含參不等式的解法

1、第1頁(共5頁)不等式( (3)-含參不等式的解法當(dāng)在一個(gè)不等式中含有了字母，則稱這一不等式為含參數(shù)的不等式，那么此時(shí)的參數(shù)可以從以下兩個(gè)方 面來影響不等式的求解，首先是對(duì)不等式的類型(即是那一種不等式)的影響，其次是字母對(duì)這個(gè)不等式的 解的大小的影響。 我們必須通過分類討論才可解決上述兩個(gè)問題，同時(shí)還要注意是參數(shù)的選取確定了不等式的解，而不是不等式的解來區(qū)分參數(shù)的討論。解參數(shù)不等式一直是高考所考查的重點(diǎn)內(nèi)容。(一)幾類常見的含參數(shù)不等式一、含參數(shù)的一元二次不等式的解法：例1:解關(guān)于的x不等式(m - 1)x?-4x 1遼0(m：= R)分析：當(dāng)m+1=0時(shí),它是一個(gè)關(guān)于x的一元一次不等式；當(dāng)

2、m+1 = 1時(shí)，還需對(duì)m+10及m+10來分類 討論，并結(jié)合判別式及圖象的開口方向進(jìn)行分類討論：當(dāng)m0，圖象開口向下，與x軸有兩個(gè)不同交點(diǎn)，不等式的解集取兩邊。當(dāng)一1m0,圖象開口向上，與x軸有兩個(gè)不同交點(diǎn)，不等式的解集取中間。當(dāng)m=3時(shí)，=4(3m)=0，圖象開口向上，與x軸只有一個(gè)公共點(diǎn)，不等式的解為方程4x?-4x=0的根。當(dāng)m3時(shí)，=4(3m)0,圖象開口向上全部在x軸的上方，不等式的解集為.。11解：當(dāng)m=1時(shí),原不等式的解集為x|x_;I4j當(dāng)m-1時(shí),(m *1)x2-4x，1二0的判別式.：=4(3 m);貝V當(dāng)mc1時(shí)，原不等式的解集為 丿x | x Z23_m或x蘭2+丫

3、3_口卜m+1m+1當(dāng)-1 wm m+1m+1當(dāng)m=3時(shí)，原不等式的解集為$x | X= 1；當(dāng)m3時(shí)，原不等式的解集為.一。小結(jié)：解含參數(shù)的一元二次不等式可先分解因式再討論求解，若不易分解，也可對(duì)判別式分類討論。利用函數(shù)圖象必須明確：圖象開口方向，判別式確定解的存在范圍，兩根大小。二次項(xiàng)的取值(如取0、取正值、取負(fù)值)對(duì)不等式實(shí)際解的影響。牛刀小試：解關(guān)于x的不等式ax2-2(a 1)x 4 0,(a 0)思路點(diǎn)撥：先將左邊分解因式，找出兩根，然后就兩根的大小關(guān)系寫出解集。具體解答請(qǐng)同學(xué)們自己完 成。二、含參數(shù)的分式不等式的解法：例2：解關(guān)于x的不等式:X T0 x一x -2分析：解此分式不

4、等式先要等價(jià)轉(zhuǎn)化為整式不等式，再對(duì)ax1中的a進(jìn)行分類討論求解，還需用到序軸標(biāo)根法。解：原不等式等價(jià)于(ax -1)(2)(x 1)0當(dāng)a=0時(shí)，原不等式等價(jià)于(x -2)(x 1)：0解得-1：x：2，此時(shí)原不等式得解集為x| -1：x：2；第2頁(共5頁)1當(dāng)a0時(shí),原不等式等價(jià)于(x_丄)(x_2)(x J) .0,a則：當(dāng)a =-時(shí)，原不等式的解集為Cx|x . -1 且 x=2?;21當(dāng)a0時(shí)，原不等式等價(jià)于(x_丄)(x_2)(x 1)：0,a則當(dāng)a = -1時(shí)，原不等式的解集為*|x：2 且 x =-V;當(dāng)-仁a0時(shí)，原不等式的解集為x|x：或-仁：x：2；當(dāng)a c1時(shí)，原不等式

