互斥事件有一個(gè)發(fā)生的概率、相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率、獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)

1、本周課題：互斥事件有一個(gè)發(fā)生的概率、相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率、獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn) 本周重點(diǎn)：1、互斥事件、對(duì)立事件的概率的求法2、相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率乘法公式3、正向思考：通過“分類”或“分步”將較復(fù)雜事件進(jìn)行分解，轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的互斥事件的和事件或相互獨(dú)立事件的積事件4、n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中某事件恰好發(fā)生n次的概率計(jì)算公式本周難點(diǎn)：1、互斥事件、對(duì)立事件的概念2、事件的相互獨(dú)立性的判定，獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的判定3、事件的概率的綜合應(yīng)用本周內(nèi)容：1、事件的和、事件的積的意義(1)A+B表示這樣一個(gè)事件：在同一試驗(yàn)下，A或B中至少有一個(gè)發(fā)生就表示它發(fā)生事件“A1+A2+An”表示這樣一個(gè)事件：在同一試驗(yàn)中

2、，A1，A2，An中至少有一個(gè)發(fā)生即表示它發(fā)生(2)A·B表示這樣一個(gè)事件：事件A與事件B中都發(fā)生了就表示它發(fā)生事件“A1·A2··An”表示這樣一個(gè)事件：A1，A2，An中每一個(gè)都發(fā)生即表示它發(fā)生2、互斥事件(1)不可能同時(shí)發(fā)生的兩個(gè)事件叫做互斥事件一般地：如果事件A1，A2，An中的任何兩個(gè)都是互斥的，那么就說事件A1，A2，An，彼此互斥(2)一般地：如果事件A，B互斥，那么事件A+B發(fā)生(即A，B中有一個(gè)發(fā)生)的概率，等于事件A，B分別發(fā)生的概率的和，即P(A+B)=P(A)+P(B)(說明：如果事件A，B不互斥，則P(A+B)=P(A)+P(B

3、)-P(A·B)如果事件A1，A2，An彼此互斥，那么事件A1+A2+An發(fā)生(即A1，A2，An中有一個(gè)發(fā)生)的概率，等于這n個(gè)事件分別發(fā)生的概率的和，即P(A1+A2+An)=P(A1)+P(A2)+P(An)3、對(duì)立事件(1)必有一個(gè)發(fā)生的兩個(gè)互斥事件叫做對(duì)立事件，事件A的對(duì)立事件記作(2)(3)對(duì)于互斥事件要抓住如下的特征進(jìn)行理解：第一：互斥事件研究的是兩個(gè)事件之間的關(guān)系；第二：所研究的兩個(gè)事件是在一次試驗(yàn)中涉及的；第三：兩個(gè)事件互斥是從試驗(yàn)的結(jié)果不能同時(shí)出現(xiàn)來確定的從集合角度來看，A、B兩個(gè)事件互斥，則表示A、B這兩個(gè)事件所含結(jié)果組成的集合的交集是空集對(duì)立事件是互斥事件的一

4、種特殊情況，是指在一次試驗(yàn)中有且僅有一個(gè)發(fā)生的兩個(gè)事件，集合A的對(duì)立事件記作，從集合的角度來看，事件所含結(jié)果的集合正是全集U中由事件A所含結(jié)果組成集合的補(bǔ)集，即對(duì)立事件一定是互斥事件，但互斥事件不一定是對(duì)立事件(4)分類討論思想是解決互斥事件有一個(gè)發(fā)生的概率的一個(gè)重要的指導(dǎo)思想4、相互獨(dú)立事件(1)事件A(或B)是否發(fā)生對(duì)事件B(或A)發(fā)生的概率沒有影響，這樣的兩個(gè)事件叫做相互獨(dú)立事件(2)兩個(gè)相互獨(dú)立事件A、B同時(shí)發(fā)生的概率，等于每個(gè)事件發(fā)生的概率的積即：P(A·B)=P(A)·P(B)推廣：如果事件A1，A2，An相互獨(dú)立，那么這n個(gè)事件同時(shí)發(fā)生的概率，等于每個(gè)事件發(fā)生

