靜電場(chǎng)中的高斯定理

1、目錄 1前言22靜電場(chǎng)中的高斯定理的定義23高斯定理的推導(dǎo)過(guò)程33.1電場(chǎng)線33.2電場(chǎng)強(qiáng)度通量43.3高斯定理的推導(dǎo)54高斯定理的應(yīng)用7參考文獻(xiàn)：9靜電場(chǎng)的高斯定理劉慧君（學(xué)號(hào)：20111104295）（物理與電子信息學(xué)院 11級(jí)電子信息工程1班，內(nèi)蒙古 呼和浩特 010022）指導(dǎo)教師：劉淑琴 摘要：本文意在論述靜電場(chǎng)中的高斯定理的定義、推導(dǎo)過(guò)程以及其在靜電場(chǎng)中的應(yīng)用方法。方法是通過(guò)討論電通量與場(chǎng)源電荷之間的關(guān)系得出高斯定理，應(yīng)用高斯定理求解幾種情況下的場(chǎng)強(qiáng)大小及其分布情況，然后根據(jù)例題總結(jié)出高斯定理在靜電場(chǎng)中應(yīng)用的方法。 關(guān)鍵詞：靜電場(chǎng)；高斯定理；定義；推導(dǎo)過(guò)程；應(yīng)用方法 中圖分類號(hào)：O

2、44 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A1前言電磁學(xué)是研究電磁相互作用和電磁運(yùn)動(dòng)基本規(guī)律的一門學(xué)科，是經(jīng)典物理學(xué)的一個(gè)重要分支，也是近代物理學(xué)不可缺少的基礎(chǔ)。而靜電場(chǎng)中的高斯定理就是電磁學(xué)的一部分，同時(shí)靜電場(chǎng)中的高斯定理是電磁學(xué)中的重要定理之一。以前我們學(xué)習(xí)了勻場(chǎng)電場(chǎng)中有關(guān)場(chǎng)強(qiáng)的解答方法，但如果是在場(chǎng)強(qiáng)分布不均勻的電場(chǎng)中，我們又該怎樣解出場(chǎng)強(qiáng)來(lái)呢？或許你想到了運(yùn)用高等數(shù)學(xué)里所學(xué)習(xí)的積分來(lái)解答，積分對(duì)于大多數(shù)人來(lái)講它過(guò)于復(fù)雜了。還有沒(méi)有更加簡(jiǎn)單快速的方法呢？學(xué)習(xí)了靜電場(chǎng)中的高斯定理之后，你會(huì)發(fā)現(xiàn)：原來(lái)一切都是那么簡(jiǎn)單。是的，運(yùn)用靜電場(chǎng)中的高斯定理你無(wú)需在使用復(fù)雜的積分，你只需要做一個(gè)簡(jiǎn)單的高斯面就可以快速解答一切有

3、關(guān)求場(chǎng)強(qiáng)的問(wèn)題了。無(wú)論它有多么復(fù)雜，只要你熟練掌握了靜電場(chǎng)中高斯定理的應(yīng)用方法。2靜電場(chǎng)中的高斯定理的定義靜電場(chǎng)中的高斯定理是電磁學(xué)中的重要定理之一，表述為：在靜電場(chǎng)中，通過(guò)任意閉合曲面S的電通量等于該面所包圍的所有電荷電量的代數(shù)和除以，而與閉合曲面外的電荷無(wú)關(guān)；數(shù)學(xué)公式表示為式中表示沿一個(gè)閉合曲面S的積分，該閉合曲面S通常稱為高斯面。由上式可以看出閉合曲面的電通量只與閉合面內(nèi)的電荷有關(guān)，閉合面外的電荷對(duì)閉合曲面的電通量沒(méi)有貢獻(xiàn)。3高斯定理的推導(dǎo)過(guò)程3.1電場(chǎng)線引入電場(chǎng)線可形象地描繪電場(chǎng)在空間的分布。電場(chǎng)線是按下述規(guī)定的一系列假想曲線：曲線上任意一點(diǎn)的切線方向表示該點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)方向，曲線在某處的疏

