高中數(shù)學(xué)平面解析幾何初步經(jīng)典例題

1、直線和圓的方程一、知識導(dǎo)學(xué)1兩點間的距離公式:不論A(1，1)，B(2，2)在坐標平面上什么位置，都有d=|AB|=，特別地，與坐標軸平行的線段的長|AB|=|21|或|AB|=|2-1|.2定比分點公式:定比分點公式是解決共線三點A(1，1)，B(2，2)，P(，)之間數(shù)量關(guān)系的一個公式，其中的值是起點到分點與分點到終點的有向線段的數(shù)量之比.這里起點、分點、終點的位置是可以任意選擇的，一旦選定后的值也就隨之確定了.若以A為起點，B為終點，P為分點，則定比分點公式是.當P點為AB的中點時，=1，此時中點坐標公式是.3直線的傾斜角和斜率的關(guān)系（1）每一條直線都有傾斜角，但不一定有斜率.（2）斜率

2、存在的直線，其斜率與傾斜角之間的關(guān)系是=tan.4確定直線方程需要有兩個互相獨立的條件。直線方程的形式很多，但必須注意各種形式的直線方程的適用范圍.名稱方程說明適用條件斜截式為直線的斜率b為直線的縱截距傾斜角為90的直線不能用此式點斜式() 為直線上的已知點，為直線的斜率傾斜角為90的直線不能用此式兩點式=()，()是直線上兩個已知點與兩坐標軸平行的直線不能用此式截距式+=1為直線的橫截距b為直線的縱截距過（0，0）及與兩坐標軸平行的直線不能用此式一般式，分別為斜率、橫截距和縱截距A、B不全為零5兩條直線的夾角。當兩直線的斜率,都存在且 -1時，tan=，當直線的斜率不存在時，可結(jié)合圖形判斷.

3、另外還應(yīng)注意到：“到角”公式與“夾角”公式的區(qū)別.6怎么判斷兩直線是否平行或垂直？判斷兩直線是否平行或垂直時，若兩直線的斜率都存在，可以用斜率的關(guān)系來判斷；若直線的斜率不存在，則必須用一般式的平行垂直條件來判斷.（1）斜率存在且不重合的兩條直線1， 2，有以下結(jié)論：12=，且1212= -1（2）對于直線1，2 ，當1，2，1，2都不為零時，有以下結(jié)論：12=1212+12 = 01與2相交1與2重合=7點到直線的距離公式.（1）已知一點P（）及一條直線：，則點P到直線的距離d=；（2）兩平行直線1: ， 2: 之間的距離d=.8確定圓方程需要有三個互相獨立的條件。圓的方程有兩種形式，要知道兩

4、種形式之間的相互轉(zhuǎn)化及相互聯(lián)系（1）圓的標準方程：，其中（，b）是圓心坐標，是圓的半徑；（2）圓的一般方程：（0），圓心坐標為（-，-），半徑為=.二、疑難知識導(dǎo)析1直線與圓的位置關(guān)系的判定方法.（1）方法一直線：；圓：.一元二次方程（2）方法二直線: ；圓：，圓心（，b）到直線的距離為d=2兩圓的位置關(guān)系的判定方法.設(shè)兩圓圓心分別為O1、O2，半徑分別為1，2，|O1O2|為圓心距，則兩圓位置關(guān)系如下：|O1O2|1+2兩圓外離；|O1O2|=1+2兩圓外切；| 1-2|O1O2|1+2兩圓相交；| O1O2 |=|1-2|兩圓內(nèi)切；0| O1O2| 1-2|兩圓內(nèi)含.三、經(jīng)典例題導(dǎo)講例1直

5、線l經(jīng)過P（2,3）,且在x,y軸上的截距相等,試求該直線方程.錯解：設(shè)直線方程為:,又過P(2,3),求得a=5 直線方程為x+y-5=0.錯因：直線方程的截距式: 的條件是:0且b0,本題忽略了這一情形.正解：在原解的基礎(chǔ)上,再補充這樣的過程:當直線過(0,0)時,此時斜率為:,直線方程為y=x綜上可得:所求直線方程為x+y-5=0或y=x .例2已知動點P到y(tǒng)軸的距離的3倍等于它到點A(1,3)的距離的平方,求動點P的軌跡方程.錯解：設(shè)動點P坐標為(x,y).由已知3 化簡3=x2-2x+1+y2-6y+9 . 當x0時得x2-5x+y2-6y+10=0 . 當x0時得x2+ x+y2-

6、6y+10=0 . 錯因：上述過程清楚點到y(tǒng)軸距離的意義及兩點間距離公式,并且正確應(yīng)用絕對值定義將方程分類化簡,但進一步研究化簡后的兩個方程,配方后得(x-)2+(y-3)2 = 和 (x+)2+(y-3)2 = - 兩個平方數(shù)之和不可能為負數(shù),故方程的情況不會出現(xiàn).正解：接前面的過程,方程化為(x-)2+(y-3)2 = ,方程化為(x+)2+(y-3)2 = - ,由于兩個平方數(shù)之和不可能為負數(shù),故所求動點P的軌跡方程為: (x-)2+(y-3)2 = (x0)例3m是什么數(shù)時，關(guān)于x,y的方程（2m2+m-1）x2+（m2-m+2）y2+m+2=0的圖象表示一個圓？錯解：欲使方程Ax2+