5、的概率的積。即：P(A1·A2··An)=P(A1)·P(A2)··P(An)(3)關(guān)于相互獨(dú)立事件也要抓住以下特征加以理解：第一：相互獨(dú)立也是研究?jī)蓚€(gè)事件的關(guān)系；第二：所研究的兩個(gè)事件是在兩次試驗(yàn)中得到的；第三：兩個(gè)事件相互獨(dú)立是從“一個(gè)事件的發(fā)生對(duì)另一個(gè)事件的發(fā)生的概率沒有影響”來確定的(4)互斥事件與相互獨(dú)立事件是有區(qū)別的：兩事件互斥是指同一次試驗(yàn)中兩事件不能同時(shí)發(fā)生，兩事件相互獨(dú)立是指不同試驗(yàn)下，二者互不影響；兩個(gè)相互獨(dú)立事件不一定互斥，即可能同時(shí)發(fā)生，而互斥事件不可能同時(shí)發(fā)生5. 獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)(1)獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)指在同樣條件下

6、進(jìn)行的，各次之間相互獨(dú)立的一種試驗(yàn)(2)一般地，如果在1次試驗(yàn)中某事件發(fā)生的概率是P，那么在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中這個(gè)事件恰好發(fā)生k次的概率 ，它是(1-P)+Pn展開式的第k+1項(xiàng)。本周例題例1、 袋中有5個(gè)白球，3個(gè)黑球，從中任意摸出4個(gè)，求下列事件發(fā)生的概率：(1)摸出2個(gè)或3個(gè)白球；(2)至少摸出1個(gè)白球；(3)至少摸出1個(gè)黑球解：從8個(gè)球中任意摸出4個(gè)共有種不同的結(jié)果記從8個(gè)球中任取4個(gè)，其中恰有1個(gè)白球?yàn)槭录嗀l；恰有2個(gè)白球?yàn)槭录嗀2；恰有3個(gè)白球?yàn)槭录嗀3；4個(gè)白球?yàn)槭录嗀4；恰有i個(gè)黑球?yàn)槭录﨎i，則(1)摸出2個(gè)或3個(gè)白球的概率 (2)至少摸出1個(gè)白球的概率P2=1-P(B4)

7、=1-0=1(3)至少摸出1個(gè)黑球的概率例2、設(shè)從標(biāo)有自然數(shù)1001到8000的7000張卡片中隨意抽出1張，求其數(shù)字恰是3或7的倍數(shù)的概率。解：記“抽出卡片上的數(shù)字恰是3的倍數(shù)”的事件為A； “抽出卡片上的數(shù)字恰是7的倍數(shù)”的事件為B；A·B表示“抽出卡片上的數(shù)字恰是21的倍數(shù)”，則：點(diǎn)評(píng)：在使用互斥事件的概率計(jì)算公式時(shí)，一定要判定兩個(gè)事件是否是互斥事件，如果不是互斥事件，還應(yīng)減去事件A·B的概率例3、甲、乙二射擊運(yùn)動(dòng)員分別對(duì)一目標(biāo)射擊1次，甲射中的概率為0.8，乙射中的概率為0.9，求：(1)2人都射中目標(biāo)的概率；(2)2人中恰有1人射中目標(biāo)的概率；(3)2人至少有1人

8、射中目標(biāo)的概率；(4)2人至多有1人射中目標(biāo)的概率。解：記“甲射擊1次，擊中目標(biāo)”為事件A； “乙射擊1次，擊中目標(biāo)”為事件B，則A與B，為相互獨(dú)立事件(1)2人都射中目標(biāo)的概率為： 2人都射中目標(biāo)的概率為；(2)“2人各射擊1次，恰有1人射中目標(biāo)”包括兩種情況： 一種是甲擊中、乙未擊中(事件發(fā)生)； 另一種是甲未擊中、乙擊中(事件發(fā)生) 根據(jù)題意，事件互斥， 根據(jù)互斥事件的概率加法公式和相互獨(dú)立事件的概率乘法公式， 所求的概率為： =0.8×(1-0.9)+(1-0.8)×0.9 =0.08+0.18 =0.26 2人中恰有1人射中目標(biāo)的概率是026；(3)(法1)：2人

9、至少有1人射中包括“2人都中”和“2人有1人不中”2種情況， 其概率為(法2)：“2人至少有一個(gè)擊中”與“2人都未擊中”為對(duì)立事件， 2個(gè)都未擊中目標(biāo)的概率是“兩人至少有1人擊中目標(biāo)”的概率為(4)(法1)：“至多有1人擊中目標(biāo)”包括“有1人擊中”和“2人都未擊中”，故所求概率為： =0.02+0.08+0.18=0.28(法2)：“至多有1人擊中目標(biāo)”的對(duì)立事件是“2人都擊中目標(biāo)”，故所求概率為例4、如圖：用A、B、C、D四類不同的元件連接成系統(tǒng)N，當(dāng)元件A正常工作且元件B、C都正常工作，或當(dāng)元件A正常工作且元件D正常工作時(shí)，系統(tǒng)N正常工作已知元件A、B、C、D正常工作的概率依次為(I)求元

