD分析：過D作DE! BC于E,則AD=DE=CE則構(gòu)造出全等三角形，從而得證。此題是證

5、明線段的和差倍分問題，從中利用了相當(dāng)于截取的方法。圖2-2例3.已知如圖2-3, ABC的角平分線 BM CN相交于點(diǎn)P。求證:/ BAC的平分線也經(jīng)過點(diǎn) P。分析：連接AP,證AP平分/ BAC即可，也就是證 P到AB AC的距離相等。練習(xí):MFPC 圖2-3圖2-41 .如圖 2-4/AOPW BOP=15 , PC/OA, PD±OA如果 PC=4 貝U PD=()2,已知在 ABC中，/ C=90 , AD平分/ CAB CD=1.5,DB=2.5.求 AGAAE=2 (AB+AD .求證：/ D+/ B=180 。4 .已知：如圖2-6,在正方形 ABCD43, E為CD的

6、中點(diǎn)，F(xiàn)為BC上的點(diǎn)，/ FAE=/ DAE 求證：AF=AD+CF5 . 已知：如圖 2-7,在 RtABC中，/ ACB=90 ,CD，AB,垂足為 D, 作FH/AB交BC于H。求證 CF=BHA CEB 圖 2-6 F CADB歹D 圖2-5AE平分/ CAB交CD于F,過FB（三）：作角平分線的垂線構(gòu)造等腰三角形從角的一邊上的一點(diǎn)作角平分線的垂線，使之與角的兩邊相交，則截得一個(gè)等腰三角形，垂足為底邊上的中點(diǎn)，該角平分線又成為底邊上的中線和高，以利用中位線的性質(zhì)與等腰三角形的三線合一的性質(zhì)。（如果題目中有垂直于角平分線的線段，則延長(zhǎng)該線段與角的另一邊相交）例1 . 已知：如圖3-1 ,

7、/ BADh DAC AB>AC,CDL AD于 D, H 是 BC中點(diǎn)。求一 1 ，一證：DHe (AB-AC)2分析：延長(zhǎng)CD交AB于點(diǎn)E,則可得全等三角形。問題可證。已知：如圖3-2 , AB=AC/ BAC=90 , AD為/ ABC的平分線,求證：BD=2CEE± BE.分析：給出了角平分線給出了邊上的一點(diǎn)作角平分線的垂線,垂線與另外一邊相交，近而構(gòu)造出等腰三角形。例3.已知：如圖 3-3在4ABC中，AR AE分另1JZ BAC的內(nèi)、延長(zhǎng)此角平分可E于Ml外線，過頂點(diǎn)求證:分析：N 圖 3-3而有BF/AE,所以想到利用比例線段證相等。1例4.已知：如圖 3-4,在

8、ABC中，AD平分/BAC AD=ABCMLAD交AD延長(zhǎng)線于Ml求證：AM、2(AB+AC分析：題設(shè)中給出了角平分線 AD,自然想到以 AD為軸作對(duì)稱變換，作 ABD關(guān)于AD的對(duì)稱 AED即2A證DF是/然后只需證 DMEC,另外由求證的結(jié)果 AM=1 （AB+AC, 22M=AB+AC也可嘗試作 ACM于CM的對(duì)稱 FCM然后只需=CF即可。練習(xí)：1 .已知：在 ABC中，AB=5, AC=3 D 是 BC 中點(diǎn)，AEBAC的平分線，且 CEL AE于E,連接DE,求DEAF± BF于 F, AE± BE于 E,連接 EF分2 .已知BE BF分別是 ABC的/ ABC

9、的內(nèi)角與外角的平分線,1 一 另反AR AC于M N,求證 MN、BC（四）、以角分線上一點(diǎn)做角的另一邊的平行線有角平分線時(shí)，常過角平分線上的一點(diǎn)作角的一邊的平行線，從而構(gòu)造等腰三角形。或通過一邊上的點(diǎn)作角平分線的平行線與另外一邊的反向延長(zhǎng)線相交，從而也構(gòu)造等腰三角形。如圖4-1和圖4-2所示。圖4-1圖4-2AB例 4 如圖，AB>AC, /1=/2,求證：AB-AC>BD-CD=CAACE如圖,如圖,練習(xí):1 .已知，如圖，/ C=2/ A, AC=2BC求證： ABC是直角三角形。2,已知：如圖， AB=2AC / 1 = Z2, DA=DB 求證：DC!ACCB圖1 -23

