鋼結(jié)構(gòu)框架體系的結(jié)構(gòu)系統(tǒng)可靠度計(jì)算

1、第十七章 結(jié)構(gòu)系統(tǒng)可靠度計(jì)算第一節(jié) 結(jié)構(gòu)可靠度基本概念一、結(jié)構(gòu)的功能要求各種工程結(jié)構(gòu)都必須滿足下列四項(xiàng)基本要求：（1） 能承受在正常施工和正常使用時(shí)可能出現(xiàn)的各種作用；（2） 在正常使用時(shí)具有良好的工作性能；（3） 正常維護(hù)下具有良好的耐久性能；（4） 在偶然事件發(fā)生時(shí)（如地震、火災(zāi)等）及發(fā)生后，仍能保持必須的整體穩(wěn)定性。上述第（1）、（4）項(xiàng)為結(jié)構(gòu)的安全性要求，第（2）項(xiàng)為結(jié)構(gòu)的使用性要求，第（3）項(xiàng)為結(jié)構(gòu)的耐久性要求。結(jié)構(gòu)若同時(shí)滿足安全性、適用性和耐久性要求，則稱該結(jié)構(gòu)可靠，即結(jié)構(gòu)的可靠性是結(jié)構(gòu)安全性、適用性和耐久性的統(tǒng)稱。二、機(jī)構(gòu)的功能函數(shù)一般情況下，總可以將影響結(jié)構(gòu)可靠性的因素歸納為兩

2、個(gè)綜合量，即結(jié)構(gòu)或機(jī)構(gòu)構(gòu)件的載荷效應(yīng)S和抗力R。令 Z=g(R，S)=RS （17-1）實(shí)際工程結(jié)構(gòu)的載荷效應(yīng)S和抗力R均為隨機(jī)變量，由此Z也是一個(gè)隨機(jī)變量，總可能出現(xiàn)下列三種情況：Z>0 結(jié)構(gòu)可靠Z<0 結(jié)構(gòu)失效 Z=0 結(jié)構(gòu)處于極限狀態(tài)由于根據(jù)Z值的大小，可以判斷結(jié)構(gòu)是否滿足某一確定功能要求，因此稱式（17-1）表達(dá)的Z為結(jié)構(gòu)功能函數(shù)。而把 Z=RS=0 （17-2）成為極限狀態(tài)方程。由于影響荷載效應(yīng)S和結(jié)構(gòu)抗力R都有很多更基本的隨機(jī)變量（如截面幾何特性、結(jié)構(gòu)尺寸、材料性能等），設(shè)這些隨機(jī)變量為X1、X2、Xn，則結(jié)構(gòu)功能函數(shù)的一般形式為 Z=g（X1，X2，Xn） （17-3

3、）三、結(jié)構(gòu)極限狀態(tài)結(jié)構(gòu)的極限狀態(tài)是結(jié)構(gòu)由可靠轉(zhuǎn)變?yōu)槭У呐R界狀態(tài)。如果整個(gè)結(jié)構(gòu)或結(jié)構(gòu)的一部分超過(guò)某一特定狀態(tài)就不能滿足設(shè)計(jì)規(guī)定的某一功能要求，則此特定狀態(tài)成為該功能的極限狀態(tài)。結(jié)構(gòu)的極限狀態(tài)可分為以下兩類：1、承載能力的極限狀態(tài)這種極限狀態(tài)對(duì)應(yīng)于結(jié)構(gòu)或結(jié)構(gòu)構(gòu)件達(dá)到最大承載能力或不適用繼續(xù)承載的變形。當(dāng)結(jié)構(gòu)或結(jié)構(gòu)構(gòu)件出現(xiàn)下列狀態(tài)之一時(shí)，即認(rèn)為超過(guò)了承載能力極限狀態(tài)：（1） 整個(gè)結(jié)構(gòu)或結(jié)構(gòu)的一部分作為剛體失去平衡（如傾覆等）；（2） 結(jié)構(gòu)構(gòu)件或連接因材料強(qiáng)度被超過(guò)而破壞（包括疲勞破壞），或因過(guò)度的塑性變形而不適用于繼續(xù)承載；（3） 結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)變?yōu)闄C(jī)動(dòng)體系；（4） 結(jié)構(gòu)或結(jié)構(gòu)構(gòu)件喪失穩(wěn)定（如壓屈等）。

