高二數(shù)學(xué)期末復(fù)習(xí)專題應(yīng)用題答案

1、高二數(shù)學(xué)期末復(fù)習(xí)專題-應(yīng)用題 答案1（2017湘西州模擬）如圖，經(jīng)過村莊A有兩條夾角60°為的公路AB，AC，根據(jù)規(guī)劃擬在兩條公路之間的區(qū)域內(nèi)建一工廠P，分別在兩條公路邊上建兩個倉庫M，N（異于村莊A），要求PM=PN=MN=2（單位：千米）記AMN=（1）將AN，AM用含的關(guān)系式表示出來；（2）如何設(shè)計（即AN，AM為多長時），使得工廠產(chǎn)生的噪聲對居民的影響最小（即工廠與村莊的距離AP最大）？【分析】（1）根據(jù)正弦定理，即可表示出AN，AM；（2）設(shè)AP2=f（），根據(jù)三角函數(shù)的公式，以及輔助角公式即可化簡f（）；根據(jù)三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，即可求出函數(shù)的最值【解答】解：（1）AMN

2、=，在AMN中，由正弦定理得：=所以AN=，AM=（2）AP2=AM2+MP22AMMPcosAMP=sin2（+60°）+4sin（+60°）cos（+60°）=1cos（2+120°）sin（2+120°）+4=sin（2+120°）+cos（2+120°）+=sin（2+150°），（0°，120°）（其中利用誘導(dǎo)公式可知sin（120°）=sin（+60°）當(dāng)且僅當(dāng)2+150°=270°，即=60°時，工廠產(chǎn)生的噪聲對居民的影響最小，此時

3、AN=AM=2故答案為：（1）AN=，AM=（2）AN=AM=2時，工廠產(chǎn)生的噪聲對居民的影響最小【點評】本題主要考查與三角函數(shù)有關(guān)的應(yīng)用問題，利用正弦定理以及三角函數(shù)的三角公式是解決本題的關(guān)鍵2（2017江蘇模擬）如圖，直線l是湖岸線，O是l上一點，弧是以O(shè)為圓心的半圓形棧橋，C為湖岸線l上一觀景亭，現(xiàn)規(guī)劃在湖中建一小島D，同時沿線段CD和DP（點P在半圓形棧橋上且不與點A，B重合）建棧橋，考慮到美觀需要，設(shè)計方案為DP=DC，CDP=60°且圓弧棧橋BP在CDP的內(nèi)部，已知BC=2OB=2（km），設(shè)湖岸BC與直線棧橋CD，DP是圓弧棧橋BP圍成的區(qū)域（圖中陰影部分）的面積為S（

4、km2），BOP=（1）求S關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式；（2）試判斷S是否存在最大值，若存在，求出對應(yīng)的cos的值，若不存在，說明理由【分析】（1）根據(jù)余弦定理和和三角形的面積公式，即可表示函數(shù)關(guān)系式，（2）存在，存在，S=（3cos+3sin1），根據(jù)兩角和差的余弦公式即可求出【解答】解：（1）在COP中，CP2=CO2+OP22OCOPcos=106cos，從而CDP得面積SCDP=CP2=（53cos），又因為COP得面積SCOP=OCOP=sin，所以S=SCDP+SCOPS扇形OBP=（3sin3cos）+，00，cos0=，當(dāng)DP所在的直線與半圓相切時，設(shè)取的最大值為0，此時在COP中，OP

5、=1，OC=3，CPO=30°，CP=6sin0，cos0=，（2）存在，S=（3cos+3sin1），令S=0，得sin（+）=，當(dāng)00，S0，所以當(dāng)=0時，S取得最大值，此時cos（0+）=，cos0=cos（0+）=cos（0+）cos+sin（0+）sin=【點評】本題考查了利用三角形有關(guān)知識解決實際問題，考查了轉(zhuǎn)化思想，解決問題的能力，屬于中檔題3（2017濱?？h校級二模）設(shè)ABC三個內(nèi)角A、B、C所對的邊分別為a，b，c已知C=，acosA=bcosB（1）求角A的大?。唬?）如圖，在ABC的外角ACD內(nèi)取一點P，使得PC=2過點P分別作直線CA、CD的垂線PM、PN，垂

6、足分別是M、N設(shè)PCA=，求PM+PN的最大值及此時的取值【分析】（1）由acosA=bcosB及正弦定理可得sin2A=sin2B，即A=B或A+B=，結(jié)合C=，可求角A的大??；（2）求出PM，PN可得PM+PN=2sin+2sin （+）=3sin+cos=2sin（+），即可求PM+PN的最大值及此時的取值【解答】解：（1）由acosA=bcosB及正弦定理可得sinAcosA=sinBcosB，即sin2A=sin2B，又A（0，），B（0，），所以有A=B或A+B= 3分又因為C=，得A+B=，與A+B=矛盾，所以A=B，因此A= 6分（2）由題設(shè)，得在RtPMC中，PM=PCsin