10、 .已知CE AD是 ABC的角平分線，/ B=60° ,求證：AC=AE+CD4 .已知：如圖在 ABC中，/ A=90° , AB=AC BD是/ ABC的平分線，求證： BC=AB+AD由線段和差想到的輔助線口訣:線段和差及倍半，延長(zhǎng)縮短可試驗(yàn)。線段和差不等式，移到同一三角去。遇到求證一條線段等于另兩條線段之和時(shí)，一般方法是截長(zhǎng)補(bǔ)短法：1、截長(zhǎng)：在長(zhǎng)線段中截取一段等于另兩條中的一條，然后證明剩下部分等于另一條;2、補(bǔ)短：將一條短線段延長(zhǎng)，延長(zhǎng)部分等于另一條短線段，然后證明新線段等于長(zhǎng)線段。對(duì)于證明有關(guān)線段和差的不等式，通常會(huì)聯(lián)系到三角形中兩線段之和大于第三邊、之差小于

11、第三邊, 故可想辦法放在一個(gè)三角形中證明。在利用三角形三邊關(guān)系證明線段不等關(guān)系時(shí)，如直接證不出來，可連接兩點(diǎn)或廷長(zhǎng)某邊構(gòu)成三角形，使結(jié)論中出現(xiàn)的線段在一個(gè)或幾個(gè)三角形中，再運(yùn)用三角形三邊的不等關(guān)系證明，如:例1、 已知如圖1-1: D、E為 ABC證:AB+AC>BD+DE+CE.證明：(法一)將DE兩邊延長(zhǎng)分別交 AB AC于M N,在AMN, AM+AN>MD+DE+N El)在 BDW, MB+MD>B D (2)在 CEN中,CN+NE>CE ( 3)由(1) + (2) + (3)得：AM+AN+MB+MD+CN+NE>MD+DE+NE+BD+CE.AB

12、+AC>BD+DE+EC（法二：圖 1-2）延長(zhǎng)BD交AC于F,廷長(zhǎng) CE交BF于G,在人85和4 GFC4GDE中有:AB+AF>BD+DG+GB角形兩邊之和大于第三邊）（ D接證不出GF+FC>GE+C E 同上）DG+GE>D E 同上）（3）由（1） + （2） + （3）得：AB+AF+GF+FC+DG+GE>BD+DG+GF+GE+CE+DE.AB+AC>BD+DE+EC二、在利用三角形的外角大于任何和它不相鄰的內(nèi)角時(shí)如直 來時(shí)，可連接兩點(diǎn)或延長(zhǎng)某邊，構(gòu)造三角形，使求證的大角在某個(gè)三角形的外角的位置上，小角處于這個(gè) 三角形的內(nèi)角位置上，再利用外角

13、定理：例如：如圖2-1:已知D為ABCft的任一點(diǎn)，求證：/ BDCX BAC畫因?yàn)? BDC與/ BAC不在同個(gè)三角形中，沒有直接的聯(lián)系，可適當(dāng)添加輔助線構(gòu)造新的三角形, 使/ BDC處于在外角白位置，/ BAC處于在內(nèi)角的位置；證法一：延長(zhǎng)BD交AC于點(diǎn)E,這日BDC是4EDC的外角， / BDC/ DEC 同理/ DEC/ BAC/ BDC/ BAC證法二：連接 AD并廷長(zhǎng)交 BC于F,這時(shí)/ BDF是 ABDW外角， ./ BDFV BAD 同理，C CDF/ CAD，/ BDF+/ CDF/ BAD+/ CAD 即：/ BDC/ BAC注意：利用三角形外角定理證明不等關(guān)系時(shí)，通常將大

14、角放在某三角形的外角位置上，小角放在這個(gè) 三角形的內(nèi)角位置上，再利用不等式性質(zhì)證明。三、有角平分線時(shí)，通常在角的兩邊截取相等的線段，構(gòu)造全等三角形，如:例如：如圖3-1 :已知AD為ABC勺中線，且/ 1=Z2, 7 3=BE+CF>EF回要證 BE+CF>EF可利用三角形三邊關(guān)系定理證明，EF移到同一個(gè)三角形中，而由已知/1 = /2,/3=/4,可在角的兩邊截取相等的線段，利用三角形全等等，把EN FN, EF移到同個(gè)三角形中。證明：在DN上截取 DN=DB連接 NE NF,則DN=DC在 DB訝口 NDE中:。DN=DB（輔助線作法）/ 1 = /2 （已知）' ED