4、2、正常使用極限狀態(tài) 這種極限狀態(tài)對(duì)應(yīng)于結(jié)構(gòu)或結(jié)構(gòu)構(gòu)件達(dá)到正常使用或耐久性能的某項(xiàng)規(guī)定限值。當(dāng)結(jié)構(gòu)或結(jié)構(gòu)構(gòu)件出現(xiàn)下列狀態(tài)之一時(shí)，即認(rèn)為超過(guò)了正常使用極限狀態(tài)：（1） 影響正常使用或外觀的變形；（2） 影響正常使用或耐久性能的局部損壞（包括裂縫）；（3） 影響正常使用的振動(dòng)；（4） 影響正常使用的其他特定狀態(tài)。四、結(jié)構(gòu)可靠度結(jié)構(gòu)可靠度是結(jié)構(gòu)可靠性的概率量度。其更明確、更科學(xué)的定義是：結(jié)構(gòu)在規(guī)定的時(shí)間內(nèi)，在規(guī)定的條件下，完成預(yù)定功能的概率。上述“規(guī)定的時(shí)間”，一般指結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)基準(zhǔn)期，目前世界上大多數(shù)國(guó)家普通結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)基準(zhǔn)期均為50年。由于載荷效應(yīng)一般隨設(shè)計(jì)基準(zhǔn)期增大而增大（設(shè)計(jì)應(yīng)取設(shè)計(jì)基準(zhǔn)期內(nèi)的最大

5、值），而影響結(jié)構(gòu)抗力的材料性能指標(biāo)則隨設(shè)計(jì)基準(zhǔn)期的增大而減小，因此結(jié)構(gòu)可靠度與“規(guī)定的時(shí)間”有關(guān)，“規(guī)定的時(shí)間”越長(zhǎng)，結(jié)構(gòu)的可靠度越低。結(jié)構(gòu)可靠度定義中“規(guī)定的條件”，指正常設(shè)計(jì)、正常施工、正常使用條件，不考慮人為錯(cuò)誤或過(guò)失因素。人為錯(cuò)誤或過(guò)失所造成的結(jié)構(gòu)失效為結(jié)構(gòu)事故，應(yīng)通過(guò)質(zhì)量監(jiān)督和加強(qiáng)管理予以克服。若已知結(jié)構(gòu)功能函數(shù)Z的概率密度分布函數(shù)（Z），則結(jié)構(gòu)的可靠度可按下式計(jì)算 (17-4)若將結(jié)構(gòu)處于失效狀態(tài)的概率稱為失效概率，以表示，則 （17-5）由于事件Z<0與事件Z0是對(duì)立的，因此結(jié)構(gòu)可靠度ps與結(jié)構(gòu)失效概率有下列關(guān)系ps+=1 （17-6）或 ps=1 （17-7）即由結(jié)構(gòu)失效

6、概率可確定結(jié)構(gòu)可靠度ps。由于結(jié)構(gòu)失效一般為小概率事件，失效概率對(duì)結(jié)構(gòu)可靠度的把握更為直觀，因此工程結(jié)構(gòu)可靠度分析一般計(jì)算結(jié)構(gòu)失效概率。若已知結(jié)構(gòu)載荷效應(yīng)S和抗力R的概率分布密度函數(shù)分別為fS（S）及fR（R），且S與R相互獨(dú)立，則 （17-8）此時(shí)結(jié)構(gòu)失效概率 （17-9）上式如先對(duì)R積分再對(duì)S積分，成為 （17-10）如式（17-9）先對(duì)S積分再對(duì)R積分，成為 （17-11）式中 、分別為隨機(jī)變量R和S的概率分布函數(shù)。由于結(jié)構(gòu)抗力R和荷載效應(yīng)S均為隨機(jī)變量，因此絕對(duì)可靠的結(jié)構(gòu)（=1或=0）是不存在的。從概率的觀點(diǎn)，結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)的目標(biāo)就是保障結(jié)構(gòu)可靠度足夠大或失效概率足夠小，達(dá)到人們可以接受的程

7、度。五、可靠指標(biāo)假設(shè)在結(jié)構(gòu)功能函數(shù)Z=RS中，R和S為兩個(gè)相互獨(dú)立的正態(tài)隨機(jī)變量。它們的均值和方差分別為。有概率知識(shí)，此時(shí)Z也為正態(tài)隨機(jī)變量，其均值和方差可按下列公式計(jì)算 、 （17-12） （17-13）則結(jié)構(gòu)失效概率 （17-14）令 （17-15） （17-16）則 （17-17）其中，Y為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)隨機(jī)變量， 為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)。將式（17-15）代入式（17-14）得 （17-18）將式（17-18）用圖形表達(dá)，如圖17-1所示，當(dāng)變小時(shí)，圖17-1中陰影部分的面積增大，亦即失效概率增大；而變大時(shí)，陰影部分的面積減小，亦即失效概率減小，這說(shuō)明可以作為衡量結(jié)構(gòu)可靠度的一個(gè)數(shù)量指標(biāo)，故稱為