5、的解集為xlxC或丄cx1和a1分為兩類，再在a1的情況下，又要按兩根 廠2與2的大小關(guān)系分為a : 0,a二0 和0 a1三種情況。有很多同學(xué)找不到分類a 1的依據(jù)，缺乏分類討論的意識(shí)，通過練習(xí)可能會(huì)有所啟示。具體解答請(qǐng)同學(xué)們自己完成。三、含參數(shù)的絕對(duì)值不等式的解法：例3：解關(guān)于x的不等式|ax-2|_bx,(a 0,b 0)分析：解絕對(duì)值不等式的思路是去掉絕對(duì)值符號(hào)，本題要用到同解變形|f(x)|丄g(x) f (x) g(x)或f(x)亠g(x)，首先將原不等式化為不含絕對(duì)值符號(hào)的不等式，然后就a、b兩個(gè)參數(shù)間的大小關(guān)系分類討論求解。解：|ax-2|丄bx= ax-2_-bx 或 ax-

6、2_bx= (a b)x2 或(a-b)x_22當(dāng)0或a一1：當(dāng)a丄時(shí)，原不等式的解集為21、x | -1：x或x 2 a當(dāng)a b 0時(shí),(a b)x_2 或(a-b)x_2= x -此時(shí)原不等式的解集為*x| x蘭2 2或x_亠a b a -b第3頁(共5頁)當(dāng)a =b -0時(shí)，由(a b)x _2得x _ ,而(a - b)x亠2無解，a +b此時(shí)原不等式的解集為2a b第4頁（共5頁）x*2-a +b22f (x) g (x)利用同解變形：|x|：a= -a x a, (a 0);| x| a：= x：a 或 x a,(a 0);| f (x) |g(x)= g(x)乞f(x)乞g(x)

7、; | f(x)|_ g(x)= f (x)乞-g(x)或f(x)一g(x)；（二）解含參數(shù)不等式的常用方法一、通過討論解帶參數(shù)不等式例1：x2-X - a（a -1） 02例2：關(guān)于x的不等式ax - （a-1）x a -1：0對(duì)于R恒成立，求a的取值范圍。二、已知解集的參數(shù)不等式例3：已知集合A=_2ax a 2仝0，若BA，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.三、使用變量分離方法解帶參數(shù)不等式21例4：若不等式x2+ ax+1 _0對(duì)于一切（0,）成立，則a的取值范圍2例5：設(shè)f x =lg門工k,其中a是實(shí)數(shù)，n是任意給定的自然數(shù)且n2,若f x.n當(dāng)x ,1 1時(shí)有意義，求a的取值范圍。例6：已知定

8、義在R上函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，且在0, :上是增函數(shù)，對(duì)于任意R求實(shí)數(shù)m范圍，使f cos2v - 3 f 4m-2mcos【恒成立。思考：對(duì)于（0,3）上的一切實(shí)數(shù)x,不等式x-2m：2x-1恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范 圍。如何求解？分離參數(shù)法適用題型：（1）參數(shù)與變量能分離；（2）函數(shù)的最值易求出。四、主參換位法解帶參數(shù)不等式某些含參不等式恒成立問題，在分離參數(shù)會(huì)遇到討論的麻煩或者即使能容易分離出參數(shù)與變量，但函數(shù)的最值卻難以求出時(shí)，可考慮變換思維角度。即把變?cè)c參數(shù)換個(gè)位置，再結(jié)合其它知識(shí)，往往會(huì)取得出 奇制勝的效果。一般情況下，如果給出參數(shù)的范圍，則可以把參數(shù)看作主變量，進(jìn)行研究。例7：

9、若對(duì)于任意I：- 1,11,函數(shù)fx =x2 a-4x，4-2a的值恒大于0,求x的取值范圍。分析：此題若把它看成x的二次函數(shù)，由于a, x都要變，則函數(shù)的最小值很難求出，思路 受阻。若視a為主元，則給解題帶來轉(zhuǎn)機(jī)。例&已知-9豈a1,關(guān)于x的不等式：ax2-5x，4：0恒成立，求x的范圍。當(dāng)0 :a: b時(shí)，(a b)x豈2或(a - b)x _ 2：=x或 xa +b2x 2log2x + p恒成立，求實(shí)數(shù)x的取值范圍。例10:對(duì)于（0,3） 上的一切實(shí)數(shù)x,不等式（x-2m：2x-1恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍。分析：一般的思路是求x的表達(dá)式，利用條件求m的取值范圍。但求x的表達(dá)式時(shí)，兩邊必須除以有 關(guān)m的式子，涉及對(duì)m討論，顯得麻煩。五、數(shù)形結(jié)合法/ 1 例11：若不等式3x?-Iogaxc0在x壬0, i內(nèi)恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。 3丿 六、構(gòu)建