7、PCM=2sin；在RtPNC中，PN=PCsinPCN=PCsin（PCB）=2sin（+）=2sin （+），（0，）8分所以，PM+PN=2sin+2sin （+）=3sin+cos=2sin（+）12分因為（0，），所以+（，），從而有sin（+）（，1，即2sin（+）（，2于是，當(dāng)+=，即=時，PM+PN取得最大值216分【點評】本題考查三角形中的幾何計算，考查正弦定理，考查三角函數(shù)知識的運用，確定PM+PN是關(guān)鍵4（2016南通模擬）如圖，我市市區(qū)有過市中心O南北走向的解放路，為了解決南徐新城的交通問題，市政府決定修建兩條公路，延伸從市中心O出發(fā)北偏西60°方向的健康路

8、至B點；在市中心正南方解放路上選取A點，在A、B間修建徐新路（1）如果在A點看市中心O和點B視角的正弦值為，求在點B處看市中心O和點A視角的余弦值；（2）如果AOB區(qū)域作為保護區(qū)，已知保護區(qū)的面積為，A點距市中心的距離為3km，求南徐新路的長度；（3）如果設(shè)計要求市中心O到南徐新路AB段的距離為4km，且南徐新路AB最短，請你確定兩點A、B的位置【分析】（1）由題意A0B=，BAO為銳角，sinBAO=，由于；OBA=BAO，故由差角公式求值即可；（2）如圖在三角形AOB中用余弦定理求解即可（3）根據(jù)題設(shè)條件用余弦定理將南徐新路AB的長度表示出來，再結(jié)合基本不等式求最值即可【解答】解：（1）由

9、題可得A0B=，BAO為銳角，sinBAO=，故cosBAO=，cosOBA=cos（BAO）=（2）OA=3，S=OA×OB×sinBOA=OB×3×sin=，OB=5，由余弦定理可得=9+25+15=49，AB=7（3）BA×4=×OA×OB×sinBOA，OA×OB=AB=OA2+OB2+OA×OB3OA×OB=3×AB，AB8，等號成立條件是OA=OB=8答：當(dāng)AB最短時，A，B距離市中心O為8公里【點評】本題考查在實際問題中建立三角函數(shù)的模型，利用三角函數(shù)模型解決實

10、際問題，三角函數(shù)模型是一個非常重要的模型，在實際生活中有著很廣泛的運用5（2017南京一模）如圖，某城市有一條公路正西方AO通過市中心O后轉(zhuǎn)向北偏東角方向的OB，位于該市的某大學(xué)M與市中心O的距離OM=3km，且AOM=，現(xiàn)要修筑一條鐵路L，L在OA上設(shè)一站A，在OB上設(shè)一站B，鐵路在AB部分為直線段，且經(jīng)過大學(xué)M，其中tan=2，cos=，AO=15km（1）求大學(xué)M在站A的距離AM；（2）求鐵路AB段的長AB【分析】（1）在AOM中，利用已知及余弦定理即可解得AM的值；（2）由cos，且為銳角，可求sin，由正弦定理可得sinMAO，結(jié)合tan=2，可求sin，cos，sinABO，sin

11、AOB，結(jié)合AO=15，由正弦定理即可解得AB的值【解答】（本題滿分為12分）解：（1）在AOM中，A0=15，AOM=，且cos=，OM=3，由余弦定理可得：AM2=OA2+OM22OAOMcosAOM=（3）2+1522××15×=72所以可得：AM=6，大學(xué)M在站A的距離AM為6km6分（2）cos，且為銳角，sin=，在AOM中，由正弦定理可得：=，即=，sinMAO=，MAO=，ABO=，tan=2，sin，cos=，sinABO=sin（）=，又AOB=，sinAOB=sin（）=在AOB中，AO=15，由正弦定理可得：=，即，解得AB=30，即鐵路A

12、B段的長AB為30km12分【點評】本題主要考查了正弦定理，余弦定理，同角三角函數(shù)關(guān)系式，誘導(dǎo)公式的應(yīng)用，考查了學(xué)生運用所學(xué)知識解決實際問題的能力，屬于中檔題6（2017江蘇模擬）某校園內(nèi)有一塊三角形綠地AEF（如圖1），其中AE=20m，AF=10m，EAF=，綠地內(nèi)種植有一呈扇形AMN的花卉景觀，扇形AMN的兩邊分別落在AE和AF上，圓弧MN與EF相切于點P（1）求扇形花卉景觀的面積；（2）學(xué)校計劃2017年年整治校園環(huán)境，為美觀起見，設(shè)計在原有綠地基礎(chǔ)上擴建成平行四邊形ABCD（如圖2），其中BAD=，并種植兩塊面積相同的扇形花卉景觀，兩扇形的邊都分別落在平行四邊形ABCD的邊上，圓弧都