15、=ED（公共邊） . DBEE NDE （ SAS）BE=NE（全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等）同理可得：CF=NF在 EFN中EN+FN>EF（三角形兩邊之和大于第三邊）BE+CF>EF注意：當(dāng)證題有角平分線時(shí)，常可考慮在角的兩邊截取相等的線段，構(gòu)造全等三角形，然后用全等三角形的對(duì)應(yīng)性質(zhì)得到相等元素。三、截長(zhǎng)補(bǔ)短法作輔助線。例如：已知如圖 6-1 :在 ABC中，AB>AC /1 = /2, P為AD上任一點(diǎn)求證：AB-AC>PB-PC西要證：AB-AC>PB-PC想到利用三角形三邊關(guān)系，定理證之，因?yàn)橛C的線段之差，故用兩邊之差小于第三邊，從而想到構(gòu)造第三邊AB-AC,

16、故可在AB上截取AN等于AC,彳導(dǎo)AB-AC=BN再連接PN貝U PC=PN 又在 PNB中,PB-PN<BN即：AB-AC>PB-PC證明：（截長(zhǎng)法）在AB上截取 AN=ACi接PN,在4APN和4APC中AN=AC（輔助線作法）V 1 = 72 （已知）AP=AP （公共邊）AP陰 APC（SAS）,PC=PN（全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等）在4BPN中，有PB-PN<BN（三角形兩邊之差小于第三邊）BP-PC<AB-AC證明：（補(bǔ)短法）延長(zhǎng) AC至M,使AM=AB連接PM在 ABP和 AM叩A(chǔ)B=AM（輔助線作法）<Z 1 = /2 （已知）Ap=ap （公共邊）.

17、AB眸 AMP (SAS)PB=PM（全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等）又在 PCM43有：CM>PM-P*角形兩邊之差小于第三邊AB-AC>PB-PCADDCDCBCEAB例4如圖A1A2MCBDCDB1【方法精講AABCCDDAEAMFCCBDNE方法 方法 方法23 ABC 中AD是BC邊中線例2如圖，在四邊形延長(zhǎng)MDiij N使 DN=MD連接CD作C。AD于F,作BE! AD的延長(zhǎng)線于E連接BE求證：BC=AB+D CABCM, AC平分/ BAD CE!AB于 E, AD+AB=2AE常用輔助線添加方法一一倍長(zhǎng)中線例3已知：如圖，等腰三角形 ABC中，AB=AC ZA=108

18、76; , BD平分/ ABGRtABC中，/ ACB=90 , AD是/ CAB的平分線【夯實(shí)基礎(chǔ)】可：AABC中，AD是/BAC的平分線E BDML AB于 M 且 AM=MB1 : 延長(zhǎng)AD到E 使 DE=AD 連接BE作 DEL AB于 E,彳DF± AC于 F輔助線同上，利用面積倍長(zhǎng)中線AD求證：/ ADC吆 B=180o且 BD=CD 求證 AB=AC 證明二次全等例 1.如圖，AC平分/ BAD CE!AB,且/ B+Z D=180° ,求證：CDB求證：AE=AD+BEB方法方法方法BE=AC例4: tDF=AC 求證：如圖AABC 中，AB# ACE在BC

19、上DE=EC過D作DF / BA交AE于點(diǎn)FAE平分/ BAC提示方法方法倍長(zhǎng)AE至G倍長(zhǎng)FE至H,DGCHD E第1題圖【經(jīng)典例題】例1: 4ABC中，AB=5, AC=3求中線 AD的取值范圍提示：畫出圖形，倍長(zhǎng)中線AD利用三角形兩邊之和大于第三邊例2:已知在 ABC中，AB=AC D在AB上，E在AC的延長(zhǎng)線上， DE交BC于F,且DF=EF求證：BD=CEA過 D作 DG/ AE交 BC于 G,證明 A DGM A CEF過E作EG/ AB交BC的延長(zhǎng)線于 G,證明A EF® A DFB過D作DGL BC于G 過E作EH! BC的延長(zhǎng)線于 H證明 A BDe A ECH,EB

