高中物理雙基學(xué)法系列萬(wàn)有引力定律

1、第三十二講 萬(wàn)有引力定律基礎(chǔ)知識(shí)學(xué)點(diǎn)一：萬(wàn)有引力定律1、內(nèi)容：宇宙間的一切物體都是相互吸引的，兩個(gè)物體間的引力的大小跟它們的質(zhì)量的乘積成正比，跟它們的距離的平方成反比，力的方向在兩者的連線上。2、數(shù)學(xué)表達(dá)式：（1）式中、分別是兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量；為兩質(zhì)點(diǎn)的距離。（2）比列系數(shù)：稱為萬(wàn)有引力常量；萬(wàn)有引力常量是英國(guó)物理學(xué)家卡文迪許首先在實(shí)驗(yàn)室里用扭秤測(cè)量出的。（3）在數(shù)值上等于：質(zhì)量都是的物體，在相時(shí)的相互作用力的大小等于。3、萬(wàn)有引力定律的適用條件：（1） 嚴(yán)格地說(shuō)，萬(wàn)有引力定律只適用于質(zhì)點(diǎn)間的相互作用，其萬(wàn)有引力。（2） 兩個(gè)質(zhì)量分布均勻的球體間的相互作用也可以用萬(wàn)有引力定律的表達(dá)式來(lái)計(jì)算，其中

2、應(yīng)把理解為兩個(gè)球心的距離。（3）兩個(gè)質(zhì)量分布均勻的球體間的相互作用也可用本定律計(jì)算，其中為兩球體球心間的距離，其萬(wàn)有引力（4）一個(gè)均勻球體和球外一個(gè)質(zhì)點(diǎn)的萬(wàn)有引力也適用，其中為球心到質(zhì)點(diǎn)間的距離。（5）兩個(gè)物體間的距離遠(yuǎn)大于物體本身的大小時(shí)，公式也近似使用，其中為兩質(zhì)點(diǎn)間的距離.（6）萬(wàn)有引力遵守牛頓第三定律，即它們之間的引力總是大小相等、方向相反.4、對(duì)萬(wàn)有引力的理解（1）普遍性：萬(wàn)有引力是普遍存在于宇宙中任何有質(zhì)量的物體之間的相互作用力，它是自然界中物體之間的基本相互作用力。（2）相互性：兩個(gè)物體相互作用的引力是一對(duì)作用力和反作用力，它們大小相等，方向相反，分別作用在兩個(gè)物體上。（3）客觀

3、性：通常情況下，萬(wàn)有引力非常小，它的存在可由卡文迪許扭稱來(lái)觀察，只有在質(zhì)量巨大的天體間，它的作用才有宏觀的物理意義。（4）特殊性：兩個(gè)物體間的萬(wàn)有引力，只與它們本身的質(zhì)量有關(guān)，與它們之間的距離有關(guān)，和所在空間的性質(zhì)無(wú)關(guān)，和周圍有無(wú)其它物體的存在無(wú)關(guān)。5、萬(wàn)有引力定律建立的重要意義 萬(wàn)有引力定律是17世紀(jì)自然科學(xué)最偉大的成果之一，他把地面上的物體運(yùn)動(dòng)規(guī)律和天體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律統(tǒng)一起來(lái)，對(duì)以后物理學(xué)和天文學(xué)的發(fā)展具有深遠(yuǎn)的意義，而且第一次揭示了自然界中的一種相互作用的規(guī)律，在人類認(rèn)識(shí)自然的歷史上樹(shù)立了一座里程碑?；A(chǔ)知識(shí)二：萬(wàn)有引力定律的兩個(gè)重要推論1、推論一、在勻質(zhì)球?qū)拥目涨粌?nèi)任意位置處，質(zhì)點(diǎn)受到的萬(wàn)

4、有引力的合力為零，即.2、推論二、在勻質(zhì)球體內(nèi)部距離球心處，質(zhì)點(diǎn)受到的萬(wàn)有引力就等于以半徑為,質(zhì)量為的球體的引力基礎(chǔ)知識(shí)學(xué)點(diǎn)三：卡文迪許實(shí)驗(yàn)1、實(shí)驗(yàn)過(guò)程（1）牛頓發(fā)現(xiàn)了萬(wàn)有引力定律后，沒(méi)有給出萬(wàn)有引力恒量的數(shù)值，而用實(shí)驗(yàn)測(cè)定的值很不容易，因?yàn)橐话阄矬w間引力非常小，很難精確測(cè)定. 直到1798年，牛頓發(fā)現(xiàn)萬(wàn)有引力定律100多年以后，英國(guó)的卡文迪許巧妙地利用扭秤裝置，第一次在實(shí)驗(yàn)室里比較精確地測(cè)出了萬(wàn)有引力恒量的數(shù)值. （2）放大法測(cè)量弱作用力：實(shí)驗(yàn)裝置如圖所示，卡文迪許扭秤的主要部分是一個(gè)輕而堅(jiān)固的T形架，倒掛在一根石英絲的下端. T形架水平桿的兩端，各裝一個(gè)質(zhì)量為的小球，在T形架的豎直桿上裝一