4、密程度表示該處的場(chǎng)強(qiáng)的大小。電場(chǎng)線可以用實(shí)驗(yàn)演示出來(lái)，圖1中實(shí)線所示的是幾種電荷的電場(chǎng)線分布。 (a)正點(diǎn)電荷 (b)負(fù)點(diǎn)電荷 (c)等量異號(hào)點(diǎn)電荷 (d)等量同號(hào)點(diǎn)電荷 (e)等量異號(hào)帶電平行板圖1 幾種特殊情況下電場(chǎng)線的分布從圖1可以看出，靜電場(chǎng)中的電場(chǎng)線具有如下一些普遍性質(zhì)：（1） 電場(chǎng)線起始于正點(diǎn)電荷（或來(lái)自無(wú)窮遠(yuǎn)），終止于負(fù)點(diǎn)電荷（或伸向無(wú)窮遠(yuǎn)），不會(huì)在沒(méi)有電荷的地方中斷；（2） 電場(chǎng)線不會(huì)形成閉合線；（3） 任何兩條電場(chǎng)線電場(chǎng)線都不會(huì)相交。注意：引入電場(chǎng)線是為了形象地表示電場(chǎng)的分布，并不是電場(chǎng)中真的有電場(chǎng)線存在，特別是，電場(chǎng)線一般都不是電荷在電場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)軌跡。3.2電場(chǎng)強(qiáng)度通量規(guī)定

5、通過(guò)垂直于電場(chǎng)中某點(diǎn)場(chǎng)強(qiáng)方向的單位面積上的電場(chǎng)線數(shù)目，等于該點(diǎn)場(chǎng)強(qiáng)的大小。穿過(guò)電場(chǎng)中某一面積的電場(chǎng)線總數(shù)稱為穿過(guò)這個(gè)面的電場(chǎng)強(qiáng)度通量，簡(jiǎn)稱電通量，用符號(hào)表示。則穿過(guò)電場(chǎng)中垂直于某點(diǎn)場(chǎng)強(qiáng)方向的某一面積的電通量為。對(duì)于電場(chǎng)中的任意面元,定義面元矢量，為法向單位矢量。設(shè)該處場(chǎng)強(qiáng)與的夾角為，如圖2所示，穿過(guò)的電場(chǎng)線數(shù)目也就是穿過(guò)垂直于的投影面元(即)的電場(chǎng)線數(shù)目。由于，故通過(guò)面元的電通量可表示為 （1） 圖2面元的電通量即通過(guò)任一面元的電通量等于該點(diǎn)處場(chǎng)強(qiáng)與其面元矢量的標(biāo)量積。（1）式定義的電通量有正有負(fù)：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，。對(duì)于有限大曲面S，場(chǎng)強(qiáng)大小和方向一般都是逐點(diǎn)變化的。要計(jì)算通過(guò)它的電通量，就必須

6、先把它分成許多個(gè)無(wú)限小面元，按上式表示出各面元的電通量，然后積分即可求出通過(guò)該曲面的總電通量為 （2）對(duì)于閉合曲面S，其電通量為 （3）對(duì)于不閉合的曲面，面上各處的法線方向可以任意規(guī)定。對(duì)于閉合曲面，由于它將整個(gè)空間分割為內(nèi)外兩個(gè)區(qū)域，要區(qū)分電場(chǎng)線是穿入還是穿出該面，一般規(guī)定自內(nèi)向外的方向?yàn)檎ㄏ?。因此，電?chǎng)線穿出的地方（如圖3中的A處）電通量為正；電場(chǎng)線穿入的地方（如圖3中的B處）電通量為負(fù)。圖3 穿過(guò)閉合曲面的電通量3.3高斯定理的推導(dǎo)設(shè)電場(chǎng)是由單個(gè)點(diǎn)電荷q產(chǎn)生的，根據(jù)其場(chǎng)強(qiáng)分布具有球?qū)ΨQ性和電通量的定義，以此點(diǎn)電荷為球心作一個(gè)半徑r的球面,如圖(a)所示，球面上各處的法向均為徑向，因而與

7、場(chǎng)強(qiáng)同向，則通過(guò)球面的電通量為 （4）這一結(jié)果與球面的半徑r無(wú)關(guān)，只與它所包圍的電荷有關(guān)，即對(duì)以q為球心的任意球面都有上述結(jié)果。再設(shè)想另一個(gè)閉合曲面S，它與球面包圍的是同一電荷q。由于電場(chǎng)線的連續(xù)性，通過(guò)S的電通量和通過(guò)的電通量是一樣的。因此，通過(guò)包圍點(diǎn)電荷q的任意形狀的閉合曲面的電通量都等于。 (a)包含點(diǎn)電荷q (b)不包含點(diǎn)電荷q圖4 高斯定理的推導(dǎo)如果閉合曲面S不含該點(diǎn)電荷q，如圖(b)所示，則根據(jù)電場(chǎng)線的連續(xù)性，由一側(cè)穿進(jìn)去的電場(chǎng)線條數(shù)一定等于從另一側(cè)穿出來(lái)的電場(chǎng)線條數(shù)，即電通量為0。因此，單個(gè)點(diǎn)電荷q所產(chǎn)生的電場(chǎng)對(duì)任一閉合曲面的電通量為 （5）對(duì)于點(diǎn)電荷組成的點(diǎn)電荷系，根據(jù)場(chǎng)強(qiáng)疊加