20、E交AC于F,求證：AF=EFA提示：倍長(zhǎng) AD至G 連接BG證明ABD8ACDA 三角形BEG是等腰三角形提示：倍長(zhǎng) 證明AE至FDFA AB段 A FDE ( SAS進(jìn)而證明 A AD障A ADC (SAS【融會(huì)貫通】1、在四邊形 ABCD43, AB/ DC E為BC邊的中點(diǎn) 段AB與AF、CF之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論BAE=/ EAF, AF與DC的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn) F。試探究線A提示：延長(zhǎng) AE、DF交于G證明 AB=GC AF=GF 所以 AB=AF+FC2、如圖，AD為AABC的中線，DE平分NBDA交AB于E, DF平分/ADC交AC于F.求證：BE十CF A EF提示：方

21、法1DA上截取 DG=BD連結(jié) EG FG證明所以A BDE A GDE A DC庭 A DGFBE=EG CF=FG方法2 :倍長(zhǎng)ED至H,連結(jié) CH FHD第14題圖CD=AB / BDA=/ BAD AE是 ABD的中線，求證2.如圖， ABC中,BAC=90 ,AB=AC AE是過A的一條直線，且 B, C在AE的異側(cè),證明 FH=EF CH=BE利用三角形兩邊之和大于第三邊3、已知：如圖， 9BC中，NC=900, CMAB于M AT平分/BAC交CM于D,交BC于T,過D作DE/AB交BC于 E,求證：CT=BE.提示：過T作TNJ± AB于N 證明 A BTN A EC

22、D1 .如圖，AB/ CD AE、 DE分另1J平分/ BAD各/ADE 求證：AD=AB+CDBD± AE于 D, CEL AE 于 E。求證：BD=DE+CE四、由中點(diǎn)想到的輔助線口訣：三角形中兩中點(diǎn)，連接則成中位線。三角形中有中線，延長(zhǎng)中線等中線。在三角形中，如果已知一點(diǎn)是三角形某一邊上的中點(diǎn)，那么首先應(yīng)該聯(lián)想到三角形的中線、中位線、 加倍延長(zhǎng)中線及其相關(guān)性質(zhì)（直角三角形斜邊中線性質(zhì)、等腰三角形底邊中線性質(zhì)），然后通過探索，找 到解決問題的方法。（一）、中線把原三角形分成兩個(gè)面積相等的小三角形即如圖1, AD是A ABC的中線，則 Sa abd=Sa ac= 2 Sa ABC

23、（因?yàn)?AABg A AC皿等底同高的）。小冷例1.如圖2, A ABC中，AD是中線，延長(zhǎng) AD到E,使DE=AD DF是A DCE的中線。已知 A ABC的面積為2,求：ACDF的面積。解：因?yàn)?AD是 AABC的中線，所以 Saac=1 &abc=1x2=1,又因 CD> AACE的中線，故 Sacde=Saac=1 , 22因 DF是 ACDEW中線，所以 Sa cd=1sacde=1 X 1 = 1 o222A CDF的面積為1 。2（二）、由中點(diǎn)應(yīng)想到利用三角形的中位線例2.如圖3,在四邊形 ABCD43, AB=CD E F分別是BC AD的中點(diǎn)，BA CD的延長(zhǎng)線

24、分別交 EF的延長(zhǎng)線G H。求證：/ BGE=/ CHE證明：連結(jié)BD并取BD的中點(diǎn)為 M連結(jié)ME MF2 .M比A BCD勺中位線，ME'' _ CD / MEF=/ CHE =2.MF是A ABD的中位線，MF' - AB, / MFE=/ BGE二23 AB=CD ME=MFMEF=/ MFE從而/ BGE=/ CHE（三）、由中線應(yīng)想到延長(zhǎng)中線例3.圖4,已知 A ABC中，AB=5, AC=3,連BC上的中線 AD=2求BC的長(zhǎng)。解：延長(zhǎng) AD到 E,使 DE=AD 貝U AE=2AD=2 2=4。在 A ACD A EBD中， AD=ED / ADC=/ E

