高中數(shù)學平面向量知識點總結66529

1、平面向量知識點總結第一部分：向量的概念與加減運算，向量與實數(shù)的積的運算。一 向量的概念：1 向量：向量是既有大小又有方向的量叫向量。2  向量的表示方法：    （1）°幾何表示法：點射線      有向線段具有一定方向的線段      有向線段的三要素：起點、方向、長度      記作（注意起訖）  （2）°字母表示法：可表示

2、為3.模的概念：向量的大小長度稱為向量的模。 記作：| 模是可以比較大小的4.兩個特殊的向量： 1°零向量長度（模）為0的向量，記作。的方向是任意的。 注意與0的區(qū)別2°單位向量長度（模）為1個單位長度的向量叫做單位向量。二 向量間的關系：1 平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量。abc 記作： 規(guī)定：與任一向量平行2 相等向量：長度相等且方向相同的向量叫做相等向量。 記作：= 規(guī)定：= 任兩相等的非零向量都可用一有向線段表示，與起點無關。3 共線向量：任一組平行向量都可移到同一條直線上 ， 所以平行向量也叫共線向量。三 向量的加法：1定義：求兩個向量的和的運算，

3、叫做向量的加法。 注意：；兩個向量的和仍舊是向量（簡稱和向量）aaaCCCBBBAAA2三角形法則：a+bbabba+ba+b 強調： 1°“向量平移”（自由向量）：使前一個向量的終點為后一個向量的起點 2°可以推廣到n個向量連加 3° 4°不共線向量都可以采用這種法則三角形法則3.加法的交換律和平行四邊形法則1°向量加法的平行四邊形法則（三角形法則）：2°向量加法的交換律：+=+3°向量加法的結合律：(+) +=+ (+)4.向量加法作圖：兩個向量相加的和向量，箭頭是由始向量始端指向終向量末端。四 向量的減法： 1.用“相

4、反向量”定義向量的減法1°“相反向量”的定義：與a長度相同、方向相反的向量。記作 -a2°規(guī)定：零向量的相反向量仍是零向量。-(-a) = a 任一向量與它的相反向量的和是零向量。a + (-a) = 0 如果a、b互為相反向量，則a = -b, b = -a, a + b = 03°向量減法的定義：向量a加上的b相反向量，叫做a與b的差。 即：a - b = a + (-b) 求兩個向量差的運算叫做向量的減法。2.用加法的逆運算定義向量的減法：向量的減法是向量加法的逆運算：若b + x = a，則x叫做a與b的差，記作a - b3.向量減法做圖：表示a - b。

5、強調：差向量“箭頭”指向被減數(shù)總結：1°向量的概念：定義、表示法、模、零向量、單位向量、平行向量、 相等向量、共線向量 2°向量的加法與減法：定義、三角形法則、平行四邊形法則、運算定律五：實數(shù)與向量的積（強調：“?！迸c“方向”兩點)1.實數(shù)與向量的積 實數(shù)與向量的積，記作：定義：實數(shù)與向量的積是一個向量，記作： 1°|=|2°>0時與方向相同；<0時與方向相反；=0時=2運算定律：結合律：()=() 第一分配律：(+)=+ 第二分配律：(+)=+ 3.向量共線充要條件：向量與非零向量共線的充要條件是：有且只有一個非零實數(shù)使=六平面向量定理：用

6、兩個不共線向量表示一個向量；或一個向量分解為兩個向量。（其實質在于：同一平面內任一向量都可以表示為兩個不共線向量的線性組合）平面向量基本定理：如果，是同一平面內的兩個不共線向量，那么于一平面內的任一向量，有且只有一對實數(shù)1，2使=1+2注意幾個問題：1° 、必須不共線，且它是這一平面內所有向量的一組基底2° 這個定理也叫共面向量定理3°1，2是被，唯一確定的數(shù)量第二部分：向量的坐標運算七向量的坐標表示與坐標運算1.平面向量的坐標表示：在坐標系下，平面上任何一點都可用一對實數(shù)(坐標)來表示取x軸、y軸上兩個單位向量, 作基底，則平面內作一向量=x+y，記作：=(x,

7、 y) 稱作向量的坐標2注意：1°每一平面向量的坐標表示是唯一的；2°設A(x1, y1) B(x2, y2) 則=(x2-x1, y2-y1)3°兩個向量相等的充要條件是兩個向量坐標相等。3結論：兩個向量和與差的坐標分別等于這兩個向量相應坐標的和與差。同理可得：一個向量的坐標等于表示此向量的有向線段終點的坐標減去始點的坐標。4實數(shù)與向量積的坐標運算：已知=(x, y) 實數(shù)則=(x+y)=x+y=(x, y)結論：實數(shù)與向量的積的坐標，等于用這個實數(shù)乘原來的向量相應的坐標。八向量平行的坐標表示結論： (¹)的充要條件是x1y2-x2y1=0注意：1&#

