高等數(shù)學(xué)復(fù)旦大學(xué)出版社課后習(xí)題答案

1、1. 解: (1)相等.因?yàn)閮珊瘮?shù)的定義域相同,都是實(shí)數(shù)集R;由知兩函數(shù)的對應(yīng)法則也相同;所以兩函數(shù)相等.(2)相等.因?yàn)閮珊瘮?shù)的定義域相同,都是實(shí)數(shù)集R,由已知函數(shù)關(guān)系式顯然可得兩函數(shù)的對應(yīng)法則也相同,所以兩函數(shù)相等.(3)不相等.因?yàn)楹瘮?shù)的定義域是,而函數(shù)的定義域是實(shí)數(shù)集R,兩函數(shù)的定義域不同,所以兩函數(shù)不相等.2. 解: (1)要使函數(shù)有意義,必須 即 所以函數(shù)的定義域是.(2)要使函數(shù)有意義,必須 即 所以函數(shù)的定義域是-3,0)(0,1).(3)要使函數(shù)有意義,必須 即 所以函數(shù)的定義域是.(4)要使函數(shù)有意義,必須 即 即或,(k為整數(shù)).也即 (k為整數(shù)).所以函數(shù)的定義域是,

2、k為整數(shù).3.解: 由已知顯然有函數(shù)的定義域?yàn)?-,+),又當(dāng)時(shí),可以是不為零的任意實(shí)數(shù),此時(shí),可以取遍-1,1上所有的值,所以函數(shù)的值域?yàn)?1,1.4. 解: ,5.解: 6.解: 7. 證:由解得,故函數(shù)的反函數(shù)是,這與是同一個(gè)函數(shù),所以和互為反函數(shù).8. 解: (1)由解得,所以函數(shù)的反函數(shù)為.(2)由得,所以,函數(shù)的反函數(shù)為.(3)由解得所以,函數(shù)的反函數(shù)為.(4)由得,又,故.又由得,即,故可得反函數(shù)的定義域?yàn)?,2,所以,函數(shù)的反函數(shù)為.9. 解: (1)是偶函數(shù).(2)函數(shù)是奇函數(shù).10. 解: (1)函數(shù)的定義域?yàn)?-,+), 當(dāng)時(shí),有,當(dāng)時(shí),有,故有.即函數(shù)有上界.又因?yàn)楹瘮?shù)

3、為奇函數(shù),所以函數(shù)的圖形關(guān)于原點(diǎn)對稱,由對稱性及函數(shù)有上界知,函數(shù)必有下界,因而函數(shù)有界.又由知,當(dāng)且時(shí),而當(dāng)且時(shí),.故函數(shù)在定義域內(nèi)不單調(diào).(2)函數(shù)的定義域?yàn)?0,+),且,使.取,則有,所以函數(shù)在定義域內(nèi)是無界的.又當(dāng)時(shí),有故.即當(dāng)時(shí),恒有,所以函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞增.11. 解: (1)是由復(fù)合而成.(2)是由復(fù)合而成.(3)是由復(fù)合而成.(4)是由復(fù)合而成.12.證: (1)設(shè),則,有故為偶函數(shù).(2)設(shè)則,有故為奇函數(shù).13.解: 設(shè)年銷售批數(shù)為x, 則準(zhǔn)備費(fèi)為103x;又每批有產(chǎn)品件,庫存數(shù)為件,庫存費(fèi)為元.設(shè)總費(fèi)用為,則.14. 解: 當(dāng)x能被20整除,即時(shí),郵資;當(dāng)x不能被20整除

4、時(shí),即時(shí),由題意知郵資.綜上所述有其中,分別表示不超過,的最大整數(shù).15. 證: (1)由得解方程得,因?yàn)?所以,所以的反函數(shù)是(2)由得,得;又由得,所以函數(shù)的反函數(shù)為16. 解: 從而 .由得定義域?yàn)?17. 解: 當(dāng)時(shí),.,當(dāng)n無限增大時(shí),有三種變化趨勢:趨向于,趨向于0,趨向于.,當(dāng)n無限增大時(shí),變化趁勢有兩種,分別趨于1,-1.18. 解: ,要使,只須.取,則當(dāng)時(shí),必有.當(dāng)時(shí),或大于1000的整數(shù).,要使只要即即可.取,則當(dāng)時(shí),有.當(dāng)時(shí), 或大于108的整數(shù).19. 證: ,要使,只要.取,則當(dāng)n>N時(shí),恒有.故.(2) ,要使只要,取,則當(dāng)n>N時(shí),恒有.故.(3)

5、,要使,只要,取,則當(dāng)n>N時(shí),恒有,從而.(4)因?yàn)閷τ谒械恼麛?shù)n,有,故,不防設(shè),要使只要取則當(dāng)時(shí),恒有故.20.證: ,由極限的定義知,當(dāng)時(shí),恒有.而 ,當(dāng)時(shí),恒有,由極限的定義知但這個(gè)結(jié)論的逆不成立.如但不存在.21. 解: 而,當(dāng)時(shí), .(2)記則有 即 而 故 即 .(3)即 而 故 .(4)而 故 .22. 證: (1),不妨設(shè),則.故對所有正整數(shù)n有,即數(shù)列有上界.又顯然有,又由得,從而即,即數(shù)列是單調(diào)遞增的.由極限的單調(diào)有界準(zhǔn)則知,數(shù)列有極限.設(shè),則,于是,(不合題意,舍去),.(2) 因?yàn)?且,所以, 即數(shù)列有界又 由知與同號，從而可推得與同號，而 故, 即所以數(shù)

