高等數(shù)學(xué)講義汪誠義

1、第三章 一元函數(shù)積分學(xué)§3.1 不定積分（1） 內(nèi)容要點(diǎn)一、 基本概念與性質(zhì)1、 原函數(shù)與不定積分的概念設(shè)函數(shù)f(x)和F(x)在區(qū)間I上有定義，若= f(x)在區(qū)間I上成立。則稱F(x)為f(x)在區(qū)間I的原函數(shù)，f(x)在區(qū)間I中的全體原函數(shù)成為f(x)在區(qū)間I的不定積分，記為。其中稱為積分號，x稱為積分變量，f(x)稱為被積分函數(shù)，f(x)dx稱為被積表達(dá)式。2、 不定積分的性質(zhì)設(shè)F(x)C ,其中F(x)為f(x)的一個原函數(shù)，C為任意常數(shù)。則 (1)F(x)C 或F(x)C (2)= f(x) 或 df(x)dx (3)k (4)=3、原函數(shù)的存在性 設(shè)f(x)在區(qū)間I上連

2、續(xù)，則f(x)在區(qū)間I上原函數(shù)一定存在，但初等函數(shù)的原函數(shù)不一定是初等函數(shù)，例如， ， ，等被積函數(shù)有原函數(shù)，但不能用初等函數(shù)表示，故這些不定積分均稱為積不出來。二、 基本積分表（略）三、 換元積分法和分部積分法1、 第一換元積分法（湊微分法）設(shè)=F(u)+C=F+C 這里要求讀者對常用的微分公式要“倒背如流” ，也就是非常熟練地湊出微分。2、 第二換元積分法設(shè)x可導(dǎo)，且，若 ，則 其中t為x的反函數(shù)。3、 分部積分法 設(shè) u(x)，v(x)均有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，則u(x)v(x)或u(x)v(x)（1）P(x)e，P(x)sinax，P(x)cosax情形，P(x)為n次多項(xiàng)式，a為常數(shù)。要進(jìn)行n

3、次分部積分法，每次均取e，sinax，cosax為；多項(xiàng)式部分為u（x）。（2）P(x)lnx，P(x)arcsinx，P(x)arctanx情形，P(x)為n次多項(xiàng)式取P(x)為，而lnx，arcsinx，arctanx為u（x），用分部積分法一次，被積函數(shù)的形式發(fā)生變化，再考慮其它方法。§3.2 定積分和廣義積分的概念與計(jì)算方法（甲）內(nèi)容要點(diǎn)一、 定積分的概念與性質(zhì)1、 定積分的定義及其幾何意義2、 定積分的性質(zhì)中值定理，設(shè)f（x）在上連續(xù)，則存在使得定義：我們稱為f（x）在上的積分平均值。二、 基本定理1、 變上限積分的函數(shù)定理：設(shè)f（x）在上連續(xù)，則在上可導(dǎo)，且推廣形式，設(shè)，

4、可導(dǎo)，f(x)連續(xù)，則2、 牛頓萊布尼茲公式設(shè) f（x）在上可積，為f（x）在上任意一個原函數(shù)，則有三、定積分的換元積分法和分部積分法1、（x在上有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，單調(diào)，）2、四、廣義積分定積分的積分區(qū)間是有限區(qū)間，又f（x）在上是有界的，如果積分區(qū)間推廣到無窮區(qū)間或f（x）推廣到無界函數(shù)就是兩種不同類型的廣義積分。1、 無窮區(qū)間上的廣義積分定義：若極限存在，則稱廣義積分是收斂的，它的值就是極限值；若極限不存在，則稱廣義積分是發(fā)散的。而發(fā)散的廣義積分沒有值的概念。同樣有收斂和發(fā)散的概念，收斂的廣義積分有值的概念。2、無界函數(shù)的廣義積分（瑕積分）(1)設(shè)f（x）在內(nèi)連續(xù)，且，則稱b為f（x）的瑕點(diǎn)。定

5、義若極限存在，則稱廣義積分收斂，且它的值就是極限值，若極限不存在，則稱廣義積分發(fā)散。發(fā)散的廣義積分沒有值的概念。(2)設(shè)f（x）在內(nèi)連續(xù)，且，則稱a為f（x）的瑕點(diǎn)定義若極限存在，則稱廣義積分收斂，且它的值就是極限值，若極限不存在，則稱廣義積分發(fā)散，它沒有值。（3）設(shè)f（x）在和皆連續(xù)，且，則稱C為f（x）的瑕點(diǎn)定義§3.4 定積分的應(yīng)用（甲）內(nèi)容要點(diǎn)一、平面圖形的面積1直角坐標(biāo)系模型 ，其中 ， 模型 ，其中 ，注：復(fù)雜圖形分割為若干個小圖形，使其中每一個符合模型I或模型加以計(jì)算，然后再相加。2. 極坐標(biāo)系模型 模型 3參數(shù)形式表出的曲線所圍成的面積設(shè) 曲線C的參數(shù)方程 在（或）上有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且不變號，且連續(xù)。則曲邊梯形面積（曲線C與直線xa，xb和x軸所圍成）三、繞坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)體的體積（1）平面圖形由曲線y=f(x) () 與直線xa，x