7、Cy2+F=0表示一個圓，只要A=C0， 得2m2+m-1=m2-m+2，即m2+2m-3=0，解得m1=1，m2=-3， 當m=1或m=-3時，x2和y2項的系數(shù)相等，這時，原方程的圖象表示一個圓錯因：A=C，是Ax2+Cy2+F=0表示圓的必要條件，而非充要條件，其充要條件是：A=C0且0.正解：欲使方程Ax2+Cy2+F=0表示一個圓，只要A=C0， 得2m2+m-1=m2-m+2，即m2+2m-3=0，解得m1=1，m2=-3，(1) 當m=1時，方程為2x2+2y2=-3不合題意，舍去.(2) 當m=-3時，方程為14x2+14y2=1,即x2+y2=,原方程的圖形表示圓.例4自點A

8、(-3，3)發(fā)出的光線L射到x軸上，被x軸反射，其反射光線所在直線與圓x2+y2-4x-4y+70相切，求光線L所在的直線方程.錯解：設(shè)反射光線為L,由于L和L關(guān)于x軸對稱，L過點A(-3，3)，點A關(guān)于x軸的對稱點A(-3，-3)，于是L過A(-3，-3).設(shè)L的斜率為k，則L的方程為y-(-3)kx-(-3)，即kx-y+3k-30，已知圓方程即(x-2)2+(y-2)21，圓心O的坐標為(2，2)，半徑r1因L和已知圓相切，則O到L的距離等于半徑r1即整理得12k2-25k+120解得kL的方程為y+3(x+3)即4x-3y+30因L和L關(guān)于x軸對稱故L的方程為4x+3y+30.錯因：漏

9、解正解：設(shè)反射光線為L,由于L和L關(guān)于x軸對稱，L過點A(-3，3)，點A關(guān)于x軸的對稱點A(-3，-3)，于是L過A(-3，-3).設(shè)L的斜率為k，則L的方程為y-(-3)kx-(-3)，即kx-y+3k-30，已知圓方程即(x-2)2+(y-2)21，圓心O的坐標為(2，2)，半徑r1因L和已知圓相切，則O到L的距離等于半徑r1即整理得12k2-25k+120解得k或kL的方程為y+3(x+3);或y+3(x+3)。即4x-3y+30或3x-4y-30因L和L關(guān)于x軸對稱故L的方程為4x+3y+30或3x+4y-30.例5求過直線和圓的交點，且滿足下列條件之一的圓的方程：（1） 過原點；（

10、2）有最小面積.解：設(shè)所求圓的方程是： 即：（1）因為圓過原點，所以，即故所求圓的方程為：.（2） 將圓系方程化為標準式，有：當其半徑最小時，圓的面積最小，此時為所求.故滿足條件的圓的方程是.點評：（1）直線和圓相交問題，這里應(yīng)用了曲線系方程，這種解法比較方便；當然也可以待定系數(shù)法。（2）面積最小時即圓半徑最小。也可用幾何意義，即直線與相交弦為直徑時圓面積最小.例6（06年遼寧理科）已知點A()，B()（0）是拋物線上的兩個動點，O是坐標原點，向量滿足.設(shè)圓C的方程為（1）證明線段AB是圓C的直徑；（2）當圓C的圓心到直線的距離的最小值為時，求的值.解：（1）證明，（）2（）2，整理得：00設(shè)

11、M（）是以線段AB為直徑的圓上的任意一點，則0即0整理得：故線段AB是圓C的直徑.（2）設(shè)圓C的圓心為C（），則，又0，0，04所以圓心的軌跡方程為設(shè)圓心C到直線的距離為，則當時，有最小值，由題設(shè)得2.四、典型習(xí)題導(dǎo)練1直線截圓得的劣弧所對的圓心角為 （ ）A. B. C. D.2.已知直線x=a(a0)和圓(x-1)2+y2=4相切 ，那么a的值是( )A.5 B.4 C.3 D.23. 如果實數(shù)x、y滿足等式(x-2)2+y2，則的最大值為： .4.設(shè)正方形ABCD（A、B、C、D順時針排列）的外接圓方程為x2+y2-6x+a=0（a9），C、D點所在直線l的斜率為.（1）求外接圓圓心M點的坐標及正方形對角線AC、BD的斜率；（2）如果在x軸上方的A、B兩點在一條以原點為頂點，以x軸為對稱軸的拋物線上，求此拋物線的方程及直線l的方程；（3）如果ABCD的外接圓半徑為2，在x軸上方的A、B兩點在一條以x軸為對稱軸的拋物線上，求此拋物線的