8、原理，在它們的電場(chǎng)中的任一閉合曲面S的電通量為為單個(gè)點(diǎn)電荷的電場(chǎng)通過(guò)S的電通量，當(dāng)S包圍時(shí)等于；當(dāng)S不包圍時(shí)等于零。因此在點(diǎn)電荷系的電場(chǎng)中，有 （6）式中的為n個(gè)點(diǎn)電荷在處激發(fā)的總場(chǎng)強(qiáng)，是包圍在閉合曲面S內(nèi)的總電量。上式表明靜電場(chǎng)的高斯定理成立。由于任意帶電體的電場(chǎng)可以看成無(wú)限多個(gè)電荷元電場(chǎng)的疊加，故（4）式對(duì)任意帶電體的電場(chǎng)都成立。4高斯定理的應(yīng)用例 1 求均勻帶正電球體內(nèi)外的電場(chǎng)分布，設(shè)球體帶電量為q，半徑為R。解 由于電荷分布的球?qū)ΨQ性，它所激發(fā)的電場(chǎng)也具有球?qū)ΨQ性。故可選取半徑為r的球形高斯面，此球面上的場(chǎng)強(qiáng)大小處處相等，方向均與所在處法向一致。（1）當(dāng)r<R時(shí)，穿過(guò)高斯面的電通

9、量為 由于球體均勻帶電荷，高斯面內(nèi)的電荷為由高斯定理，應(yīng)有 圖5 勻強(qiáng)帶電球體的場(chǎng)強(qiáng)分布故球體內(nèi)的場(chǎng)強(qiáng)大小為（2）當(dāng)r>R時(shí)，穿過(guò)高斯面的電通量為高斯面內(nèi)的電荷為q，由高斯定理，可得球體外的場(chǎng)強(qiáng)大小為 即均勻帶電球體內(nèi)一點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)大小與場(chǎng)點(diǎn)離成正比，而體外的場(chǎng)強(qiáng)分布則完全類似于點(diǎn)電荷。例 2 求半徑R的無(wú)限均勻帶正電圓柱面的場(chǎng)強(qiáng)分布，電荷面密度為。 解 由于電荷分布的軸對(duì)稱性，它所產(chǎn)生的電場(chǎng)也具有軸對(duì)稱性，即離開圓柱面軸線等距離的各點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)大小相等方向都垂直于圓柱面（帶正電荷時(shí)向外）。根據(jù)這種對(duì)稱性，求圓柱體外一點(diǎn)P的電場(chǎng)時(shí)，過(guò)P作一同軸閉合圓柱面S，其高為h、半徑為r。由上可知，該圓柱側(cè)

10、面上各點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)大小相等，方向都與圓柱側(cè)面正法向一致，而上下底面的正法向卻與其上的場(chǎng)強(qiáng)處處垂直。因此，通過(guò)S面的電通量為 S面包圍的電荷為，根據(jù)高斯定理應(yīng)有 故 圖6 帶正電圓柱面的場(chǎng)強(qiáng)分 例 3 求均勻帶正電的無(wú)限大平面薄板的場(chǎng)強(qiáng)分布，電荷面密度為。解 由于電荷分布的平面對(duì)稱性，它所激發(fā)的電場(chǎng)也具有平面對(duì)稱性。在離平面等距離的地方場(chǎng)強(qiáng)大小相等，兩側(cè)場(chǎng)強(qiáng)方向相反且均背離平面。故選取側(cè)面與帶電平面垂直、面積均為的兩底面與帶電平面平行的對(duì)稱柱形高斯面。此柱面的電通量為 柱面包圍的電荷為，根據(jù)高斯定理應(yīng)有 圖3 無(wú)限大帶電平面的場(chǎng)強(qiáng)分布 故 上式表明，無(wú)限大均勻帶電平面兩側(cè)附近是勻強(qiáng)電場(chǎng)，場(chǎng)強(qiáng)的大小與場(chǎng)點(diǎn)到帶電平面的距離無(wú)關(guān)。 從以上例子的討論可以看出，只有電荷分布具有某種對(duì)稱性，才可相應(yīng)地選取簡(jiǎn)單的幾何面作為