10、件A不正常工作的概率；(II)求元件A、B、C都正常工作的概率；(III)求系統(tǒng)N正常工作的概率解： (I)元件A正常工作的概率，它不正常工作的概率為；(II)元件A、B、C都正常工作的概率；(III)系統(tǒng)N正常工作可分為A、B、C都正常工作和A、D正常工作但B、C不都正常工作兩種情況，前者概率，后者的概率為 所以系統(tǒng)N正常工作的概率是：例5、已知某種高炮在它控制的區(qū)域內(nèi)擊中敵機(jī)的概率為0.2(1)假定有5門這種高炮控制某個(gè)區(qū)域，求敵機(jī)進(jìn)入這個(gè)區(qū)域后未被擊中的概率；(2)要使敵機(jī)一旦進(jìn)入這個(gè)區(qū)域后有0.9以上的概率被擊中，需至少布置幾門高炮?分析：因?yàn)閿硻C(jī)被擊中的就是至少有1門高炮擊中敵機(jī)，故

11、敵機(jī)被擊中的概率即為至少有1門高炮擊中敵機(jī)的概率解：(1)設(shè)敵機(jī)被第k門高炮擊中的事件為Ak(k=1，2，3，4，5)，那么5門高炮都未擊中敵機(jī)的事件為事件相互獨(dú)立，敵機(jī)未被擊中的概率為：敵機(jī)未被擊中的概率為：；(2)至少需要布置n門高炮才能有0.9以上的概率被擊中，仿(1)可得：敵機(jī)被擊中的概率為兩邊取常用對(duì)數(shù)，得nN+，n=11至少需要布置1l門高炮才能有0.9以上的概率擊中敵機(jī)點(diǎn)評(píng)：上面例1和例2的解法，都是解應(yīng)用題的逆向思考方法，采用這種方法在解決帶有詞語“至多”、“至少”的問題時(shí)的運(yùn)用，常常能使問題的解答變得簡(jiǎn)便例6、某氣象站天氣預(yù)報(bào)的準(zhǔn)確率為80，計(jì)算(結(jié)果保留兩個(gè)有效數(shù)字)：(1

12、)5次預(yù)報(bào)中恰有4次準(zhǔn)確的概率；(2)5次預(yù)報(bào)中至少有4次準(zhǔn)確的概率解：(1)記“預(yù)報(bào)1次，結(jié)果準(zhǔn)確”為事件A預(yù)報(bào)5次相當(dāng)于5次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，根據(jù)n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中某事件恰好發(fā)生k次的概率計(jì)算公式，5次預(yù)報(bào)中恰有4次準(zhǔn)確的概率答：5次預(yù)報(bào)中恰有4次準(zhǔn)確的概率約為0.41(2)5次預(yù)報(bào)中至少有4次準(zhǔn)確的概率，就是5次預(yù)報(bào)中恰有4次準(zhǔn)確的概率與5次預(yù)報(bào)都準(zhǔn)確的概率的和， 即 =0.84+0.850.410+0.3280.74答：5次預(yù)報(bào)中至少有4次準(zhǔn)確的概率約為0.74。例7、某單位6個(gè)員工借助互聯(lián)網(wǎng)開展工作，每個(gè)員工上網(wǎng)的概率都是0.5(相互獨(dú)立)。(1)求至少3人同時(shí)上網(wǎng)的概率；(2)至少幾人

13、同時(shí)上網(wǎng)的概率小于0.3？解：(1)至少3人同時(shí)上網(wǎng)的概率等于l減去至多2人同時(shí)上網(wǎng)的概率， 即(2)至少4人同時(shí)上網(wǎng)的概率為至少5人同時(shí)上網(wǎng)的概率為因此至少5人同時(shí)上網(wǎng)的概率小于0.3.例8、實(shí)力相等的甲、乙兩隊(duì)參加乒乓球團(tuán)體比賽，規(guī)定5局3勝制(即5局內(nèi)誰先贏3局就算勝出并停止比賽)(1)試分別求甲打完3局、4局、5局才能取勝的概率(2)按比賽規(guī)則甲獲勝的概率解：甲、乙兩隊(duì)實(shí)力相等，所以每局比賽甲獲勝的概率為，乙獲勝的概率為記事件A=“甲打完3局才能取勝”，記事件B=“甲打完4局才能取勝”，記事件C=“甲打完5局才能取勝”甲打完3局取勝，相當(dāng)于進(jìn)行3次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，且每局比賽甲均取勝甲打完