25、DB CD=BD .A AC里 A EBD 1- AC=BE從而 BE=AC=3在 A ABE中，因 AE"+B=42+32=25=AB2,故/ E=90° ,BD=/十丁 =行 + 2?=舊，故 BC=2BD=2/13。例4.如圖5,已知 A ABC中，AD是/ BAC的平分線，AD又是 證：A ABC是等腰三角形。證明：延長(zhǎng) AD至ij E,使DE=AD仿例3可證：A BEN A CAD故 EB=AC / E=Z 2,又/ 1=/ 2,./ 1=/ E,.AB=EB從而AB=AC即A ABC是等腰三角形。（四）、直角三角形斜邊中線的性質(zhì)例 5.如圖 6,已知梯形 ABC

26、D43, AB/DC, AC! BC, AD! BD,求證：AC=BD證明：取AB的中點(diǎn)E,連結(jié)DE CE,則DE CE分別為邊AB上的中線，故 DE=CE=AB,因此/ CDEW DCE2 AB/DC, ./ CDE=/ 1, / DCEh 2,Rt A A1=/ 2,在 A AD訝口 A BCE中,BC邊上的中線。求 DE=CE / 1=/ 2, AE=BEAADEABCE ，AD=BC從而梯形 ABCD等腰梯形,因止匕AC=BD（五）、角平分線且垂直一線段，應(yīng)想到等腰三角形的中線例6.如圖7, A ABC是等腰直角三角形，/ BAC=90 ,BD的延長(zhǎng)線于點(diǎn) E。求證：BD=2CE證明：

27、延長(zhǎng) BA CE交于點(diǎn)F,在 ABEF和ABEC中， / 1=/2, BE=BE / BEF=Z BEC=90 , A BE陣 A BEC 1- EF=EC 從而 CF=2CEBD, Rt A ABC 斜BD平分/ ABC交AC于點(diǎn)D, CE垂直于 BD交例二：如圖5-1 : AD為4ABC的中線，求證： AB+AC>2AD又/ 1+/F=/3+/F=90° ,故/ 1 = /3。在 AABD AACF 中，-/ 1 = /3, AB=AQ / BAD4 CAF=90° ,A AB陰 AACF 1- BD=CF，BD=2CE注：此例中BE是等腰ABCF的底邊CF的中線

28、。（六）中線延長(zhǎng)口訣：三角形中有中線，延長(zhǎng)中線等中線。題目中如果出現(xiàn)了三角形的中線，常延長(zhǎng)加倍此線段，再將端點(diǎn)連結(jié)，便可得到全等三角形。例一：如圖 4-1 : AD為4ABC的中線，且/ 1 = /2, / 3=74,求證：BE+CF>EF證明：廷長(zhǎng) ED至M 使 DM=DE連接 CM ME在 BDE人和CDMfr,，BD=CD（中點(diǎn)定義）/，/1 = /5 （對(duì)頂角相等）/I ED=MD輔助線作法）/一）17 ABDEE CDM(SAS)又/1 = /2, / 3=/4（已知）? ./ !/Z1 + Z2+Z 3+7 4=180° （平角的定義） /3+7 2=90°

29、;圖4_1M即：/ EDF=90/ FDM= EDF=90在 EDFA MD沖ED=MD（輔助線作法）/ EDFW FDM（已證）DF=DF （公共邊）AEDF MDF （SAS）EF=MF（全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等）在 CM沖,CF+CM>M F三角形兩邊之和大于第三邊）BE+CF>EF上題也可加倍 FD,證法同上。1S當(dāng)涉及到有以線段中點(diǎn)為端點(diǎn)的線段時(shí)，可通過延長(zhǎng)加倍此線段，構(gòu)造全等三角形，使題中分散的條件集中。分析：要證 AB+AC>2AD 由圖想至U： AB+BD>AD,AC+CD>A可以有 AB+AC+BD+CD>AD+AD=2AD邊比要證結(jié)論多BD+