6、列單調(diào)遞增，由單調(diào)有界準(zhǔn)則知，的極限存在.設(shè), 則，解得 (不合題意，舍去).所以 23. 證：(1),要使,只須,取，則當(dāng)時(shí)，必有,故.(2),要使,只須,取，則當(dāng)時(shí)，必有,故.(3) ,要使,只要取，則當(dāng)時(shí)，必有,故.(4) ,要使,只須，取，則當(dāng)時(shí)，必有故.(5) ,要使,只要取，則當(dāng)時(shí)，必有,故 .24. 解：.由無窮大與無窮小的關(guān)系知， .(7)因?yàn)橛梢阎?，分式的分子與分母的次數(shù)相同，且x項(xiàng)的系數(shù)之比為，于是 且 解得 .25.解： 而 而(14)令則當(dāng)時(shí)，.所以(利用(13)題的結(jié)果).(16)令， 則而 所以26. 解：當(dāng)時(shí)，是比高階的無窮小量.27.解：當(dāng)時(shí)，是與同階的無窮小

7、.當(dāng)時(shí)，是與等價(jià)的無窮小.28. 解：(1)因?yàn)楫?dāng)時(shí)，所以(4)因?yàn)楫?dāng)時(shí)，,所以(5)因?yàn)楫?dāng)時(shí)，所以.(7)因?yàn)楫?dāng)時(shí)，,所以(8)因?yàn)楫?dāng)時(shí)，所以.(9)因?yàn)楫?dāng)時(shí)，,所以(10)因?yàn)楫?dāng)時(shí)，所以(11)因?yàn)楫?dāng)時(shí)，所以(12)因?yàn)楫?dāng)時(shí)，所以(13)因?yàn)槎?dāng)時(shí)，故 又當(dāng)x0進(jìn)，所以(14)因?yàn)楫?dāng)時(shí)，故 所以29. 解：(6)令，則當(dāng)時(shí)，.30. 解：(1)令，則于是：即 即 即.(2)令，則于是即 即 故即 .(3)令，則于是 即 從而 故即 .(4)令，則于是：即 即.31.解： 因?yàn)?所以不存在.(2)因?yàn)椴淮嬖冢圆淮嬖?32. 解：(1)由初等函數(shù)的連續(xù)性知，在（0，1），（1，2）內(nèi)連續(xù)，

8、又 而，在處連續(xù)，又，由，知在處右連續(xù)，綜上所述，函數(shù)在0，2)內(nèi)連續(xù). 函數(shù)圖形如下：圖1-2 (2) 由初等函數(shù)的連續(xù)性知在內(nèi)連續(xù)，又由知不存在，于是在處不連續(xù).又由及知，從而在x=1處連續(xù)，綜上所述，函數(shù)在及內(nèi)連續(xù)，在處間斷.函數(shù)圖形如下：圖1-3 (3)當(dāng)x<0時(shí)，當(dāng)x=0時(shí)，當(dāng)x>0時(shí)，由初等函數(shù)的連續(xù)性知在內(nèi)連續(xù)，又由 知不存在，從而在處間斷.綜上所述，函數(shù)在內(nèi)連續(xù)，在處間斷.圖形如下：圖1-4(4)當(dāng)|x|=1時(shí)，當(dāng)|x|<1時(shí)，當(dāng)|x|>1時(shí)，即 由初等函數(shù)的連續(xù)性知在(,1),(1,1),(1,+)內(nèi)均連續(xù)，又由知不存在，從而在處不連續(xù).又由 知不存在

9、，從而在處不連續(xù).綜上所述，在(,1),(1,1),(1,+)內(nèi)連續(xù)，在處間斷.圖形如下：圖1-533. 解：是函數(shù)的可去間斷點(diǎn).因?yàn)楹瘮?shù)在x=1處無定義，若補(bǔ)充定義，則函數(shù)在x=1處連續(xù)；x=2是無窮間斷點(diǎn).當(dāng)時(shí)，.為可去間斷點(diǎn)，分別補(bǔ)充定義f(0)=1,，可使函數(shù)在x=0,及處連續(xù).();為無窮間斷點(diǎn)(3)當(dāng)時(shí)，呈振蕩無極限，x=0是函數(shù)的振蕩間斷點(diǎn).(第二類間斷點(diǎn)).(4)x=1是函數(shù)的跳躍間斷點(diǎn).(第一類間斷點(diǎn).)34. 解：補(bǔ)充定義可使函數(shù)在x=0處連續(xù).補(bǔ)充定義可使函數(shù)在x=0處連續(xù).補(bǔ)充定義可使函數(shù)在x=0處連續(xù).補(bǔ)充定義可使函數(shù)在x=0處連續(xù).35. 解：(1)在上顯然連續(xù)，而 且,當(dāng)，即時(shí)，在處連續(xù)，所以，當(dāng)時(shí)，在上連續(xù).(2)在內(nèi)顯然連續(xù).而當(dāng)，即時(shí)，在處連續(xù)，因而在上連續(xù).36. 證：令，則在0,1上連續(xù)，且,由零點(diǎn)定理，使即即方程有一個(gè)小于1的正根.37.證：令，則在上連續(xù)，且 ,若，則就是方程的根.若，則由零點(diǎn)定理得.,使即即，即是方程的根，綜上所述，方程至少有一個(gè)不超過的正根.38. 證：令,由在上連續(xù)知，在