5、塊小平面鏡M，可以將射來(lái)的光線反射到一根刻度尺上. 實(shí)驗(yàn)時(shí)，把兩個(gè)質(zhì)量是的大球放在圖中所示的位置，它們跟小球的距離相等，由于受的吸引，石英絲被扭轉(zhuǎn). 石英絲扭轉(zhuǎn)的角度可以由小鏡M的反射光在刻度尺上移動(dòng)的距離求出，根據(jù)扭轉(zhuǎn)角度就可以算出與的引力. （3） 在實(shí)驗(yàn)過(guò)程中，為了排除氣流對(duì)測(cè)量結(jié)果的影響，卡文迪許把扭秤裝置放到密閉室內(nèi)，用室外的望遠(yuǎn)鏡進(jìn)行觀測(cè).此實(shí)驗(yàn)證明了牛頓的萬(wàn)有引力定律是正確的，并且測(cè)出了萬(wàn)有引力恒量是，與現(xiàn)代公認(rèn)的等于很接近。2、相關(guān)知識(shí)：（1）物理意義：這個(gè)數(shù)值等于兩個(gè)質(zhì)量各為的物體，相距時(shí)的相互吸引力. （2）測(cè)定引力常量的理論公式： 根據(jù)萬(wàn)有引力定律: 宇宙間的一切物體都是

6、互相吸引的，兩個(gè)物體間的引力大小跟距它們距離的平方成反比，跟它們的質(zhì)量乘積成正比. 表達(dá)式為: . 可得到：，單位：。（3） 引力常量測(cè)定的意義卡文迪許通過(guò)改變質(zhì)量和距離，證實(shí)了萬(wàn)有引力的存在以及萬(wàn)有引力定律的正確性。第一次測(cè)出了引力常量，使萬(wàn)有引力定律能進(jìn)行定量的計(jì)算，顯示出真正的使用價(jià)值。標(biāo)志著力學(xué)實(shí)驗(yàn)精密程度的提高，開(kāi)創(chuàng)了測(cè)量弱相互作用力的新時(shí)代?；A(chǔ)知識(shí)學(xué)點(diǎn)四：重力、萬(wàn)有引力以及物體在地球上運(yùn)動(dòng)的規(guī)律1、重力和萬(wàn)有引力以及向心力的關(guān)系： 研究位于地球表面的物體，設(shè)物體的質(zhì)量為，地球的質(zhì)量為，地球的半徑為，物體隨地球轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度為。（1）由于地球在不停地自轉(zhuǎn)，地球上的一切物體都隨地球自轉(zhuǎn)

7、而繞地軸做勻速圓周運(yùn)動(dòng)。（2）地球表面的物體所受到的萬(wàn)有引力是地球表面的物體的重力和繞地球作圓周運(yùn)動(dòng)的向心力的合力。反之也可以理解成地球表面所受到的萬(wàn)有引力可以分解成物體隨地球自轉(zhuǎn)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的向心力和所受到的重力。（3）向心力和重力：地球上物體隨地球自轉(zhuǎn)的而繞地軸做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的向心力就是垂直指向地軸的的分力，其大小為:，式中是物體距地軸的距離，是地球的自轉(zhuǎn)角速度，這個(gè)向心力是引力的一個(gè)分力。引力的另一個(gè)分力才是物體的重力（重量），所以說(shuō)重力是地面附近的物體受到地球的萬(wàn)有引力而產(chǎn)生的；地面上同一個(gè)物體的重力（重量），從赤道到兩極是逐漸增大的。（4）物體在一般位置（不在兩極和赤道上）時(shí)，向心

8、力為：，萬(wàn)有引力、向心力、重力這三個(gè)力不在同一直線上，如圖所示。（5）當(dāng)物體位于赤道上時(shí)，向心力最大，重力最小。（6）當(dāng)物體位于兩極時(shí)，由于，則向心力為零，重力最大，即：。說(shuō)明重力隨緯度的增高而增大。（7）黃金代換： 由于物體隨地球自轉(zhuǎn)的需要的向心力很小，所以重力隨緯度的變化是很小的，物體隨地球自轉(zhuǎn)所需的向心力也遠(yuǎn)小于重力。因此在中學(xué)物理范圍內(nèi)，常認(rèn)為重力近似與萬(wàn)有引力相等，即。 得到：，該式叫做黃金代換公式。在質(zhì)量為，半徑為，重力加速度為的其它任何星球表面處重力都約等于萬(wàn)有引力，即：，同樣得到黃金代換公式：。 在距離該星球表面一定高度處，具有：。2、物體在赤道上失重的四個(gè)重要規(guī)律： 地球在不