8、結(jié)構(gòu)可靠指標(biāo)。將式（17-12）、式（17-13）代入式（17-15）可得結(jié)構(gòu)抗力R和載荷效應(yīng)S均為正態(tài)隨機(jī)變量時(shí)，可靠指標(biāo)的表達(dá)式為 （17-19）當(dāng)R、S均為對(duì)數(shù)正態(tài)隨機(jī)變量時(shí)，失效概率的計(jì)算式為 （17-20）因lnR、lnS均為正態(tài)隨機(jī)變量，則可靠指標(biāo)為 （17-21）式中、分別為lnR、lnS的均值， 分別為lnR，lnS的標(biāo)準(zhǔn)差。可以證明，對(duì)于對(duì)數(shù)正態(tài)隨機(jī)變量X，其對(duì)數(shù)lnX的統(tǒng)計(jì)參數(shù)與其本身的統(tǒng)計(jì)參數(shù)之間的關(guān)系為 （17-22） （17-23）式中 的變異系數(shù)。應(yīng)用式（17-22）、式（17-23）可得結(jié)構(gòu)抗力R和載荷效應(yīng)S均為對(duì)數(shù)正態(tài)隨機(jī)變量時(shí)，可靠指標(biāo)的計(jì)算式為 （17-24

9、）當(dāng)結(jié)構(gòu)功能函數(shù)的基本變量不為正態(tài)分布或?qū)?shù)正態(tài)分布時(shí)，或者結(jié)構(gòu)功能函數(shù)為非線性函數(shù)時(shí)，結(jié)構(gòu)可靠指標(biāo)可能很難用基本變量的統(tǒng)計(jì)參數(shù)表達(dá)，這時(shí)要利用式（17-17），由失效概率計(jì)算可靠指標(biāo)。 （17-25）式中 表示標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)的反函數(shù)。表17-1給出了可靠指標(biāo)與的對(duì)應(yīng)關(guān)系。 與的數(shù)值關(guān)系 表17-11.01.52.02.51.59×10-16.68×10-22.28×10-26.21×10-33.03.54.04.51.35×10-32.33×10-43.17×10-53.40×10-6第二節(jié) 結(jié)構(gòu)可靠度分析的實(shí)

10、用方法按式（17-4）、式（17-5）計(jì)算結(jié)構(gòu)可靠度或失效概率需已知結(jié)構(gòu)功能函數(shù)的結(jié)構(gòu)分布，當(dāng)影響結(jié)構(gòu)功能函數(shù)的基本隨機(jī)變量較多時(shí)，實(shí)際上確定其概率分布非常困難。一般確定隨機(jī)變量的統(tǒng)計(jì)參數(shù)（如均值、方差等）較為容易，如果僅依據(jù)基本隨機(jī)變量的統(tǒng)計(jì)參數(shù)，以及它們各自的概率分布函數(shù)進(jìn)行結(jié)構(gòu)可靠度分析，則在工程上較為實(shí)用。以下介紹兩種可靠度分析的使用方法。一、中心點(diǎn)法1、結(jié)構(gòu)功能函數(shù)為線性函數(shù)情況設(shè)結(jié)構(gòu)功能函數(shù)具有如下形式 （17-26）式中、（i=1，2，n）為已知常數(shù)1，為功能函數(shù)隨機(jī)自變量。則功能函數(shù)的均值和方差分別為 （17-27） （17-28）式中 、的均值和標(biāo)準(zhǔn)差。根據(jù)概率論中心極限定理

11、，Z的分布將隨功能函數(shù)中自變量數(shù)n的增加而漸進(jìn)于正態(tài)分布，因此當(dāng)n較大時(shí)，可采用下式近似計(jì)算可靠指標(biāo) （17-29）而結(jié)構(gòu)的失效概率按式（17-17）計(jì)算。2.結(jié)構(gòu)功能函數(shù)為非線性函數(shù)情況一般情況下，結(jié)構(gòu)功能函數(shù)為非線性函數(shù)，設(shè) （17-30）Z在某點(diǎn)上可按泰勒級(jí)數(shù)展開。中心點(diǎn)法就是在各個(gè)變量的均值點(diǎn)（即中心點(diǎn)）處將Z展開成泰勒級(jí)數(shù)，并進(jìn)取線性項(xiàng)，即 （17-31）上式中，下標(biāo)表示在各變量的均值點(diǎn)處賦值。這樣功能函數(shù)Z的均值和方差近似為 （17-32a） （17-33a）由此可計(jì)算可靠指標(biāo) （17-33）3.可靠指標(biāo)的幾何意義當(dāng)結(jié)構(gòu)的功能函數(shù)為線性函數(shù)式（17-26）時(shí)，結(jié)構(gòu)的極限狀態(tài)方程為