14、3局取勝的概率為甲打完4局才能取勝，相當(dāng)于進(jìn)行4次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，且甲第4局比賽取勝，前3局為2勝l負(fù)甲打完4局才能取勝的概率為甲打完5局才能取勝，相當(dāng)于進(jìn)行5次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，且甲第5局比賽取勝，前4局恰好2勝2負(fù)甲打完5局才能取勝的概率為(2)事件D=“按比賽規(guī)則甲獲勝”，則D=A+B+C， 又因?yàn)槭录嗀、B、C彼此互斥， 故 答：按比賽規(guī)則甲獲勝的概率為例9、甲、乙兩人各射擊一次，擊中目標(biāo)的概率分別是，假設(shè)兩人每次射擊是否擊中目標(biāo)相互之間沒有影響(I)求甲射擊5次，有兩次未擊中目標(biāo)的概率；(II)假設(shè)某人連續(xù)2次未擊中目標(biāo)，則中止其射擊，求乙恰好射擊5次后，被中止射擊的概率解：(I)設(shè)“甲射

15、擊5次，有兩次未擊中目標(biāo)”為事件A， 則 答：甲射擊5次，有兩次未擊中目標(biāo)的概率為(II)設(shè)“乙恰好射擊5次后，被中止射擊”為事件C，由于乙恰好射擊5次后被中止射擊，所以必然是最后兩次未擊中目標(biāo)，第一次及第二次至多次有一次未擊中目標(biāo)，則答：乙恰好射擊5次后，被中止射擊的概率為鞏固練習(xí)1、甲射擊命中目標(biāo)的概率是，乙命中目標(biāo)的概率是，丙命中目標(biāo)的概率是，現(xiàn)在三人同時(shí)射擊目標(biāo)，則目標(biāo)被擊中的概率為( )A. B. C. D. 2、一批零件10個(gè)，其中有8個(gè)合格品，2個(gè)次品，每次任取一個(gè)零件裝配機(jī)器，若第一次取得合格品的概率是Pl，第二次取得合格品的概率是P2，則( )A. P1>P2 B. P

16、1=P2 C. P1<P2 D. P1=2P23、一個(gè)學(xué)生通過某種英語聽力測(cè)試的概率是12，他連續(xù)測(cè)試n次，要保證他至少有一次通過的概率大于0.9，那么n的最小值為( )A、3 B、4 C、5 D、64、甲、乙兩人投籃命中的概率分別為p、q，他們各投兩次，若p=12，且甲比乙投中次數(shù)多的概率恰好等于736，則q的值為( )A. B. C. D. 5、有1個(gè)數(shù)字難題，在半小時(shí)內(nèi)，甲能解決它的概率是，乙能解決它的概率是，兩人試圖獨(dú)立地在半小時(shí)內(nèi)解決它，則：兩人都未解決的概率為_；問題得到解決的概率為_。6、在5名學(xué)生（3男2女)中安排兩名學(xué)生值日，其中至少有1名女生的概率是_7、有10件產(chǎn)品

17、分三個(gè)等次，其中一等品4件，二等品3件，三等品3件，從10件產(chǎn)品中任取2件，則取出的2件產(chǎn)品同等次的概率為_8、甲、乙兩名圍棋選手在一次比賽中對(duì)局，分析甲勝的概率比乙勝的概率高5，和棋的概率為59，則乙勝的概率為_9、甲、乙兩人各進(jìn)行一次射擊，如果兩人擊中目標(biāo)的概率都是0.6，計(jì)算：(1)兩人都擊中目標(biāo)的概率；(2)其中恰有一人擊中目標(biāo)的概率；(3)至少有一人擊中目標(biāo)的概率10、從52張(沒有大小王)撲克牌中隨機(jī)抽取5張，試求下列事件的概率：(1)5張牌同一花色；(2)恰有兩張點(diǎn)數(shù)相同而另三張點(diǎn)數(shù)不同；(3)恰好有兩個(gè)兩張點(diǎn)數(shù)相同而另一張是另外的點(diǎn)數(shù)；(4)恰好有四張點(diǎn)數(shù)相同參考答案：1. A2. B 3. B4. C5. ，；6. 0.7； 7. ；8. 0.189. 解：(1)我們把“甲射擊一次擊中目標(biāo)”叫做事件A；“乙射擊一次擊中目標(biāo)”叫做事件B， 顯然事件A、B相互獨(dú)立， 所以兩