13、與BD相切，若扇形的半徑為8m，求平行四邊形ABCD綠地占地面積的最小值【分析】（1）AEF中，由余弦定理可得EF，設(shè)扇形花卉景觀的半徑為r，則由EFr=AEAFsinEAF，得到r，即可求扇形花卉景觀的面積；（2）設(shè)AB=xm，AD=ym，則BD=m，由平行四邊形ABCD的面積得8=xy，求出xy的最小值，即可得出結(jié)論【解答】解：（1）AEF中，由余弦定理可得EF=10m設(shè)扇形花卉景觀的半徑為r，則由EFr=AEAFsinEAF，得到r=m，扇形花卉景觀的面積S=；（2）設(shè)AB=xm，AD=ym，則BD=m，由平行四邊形ABCD的面積得8=xy，=，xy8，即xy256，當(dāng)且僅當(dāng)x=y=16

14、時，xy的最小值為256，平行四邊形ABCD的面積的最小值為128【點評】本題考查基本不等式的運用，考查余弦定理的運用，考查學(xué)生分析解決問題的能力，難度中等7（2017松江區(qū)二模）如圖所示，PAQ是某海灣旅游區(qū)的一角，其中PAQ=120°，為了營造更加優(yōu)美的旅游環(huán)境，旅游區(qū)管委員會決定在直線海岸AP和AQ上分別修建觀光長廊AB和AC，其中AB是寬長廊，造價是800元/米；AC是窄長廊，造價是400元/米；兩段長廊的總造價為120萬元，同時在線段BC上靠近點B的三等分點D處建一個觀光平臺，并建水上直線通道AD（平臺大小忽略不計），水上通道的造價是1000元/米（1）若規(guī)劃在三角形ABC

15、區(qū)域內(nèi)開發(fā)水上游樂項目，要求ABC的面積最大，那么AB和AC的長度分別為多少米？（2）在（1）的條件下，建直線通道AD還需要多少錢？【分析】（1）設(shè)AB=xm，AC=ym，則800x+400y=1200000，即2x+y=3000，表示面積，利用基本不等式，可得結(jié)論；（2）利用向量方法，求出AD，即可得出結(jié)論【解答】解：（1）設(shè)AB=xm，AC=ym，則800x+400y=1200000，即2x+y=3000，SABC=281250m3，當(dāng)且僅當(dāng)2x=y，即x=750m，y=1500m時等號成立，ABC的面積最大，那么AB和AC的長度分別為750米和1500米；（2）在（1）的條件下，=+，=

16、250000，|=500，1000×500=500000元，即建直線通道AD還需要50萬元【點評】本題考查三角形中面積的求法，考查向量知識的運用，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題8（2017南通模擬）如圖，攝影愛好者在某公園A處發(fā)現(xiàn)正前方B處有一根立柱，測得立柱頂端O的仰角和立柱底部B的俯角均為，設(shè)攝影愛好者的眼睛（S）離地面的高度為m（1）求攝影愛好者到立柱的水平距離和立柱的高度；（2）立柱的頂端有一長2米的彩桿MN，繞其中點O在SA與立柱所在的平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)攝影愛好者有一視角范圍為的鏡頭，在彩桿轉(zhuǎn)動的任意時刻，攝影愛好者是否都可以將彩桿全部攝入畫面？說明理由【分析】（1）攝影者眼部

17、記為點S，作SCOB于C，則有CSB=30°，ASB=60°SA=，在RtSAB中，由三角函數(shù)的定義可求AB；再由SC=3，CSO=30°，在RtSCO中由三角函數(shù)的定義可求OC，進而可求OB（2）以O(shè)為原點，以水平方向向右為x軸正方向建立平面直角坐標系設(shè)M（cos，sin），0，2），則N（cos，sin），由（）知S（3，），利用向量的數(shù)量積的坐標表示可求cosMSN，1，結(jié)合余弦函數(shù)的性質(zhì)可求答案【解答】解：（1）如圖，不妨將攝影者眼部記為點S，作SCOB于C，依題意CSB=30°，ASB=60°又SA=，故在RtSAB中，可求得BA=3，即攝影者到立柱的水平距離為3米（3分）由SC=3，CSO=30°，在RtSCO中OC=SCtan30°=，又BC=SA=，故OB