12、（17-34）引入標(biāo)準(zhǔn)化變量 （17-35）則 (17-36)將式（17-36）代入極限狀態(tài)方程（17-34）得 (17-37)或 （17-38）式中，sign（y）為符號(hào)函數(shù)。若y>0,則sign（y）=1，若y<0, 則sign（y）=-1;若y=0，則sign（y）=0.將式（17-38）與線性方程標(biāo)準(zhǔn)形式比較得 （17-39）則 （17-40）d= （17-41）由標(biāo)準(zhǔn)線性方程（17-39）的幾何意義知， （17-42）為方程所代表線性曲面的單位法線向量，d為坐標(biāo)原點(diǎn)到該線性曲面的距離。顯然，d0.將式（17-29）與式（17-41）比較知 (17-43)由此得出結(jié)論：當(dāng)為

13、獨(dú)立正態(tài)隨機(jī)變量時(shí)，且極限狀態(tài)曲面為線性曲面，則在標(biāo)準(zhǔn)化空間中，原點(diǎn)到極限狀態(tài)曲面的距離為可靠指標(biāo)的絕對(duì)值。圖17-2表示了當(dāng)隨機(jī)變量X為二維向量時(shí)，線性極限狀態(tài)曲面（此時(shí)為一直線）情況下的幾何意義。當(dāng)結(jié)構(gòu)的功能函數(shù)為非線性函數(shù)時(shí)，則極限狀態(tài)方程 （17-44）為非線性曲面。此時(shí)在g(X)=0上取一點(diǎn) ，作過(guò)點(diǎn)g(X)=0的切面R（X）=0，即 （17-45）同樣將式（17-45）得 （17-46）如將點(diǎn)取為均值點(diǎn)，即 （17-47）則式（17-46）成為 （17-48）將上式轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)線性方程式（17-39），此時(shí) （17-49） （17-50）將式（17-50）與式（17-33）比較，同樣

14、得出 （17-51）由此可得出結(jié)論：當(dāng)為獨(dú)立正態(tài)隨機(jī)變量時(shí)，可靠指標(biāo)的絕對(duì)值近似等于在標(biāo)準(zhǔn)化空間中原點(diǎn)到過(guò)極限狀態(tài)曲面上某點(diǎn)（通常取為均值點(diǎn)）切面的距離。圖17-3表示了當(dāng)隨機(jī)向量X為二維向量時(shí)，非線性極限狀態(tài)曲面情況下的幾何意義。當(dāng)在標(biāo)準(zhǔn)化空間中極限狀態(tài)方程為單曲曲面時(shí)（曲面不改變彎曲方向，即不改變符號(hào)），如果為凹面（如圖17-4a所示），則極限狀態(tài)方程線性化帶來(lái)的結(jié)構(gòu)失效概率計(jì)算的誤差為 （17-52）為了減少，需增大，即減小d,由此 （17-53）如圖17-4a所示，可以證明 （17-54）其中，為原點(diǎn)到的最短距離。如果為凸面，如圖17-4b所示，則 （17-55）為了減少，需減少，即增

15、大d，由此 （17-56）如圖17-4b所示，可以證明 （17-57）從式（17-53）、式（17-54）、式（17-56）、式（17-57）得 （17-58）或 （17-59）由此得出結(jié)論：當(dāng)為獨(dú)立正態(tài)隨機(jī)變量時(shí)，且在X的標(biāo)準(zhǔn)化空間中極限狀態(tài)曲面為單曲曲面，則用原點(diǎn)到極限狀態(tài)曲面的最短距離代替可靠指標(biāo)所產(chǎn)生的誤差最小。4、中心點(diǎn)法的優(yōu)缺點(diǎn)中心點(diǎn)法最大的優(yōu)點(diǎn)是計(jì)算簡(jiǎn)便，所得到的用以度量結(jié)構(gòu)可靠程度的可靠指標(biāo)具有明確的物理概念與幾何意義。然而中心點(diǎn)法上存在如下問(wèn)題：（1）該方法沒(méi)有考慮有關(guān)基本變量分布類型的信息，因中心點(diǎn)法建立在正態(tài)分布變量基礎(chǔ)上，當(dāng)實(shí)際的變量分布不同于正態(tài)分布時(shí)，其可靠度（或失