9、停地自轉(zhuǎn)，除兩極之外，地球上的物體由于地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，都處于失重狀態(tài)，且赤道上的物體失重最多。設(shè)地球?yàn)閯蛸|(zhì)球體，半徑為，表面的引力加速度為，并不隨地球自轉(zhuǎn)變化.（1）物體在赤道上的視重等于地球的引力與物體隨地球自轉(zhuǎn)所需的向心力之差,由牛頓第二定律，有： 所以，物體在赤道上的視重為（2）物體在赤道上的失重等于物體繞地軸轉(zhuǎn)動(dòng)所需的向心力（3）物體在赤道上完全失重的條件 設(shè)想地球自轉(zhuǎn)的速度加快，使赤道上的物體剛處于完全失重的狀態(tài)，即，有：，則，所以，完全失重的臨界條件是： 上述結(jié)果恰好是進(jìn)地人造衛(wèi)星的向心加速度，角速度，線速度和周期。（4）地球不因自轉(zhuǎn)而瓦解的最小密度 地球以的周期自轉(zhuǎn)，不發(fā)生瓦

10、解的條件是赤道上的物體受到的萬(wàn)有引力大于或等于該物體做圓周運(yùn)動(dòng)所需的向心力，即。根據(jù)萬(wàn)有引力定律，有；所以，地球的密度應(yīng)為而地球平均密度公認(rèn)值為，相比之下，足以保證地球處于穩(wěn)定狀態(tài)?；A(chǔ)知識(shí)學(xué)點(diǎn)五：重力加速度的基本計(jì)算方法設(shè)地球的質(zhì)量為，地球的半徑為，地球上的重力加速度為。1、在地球表面附近處的重力加速度根據(jù)萬(wàn)有引力定律，有（忽略自轉(zhuǎn)受到的向心力）： ，式中2、利用與地球平均密度的關(guān)系，得3、在地球上空距離地心處的重力加速度 得到，說(shuō)明重力加速度隨高度的增高而減小。4、在地球內(nèi)部距離地心處的重力加速度。 根據(jù)萬(wàn)有引力的推論二，可以得到5、在質(zhì)量為，半徑為的任意天體表面上的重力加速度.根據(jù)萬(wàn)有引

11、力定律，有、兩式相比得到基本技能學(xué)點(diǎn)一：萬(wàn)有引力定律與開(kāi)普勒三定律的關(guān)系1、用牛頓的萬(wàn)有引力定律推導(dǎo)開(kāi)普勒第三定律： 行星繞太陽(yáng)旋轉(zhuǎn)，萬(wàn)有引力提供向心力，設(shè)太陽(yáng)的質(zhì)量為，行星的質(zhì)量為，即有：，. 推導(dǎo)得： 通過(guò)上面的推導(dǎo)可以看出，在太陽(yáng)系內(nèi)研究太陽(yáng)系內(nèi)的行星運(yùn)動(dòng)，其半長(zhǎng)軸的三次方跟它的運(yùn)動(dòng)周期的二次方的比是恒定不變的，它的大小決定于太陽(yáng)質(zhì)量。推理可知各個(gè)人造地球衛(wèi)星的半長(zhǎng)軸的三次方跟它的運(yùn)動(dòng)周期的二次方也是恒定的，其大小決定于地球的質(zhì)量。但衛(wèi)星繞地球旋轉(zhuǎn)的這個(gè)恒定比值與地球繞太陽(yáng)轉(zhuǎn)的恒定值不同。開(kāi)普勒第三定律適用于任何天體運(yùn)動(dòng)，但不同系統(tǒng)內(nèi)的比值不一定相等。2、用開(kāi)普勒第三定律和向心力公式推導(dǎo)萬(wàn)有引力定律，得到：，同理有：，則得到.基本技能學(xué)點(diǎn)二：萬(wàn)有引力定律的特殊應(yīng)用填補(bǔ)法 如圖所示，半徑為的均質(zhì)球質(zhì)量為，球心在點(diǎn)，現(xiàn)在被內(nèi)切的挖去了一個(gè)半徑為的球形空腔（球心在）。在、的連線上距離點(diǎn)為的地方放有一個(gè)很小的、質(zhì)量為的物體，試求這兩個(gè)物體之間的萬(wàn)有引力。模型分析：無(wú)論是“基本條件”還是“拓展條件”，本模型都很難直接符合，因此必須使用一些特殊的處理方法。本模型除了照應(yīng)萬(wàn)有引力的拓展條件之外，著重介紹“填補(bǔ)法”的應(yīng)用。 空腔里現(xiàn)在雖然空無(wú)一物，但可以看成是兩個(gè)半徑為的球的疊加：一個(gè)的質(zhì)量為，一個(gè)的質(zhì)量為。然后，前者正好填補(bǔ)空腔和被挖除