二次項定理10大典型例題

1、(1)知識點的梳理1 .二項式定理：(a+b)n=C0an+C：anb+C：an-br+C：bn(nwN*),2 .基本概念：二項式展開式：右邊的多項式叫做(a+b)n的二項展開式。二項式系數(shù)：展開式中各項的系數(shù)C：(r=0,1,2,n).項數(shù)：共(r+1)項，是關(guān)于 a 與b的齊次多項式通項：展開式中的第r+1項Cnranbr叫做二項式展開式的通項。用Tr1=Cnranbr表示。3 .注意關(guān)鍵點：項數(shù)：展開式中總共有(n+1)項。順序：注意正確選擇 a,b,其順序不能更改。(2+9”與伽+鏘”是不同的。指數(shù)：a 的指數(shù)從 n 逐項減到0,是降幕排列。b的指數(shù)從0逐項減到n,是開幕排列。各項的

2、次數(shù)和等于 n.系數(shù)：注意正確區(qū)分二項式系數(shù)與項的系數(shù)，二項式系數(shù)依次是C：,Cn,C：,C：,Cnn.項的系數(shù)是 a 與b的系數(shù)(包括二項式系數(shù))。4 .常用的結(jié)論:令a=1,b=x,(1x)n=C：C：xC；x2C：xrC：xn(nN)令a=1,b=x,(1x)n=C：-C：x+C；x2+C；xr+(-1)nC；xn(nN*)5 .性質(zhì)：二項式系數(shù)的對稱性：與首末兩端“對距離”的兩個二項式系數(shù)相等，即C：=C：，C：二項式系數(shù)和：令a=b=1,則二項式系數(shù)的和為+C：+C：+C；+一十C：=2n,變形式C：+C：+一+Cnr+.一+Cnn=2n-1奇數(shù)項的二項式系數(shù)和=偶數(shù)項的二項式系數(shù)和

3、：在二項式定理中，令a=1,b=-1，則C；-C：+Cn2-C；+(-1)nC：=(1-1)n=0,從而得到：Cn+Cn+C；y；十”Cn+C3+C12r由十/M2n=2n2奇數(shù)項的系數(shù)和與偶數(shù)項的系數(shù)和：n0n01n42n2.2.n0n12一.一n(ax)=CnaxCnaxCnaxCnax=a0alxa2xanxn00n八1n八22n-2nn0n21(xa)=CnaxCnaxCnaxCnax=anxa2xa1xa0令x=1,則a。+a+a2+a3+an=(a+1)nd令x=T，貝1Ja0-a1+a2-a3+an=(a1)n+得，a0+a2+a4+an=(a21於*工(奇數(shù)項的系數(shù)和)2-得，

4、a1+a3+a5+an二擔二1(偶數(shù)項的系數(shù)和)2C0二項式系數(shù)的最大項：如果二項式的幕指數(shù) n 是偶數(shù)時，則中間一項的二項式n系數(shù) cn2取得最大值。如果二項式的幕指數(shù) n 是奇數(shù)時，則中間兩項的二項式系數(shù) Cn2,Cn2同時取得最大值。系數(shù)的最大項：求(a+bx)n展開式中最大的項，一般采用待定系數(shù)法。設展開式中各項系數(shù)分別Al-Ar一，為A,&,An書,設第r+1項系數(shù)取大，應有,從而解出 r 來。A1-A2(2)專題總結(jié)題型一：二項式定理的逆用;cn+C；6+C；62+C；6n，解：(1+6)n=C：+C：6+C；62+C；63+C：6n與已知的有一些差距,c1.c2公,C32

5、2.,cn公n111公,C2公2.,cn公n-CnCn6Cn6Cn6：(Cn6Cn6Cn6)611cle(C；C：6C：62C；6n-1)(16)n-1(7n-1)666Cn+3C：+9C；十.一+3nCnn=解：設 Sn=Cn+3C：+9C；+3nJC：,則 3Sn=43+吠 32+C；33+3n=C；+C：3+C；32+C；33+C：3n-1=(1+3)n-1例:練:Sn(13)n-1_4n-1題型二：利用通項公式求xn的系數(shù);例：在二項式（41+37了的展開式中倒數(shù)第3項的系數(shù)為45,求含有X3的項的系數(shù)？解：由條件知 C：/=45,即 C；=45,二n2-n-90=0,解得 n=-9（