30、CD故不能直接證出此題，而由2AD想到要構(gòu)造2AD,即加倍中線，把所要證的線段轉(zhuǎn)移到同一個(gè)三角形中去證明：延長(zhǎng) AD至E,使DE=AD連接BE, CE ADA ABC的中線（已知） .BD=CD（中線定義）在 ACD EBD 中BD=CD（已證） 1 = /2 （對(duì)頂角相等）AD=ED（輔助線作法） .AC里 EBD （SAS）BE=CA（全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等） 在 ABE中有：AB+BE>AE（三角形兩邊之和大于第三邊）AB+AC>2AD1力門因 AR=R AC=A n% 的中占 隸 AD的取信枯闈一3 如圖，AB=AC AD=AE M為 BE中點(diǎn)，/ BAC=Z DAE=90。

31、求證：AML DQ練習(xí)：4,已知 ABC AD是BC邊上的中線，分別以 AB邊、AC邊為直角邊各向外作等腰直角三角形，如圖 5-2 ,求證 EF=2A5.已知：如圖 AD為4ABC的中線，AE=EF求證：BF=AC常見輔助線的作法有以下幾種：1）遇到等腰三角形，可作底邊上的高，利用“三線合一”的性質(zhì)解題，思維模式是全等變換中的 “對(duì) 折”.2）遇到三角形的中線，倍長(zhǎng)中線，使延長(zhǎng)線段與原中線長(zhǎng)相等，構(gòu)造全等三角形，利用的思維模式 是全等變換中的“旋轉(zhuǎn)” .3）遇到角平分線，可以自角平分線上的某一點(diǎn)向角的兩邊作垂線，利用的思維模式是三角形全等變 換中的“對(duì)折”，所考知識(shí)點(diǎn)常常是角平分線的性質(zhì)定理或

32、逆定理.4）過圖形上某一點(diǎn)作特定的平分線，構(gòu)造全等三角形，利用的思維模式是全等變換中的“平移”或“翻轉(zhuǎn)折疊”5）截長(zhǎng)法與補(bǔ)短法，具體做法是在某條線段上截取一條線段與特定線段相等，或是將某條線段延長(zhǎng)，是之與特定線段相等， 再利用三角形全等的有關(guān)性質(zhì)加以說明.這種作法，適合于證明線段的和、 差、倍、分等類的題目.特殊方法：在求有關(guān)三角形的定值一類的問題時(shí)，常把某點(diǎn)到原三角形各頂點(diǎn)的線段連接起來，利用三角形面積的知識(shí)解答.（一）、倍長(zhǎng)中線（線段）造全等則中線AD的取值范圍是1 :（ “希望杯”試題）2:如圖,ABC 中,E、F分另I在 AB AC上,DEI DF,D是中點(diǎn)，試比較 BE+CFW EF

33、的大小.3:如圖,ABC 中,BD=DC=ACE是DC的中點(diǎn)，求證:AD平分/BAE.中考應(yīng)用（09崇文二模）以AABC的兩邊 ARAC為腰分別向外作等腰Rt MBD 和等腰 Rt MCE ,/BAD =/CAE =90：連接 DE, M N分別是BC DE的中點(diǎn).探究:AM與DE的位置關(guān)系及數(shù)量關(guān)系.（1）如圖 當(dāng)AABC為直角三角形時(shí),AMW DE的位置關(guān)系是線段AMW DE的數(shù)量關(guān)系是（2）將圖中的等腰 Rt&ABD繞點(diǎn)a沿逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)9 （0九90）后，如圖所示，（1）問中得到的兩個(gè)結(jié)論是否發(fā)生改變？并說明理由.（二）、截長(zhǎng)補(bǔ)短2:如圖,AC/ BD, EA,EB分別平分/

34、CAB,/ DBA CD±點(diǎn) E,求證;AB = AC+BD3:如圖,00已知在 L ABC 內(nèi)，NBAC=60 , NC=40 ,P, Q分別在BC, CA上,并且AP, BQ分別是/BAC, /ABC的角平分線。求證： BQ+AQ=AB+BPABCD 中，BC>BA,AD=CD, BD4:如圖，在四邊形D5:如圖在 ABC中，AB>AC, / 1 = / 2, P為 AD上任意一點(diǎn)，求證；AB-AC>PB-PC中考應(yīng)用（08海淀一模）如圖，在四辿成“北0中，點(diǎn)E是48上一個(gè)動(dòng)點(diǎn),若上出=60口,才。二"且Z DEC = 60”,判斷4。卜IA1寸BC的