16、效概率）的計(jì)算結(jié)果必將不同，因而可靠指標(biāo)的計(jì)算結(jié)果會(huì)有誤差。（2）當(dāng)功能函數(shù)為非線性函數(shù)時(shí)，因該方法在中心點(diǎn)處取線性近似，由此得到的可靠指標(biāo)將是近似的，其近似程度取決于在標(biāo)準(zhǔn)化空間線性近似的極限狀態(tài)曲面到原點(diǎn)的距離與真正的極限狀態(tài)曲面到原點(diǎn)的見最小距離之間的差異程度，一般來(lái)說(shuō)，中心點(diǎn)離極限狀態(tài)曲面上到原點(diǎn)最近距離的點(diǎn)越近，則可靠指標(biāo)的計(jì)算差別越小。二、驗(yàn)算點(diǎn)法作為中心點(diǎn)法的改進(jìn)，驗(yàn)算點(diǎn)法主要有兩個(gè)特點(diǎn)：（1）當(dāng)極限狀態(tài)方程g(X)=0為非線性曲面時(shí)，不以通過(guò)中心點(diǎn)的切平面作為線性近似，而以通過(guò)g（X）=0上某一點(diǎn)的切平面作為線性近似，以減小中心點(diǎn)法的誤差。 （2）當(dāng)基本變量具有分布類型的信息時(shí)

17、，將的分布在處變換為當(dāng)量正態(tài)分布，以考慮變量分布對(duì)可靠度（可靠指標(biāo)）計(jì)算結(jié)果的影響。這個(gè)特定的稱為驗(yàn)算點(diǎn)或設(shè)計(jì)點(diǎn)。設(shè)功能函數(shù)， ）按將X空間變換到空間，得在空間中，容易寫出通過(guò)驗(yàn)算點(diǎn)在曲面=0上的切平面方程為 （17-60）由于是=0上的一點(diǎn)，因此 （17-61）則切平面方程簡(jiǎn)化為 （17-62）從原點(diǎn)到式（17-62）所代表切平面的距離為可靠指標(biāo)。因此 （17-63）令 （17-64）可以證明，實(shí)際上就是原點(diǎn)到驗(yàn)算點(diǎn)的方向余弦。從而可得 （17-65）變回X空間可得 （17-66）因 （17-67）將式（17-67）代入式（17-64），得 （17-68）此外， （17-69）式（17-66

18、）、式（17-68）、式（17-69）有2n+1個(gè)方程，可解得，及共2n+1個(gè)未知數(shù)。但由于一般g(x)為非線性函數(shù)，則通常采用逐次迭代法解上述方程組。上述可靠指標(biāo)的計(jì)算方法適合結(jié)構(gòu)功能函數(shù)的基本變量均為正態(tài)分布情況.當(dāng)其中任一變量為非正態(tài)分布時(shí),可在驗(yàn)算點(diǎn)處,根據(jù)它的概率分布函數(shù)和概率密度函數(shù)與正態(tài)變量等價(jià)的條件(圖17-5),變換為當(dāng)量正態(tài)變量,并確定其均值。由在驗(yàn)算點(diǎn)上概率分布函數(shù)相等的條件 （17-70）得出 （17-71）由在驗(yàn)算點(diǎn)上概率密度相等的條件 （17-72）可得 （17-73）式中 、分別為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)和它的反函數(shù)； 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布密度函數(shù)綜上所述，按驗(yàn)算點(diǎn)法，和可逐次迭代，按照下面步驟進(jìn)行計(jì)算：（1）列出極限狀態(tài)方程g(， ）=0,并確定所有基本變量的分布類型和統(tǒng)計(jì)參數(shù)； （2）假定和的初值，一般取的初值等于的均值； （3）對(duì)于非正態(tài)變量，在驗(yàn)算點(diǎn)處按式（17-73）和式（17-71）計(jì)算當(dāng)量正態(tài)變量的標(biāo)準(zhǔn)差和均值，并分別代替原來(lái)變量的標(biāo)準(zhǔn)差和均值； （4）求方向余弦 （17-74）（5）按公式=0,求解；（6）計(jì)算的新值=重復(fù)步驟（3）（6），直到前后兩次計(jì)算所得的值相對(duì)差值不超過(guò)容許限值。第三節(jié) 隨機(jī)