8、176;消去時不能兩式相除，y1, y2有可能為0， ¹x2, y2中至少有一個不為02°充要條件不能寫成 x1, x2有可能為03°從而向量共線的充要條件有兩種形式： (¹)九線段的定比分點：1 線段的定比分點及 P1, P2是直線l上的兩點，P是l上不同于P1, P2的任一點，存在實數(shù)，P1P1P1P2P2P2PPP使 = 叫做點P分所成的比，有三種情況：>0(內分) (外分) <0 (<-1) ( 外分)<0 (-1<<0)2.定比分點坐標公式3中點公式：若P是中點時，=1 4注意幾個問題：1° 是關鍵

9、，>0內分 <0外分 ¹-1 若P與P1重合，=0 P與P2重合 不存在 2° 中點公式是定比分點公式的特例3° 始點終點很重要，如P分的定比= 則P分的定比=24° 公式：如 x1, x2, x, 知三求一十平面向量的數(shù)量積及運算律（一）平面向量數(shù)量積1 定義：平面向量數(shù)量積（內積）的定義，a×b = |a|b|cosq，q = 0°q = 180°qqqqOOOOOOAAAAAABBBBBBC 并規(guī)定0與任何向量的數(shù)量積為0。×2 向量夾角的概念：范圍0°q180°C3 注意的幾

10、個問題；兩個向量的數(shù)量積與向量同實數(shù)積有很大區(qū)別 1°兩個向量的數(shù)量積是一個實數(shù)，不是向量，符號由cosq的符號所決定。 2°兩個向量的數(shù)量積稱為內積，寫成a×b；今后要學到兩個向量的外積a×b，而ab是兩個數(shù)量的積，書寫時要嚴格區(qū)分。 3°在實數(shù)中，若a¹0，且a×b=0，則b=0；但是在數(shù)量積中，若a¹0，且a×b=0，不能推出b=0。因為其中cosq有可能為0。這就得性質2。OaAcbab 4°已知實數(shù)a、b、c(b¹0)，則ab=bc Þ a=c。但是a×b

11、 = b×c Þ a = c 如右圖：a×b = |a|b|cosb = |b|OA| b×c = |b|c|cosa = |b|OA| Þab=bc 但a ¹ c 5°在實數(shù)中，有(a×b)c = a(b×c)，但是(a×b)c ¹ a(b×c) 顯然，這是因為左端是與c共線的向量，而右端是與a共線的向量，而一般a與c不共線。（二） 投影的概念及兩個向量的數(shù)量積的性質：1“投影”的概念：作圖AOOBOB1OabqAOOBOB1OabqAOOBO(B1)Oabq 定義：|b|

12、cosq叫做向量b在a方向上的投影。 注意：1°投影也是一個數(shù)量，不是向量。 2°當q為銳角時投影為正值； 當q為鈍角時投影為負值； 當q為直角時投影為0； 當q = 0°時投影為 |b|； 當q = 180°時投影為 -|b|。2向量的數(shù)量積的幾何意義： 數(shù)量積a×b等于a的長度與b在a方向上投影|b|cosq的乘積。3兩個向量的數(shù)量積的性質： 設a、b為兩個非零向量，e是與b同向的單位向量。 1°e×a = a×e =|a|cosq 2°ab Û a×b = 0 3°當a

13、與b同向時，a×b = |a|b|；當a與b反向時，a×b = -|a|b|。 特別的a×a = |a|2或 4°cosq = 5°|a×b| |a|b|十一. 平面向量的數(shù)量積的運算律1. 交換律：a × b = b × a2. 結合律：(a)×b =(a×b) = a×(b)3. 分配律：(a + b)×c = a×c + b×c十二. 平面向量的數(shù)量積的坐標表示1.設a = (x1, y1)，b = (x2, y2)，x軸上單位向量i，y軸上單位向量

14、j，則：i×i = 1，j×j = 1，i×j = j×i = 02.a×b = x1x2 + y1y23.長度、角度、垂直的坐標表示 1°a = (x, y) Þ |a|2 = x2 + y2 Þ |a| = 2°若A = (x1, y1)，B = (x2, y2)，則= 3° cosq = 4°ab Û a×b = 0 即x1x2 + y1y2 = 0（注意與向量共線的坐標表示原則）十三.平移一、 平移的概念：點的位置、圖形的位置改變，而形狀、大小沒有改變，從而

15、導致函數(shù)的解析式也隨著改變。這個過程稱做圖形的平移。（作圖、講解）一個平移實質上是一個向量二、 平移公式：設= (h, k)，即： (x, y) = (x, y) + (h, k) 平移公式三、 注意：1°它反映了平移后的新坐標與原坐標間的關系 2°知二求一 3°這個公式是坐標系不動，點P(x, y)按向量a = (h, k)平移到點P(x, y)。另一種平移是：點不動，把坐標系平移向量-a，即：。這兩種變換使點在坐標系中的相對位置是一樣的， 這兩個公式作用是一致的。十四. 正弦定理1°正弦定理的敘述：在一個三角形中。各邊和它所對角的正弦比相等公式即：=它適合于任何三角形。 2°可以證明=2R （R為ABC外接圓半徑） 3° 每個等式可視為一個方程：知三求一從理論上正弦定理可解決兩類問題： 1兩角和任意一邊，求其它兩邊和一角；