35、關(guān)系并證明你的結(jié)論 解:；例題講解: 一、利用轉(zhuǎn)化倍角，構(gòu)造等腰三角形當(dāng)一個(gè)三角形中出現(xiàn)一個(gè)角是另一個(gè)角的 2倍時(shí)，我們就可以通過轉(zhuǎn)化倍角尋找到等腰三角形如圖中，若/ ABC= 2/ C如果作 BD平分/ ABC則4 DBO等腰三角形；如圖中，若/ ABC= 2/ C如果延長(zhǎng)線 CB到D,使BD= BA連結(jié)AD則 ADB等腰三角形；ACBBC D如圖中，若/ B= 2/ ACB如果以C為角的頂點(diǎn)，CA為角的一邊，在形外作/ ACD= / ACB交BA的 延長(zhǎng)線于點(diǎn)D,則4 DBB等腰三角形.1、如圖,2、如圖, ABC43, AB= ACBDL AC交 AC于 D 求證：/ DBC= - /

36、BAC2 ABC中，Z ACB= 2/B, BC= 2AC求證：/ A= 90 .二、利用角平分線+平行線，構(gòu)造等腰三角形如圖中,如圖中,如圖中,ADW/AM分/ADW/BACBACBACDE/ ACCE/ ABEF/ AD則4 ADE等腰三角形；則4 ACE等腰三角形；則4 AG既等腰三角形.A3、如圖,b4ABCD , AB= AC, B AC上BDAGP,過C P作EFBC交BA的延長(zhǎng)線0 EF垂足為點(diǎn)F.求證：.AE=AP4、如圖， ABC中，AD平分/ 求證：EF/ ABBAC E、F分別在BDAD上，且 DE= CD EF= ACAAFABC DBADC圖2當(dāng)一個(gè)三角形中出現(xiàn)角平分

37、線和平行線時(shí)，我們就可以尋找到等腰三角形 如圖中，若 AD平分/ BAC AD/ EC則 AC蕾等腰三角形；三、利用角平分線+垂線，構(gòu)造等腰三角形當(dāng)一個(gè)三角形中出現(xiàn)角平分線和垂線時(shí)，我們就可以尋找到等腰三角形.如圖1中,若AD平分/ BAG AD± DC則 AEC是等腰三角形.5、如圖2,已知等腰 RtAABC, AB= AG / BAG= 90° , BF平分/ ABG CDL BD交BF的延長(zhǎng)線于 Db求證：BF=2CD四：其他方法總結(jié)1 .截長(zhǎng)補(bǔ)短法6、如圖，已知：正方形 ABCD43, / BAC的平分線交 BC于E,求證：AB+BE=AC2 .倍長(zhǎng)中線法題中條件若

38、有中線，可延長(zhǎng)一倍，以構(gòu)造全等三角形，從而將分散條件集中在一個(gè)三角形內(nèi)。7、如圖（7） AD是4ABC的中線, 求證：AC=BFBE交AC于E,交AD于F,且AE=EFAE8、已知 ABC AD是BC邊上的中線，分別以 AB邊、AC邊為直角邊各向外作等腰直角三角形，如圖，求證EF= 2AD=若題設(shè)中含有中點(diǎn)可以試過中點(diǎn)作平行線或中位線，對(duì)Rt ，有時(shí)可作出斜邊的中線.3.平行線法（或平移法）P圖（2）9、4ABC中，/BAC=60 , / C=40° AP平分/ BAC交 BC于 P, BQ平分/ ABC交 AC于 Q 求證：AB+BP=BQ+AQ A說明：本題也可以在 AB截取AD=AQ連OD 構(gòu)造全等三角形，即“截長(zhǎng)補(bǔ)短法B P圖（1）本題利用“平行法”解法也較多，舉例如下： 如圖（1）,過。作OD/ BC交AC于D,則 AD堂 ABO如圖（2）,過。作DE/ BC交AB于D,交AC于E, 則 4AD筆 AQ（O AB（O AEOB解決. 如圖（3）,過P作PD/ BQ交AB的延長(zhǎng)線于 D,D則A APD APC來解決.圖（3） 如圖（4）,過P作PD/ BQ交AC于D,則4 AB咤 AD稼解決.10、已知：如圖，在