6、舍去）或 n=10,由i2io-2InTT=C；0（xZ）10（x3）r=C；oX43,，由題意1+今=3,解得r=6,43則含有X3的項是第7項丁6+=63=210 x3,系數(shù)為210練：求（X2-9展開式中X9的系數(shù)?解：4=C9(x2)9(-2)r=C；x182(-1)”=C9(-1)rx183令18-3r=9,則2x22r=31.21故X9的系數(shù)為也-六二。題型三：利用通項公式求常數(shù)項;例：求二項式（x2+：）10的展開式中的常數(shù)項?2、x1練：求二項式（2x2x-）6的展開式中的常數(shù)項?解：Tr+=C6（2x）23（-1）（工）,=（-1）回26（1），6口，令6-2r=0,得r=3

7、,所2x2以T4=（1）3C；-201練：若（x2+一）n的二項展開式中第5項為常數(shù)項，則n=.x解：T5=Cn4(x2)n-(1 1)4=C4x2nJ2,令2n12=0,得 n=6.x題型四：利用通項公式，再討論而確定有理數(shù)項；例：求二項式(4次)9展開式中的有理項？2L解：Tr+=Cw(x2)10(p)r=C1r0(1)rx蜜，令20-7=0,得r=8,所以T9;對修84525611四27_r解：T=C；(x2)(x3)r=(1)rC9rx6，令三Z,(0ErW9)得r=3或r=9,16所以當r=3時，27=4,T4=(-1)3C93x4=-84x4,6當r=9時，21=3,工0=(_1)

8、3C3=x3。6題型五：奇數(shù)項白二項式系數(shù)和=偶數(shù)項的二項式系數(shù)和；例：若(77-4)n展開式中偶數(shù)項系數(shù)和為-256,求n.Jx解：設(77-二)n展開式中各項系數(shù)依次設為a。,a。，3x2令x=-1,則有a。+a1十a(chǎn)n=0,，令x=1,則有a。a1+a2a3十十(1)nan=2n,將-得：2(3)+a3+a5+)=一 2n,二 a1+a3+a5+=一 2n，有題意得，-2n，=-256=-28,二n=9。練：若(g+g)n的展開式中，所有的奇數(shù)項的系數(shù)和為1024,求它的中間項。解：:C0+C；+C：比:+=C：+C；+C：f+=2n，,二 2n，=1024,解得n=11所以中間兩個項分

9、別為n=6,n=7,T5.1=C；(31)6(512)5=462_61T61=462x彳5題型六：最大系數(shù)，最大項；一，1例：已知（,+2x）n,若展開式中第5項，第6項與第7項的二項式系數(shù)成等差數(shù)歹 I，求展開式中二項式系數(shù)最大項的系數(shù)是多少？解：:C：+C；=2C；.n221n+98=0，解出n=7或n=14,當n=7時，展開式中二項式系數(shù)最大的項是T4和T5.T：的系數(shù)=C3（g）423=35,1。，T5的系數(shù)=C7：（2）324=70，當n=14時，展開式中二項式系數(shù)最大的項是丁8,177二丁8的系數(shù)=C；4（）727=343202練：在（a+b）2n的展開式中，二項式系數(shù)最大的項是多

10、少？解：二項式的幕指數(shù)是偶數(shù)2n,則中間一項的二項式系數(shù)最大，即T2n=Tn書,-1也就是第n+1項。練：在（xJ）n的展開式中，只有第5項的二項式最大，則展開式中的常數(shù)項23x是多少？解：只有第5項的二項式最大，則n+1=5,即n=8,所以展開式中常數(shù)項為第七項等于C；（l）2=72練：寫出在（a-b）7的展開式中，系數(shù)最大的項？系數(shù)最小的項？解：因為二項式的幕指數(shù)7是奇數(shù)，所以中間兩項（第 4,5 項）的二項式系數(shù)相等,且同時取得最大值，從而有T4=-C3a4b3的系數(shù)最小，T5=C；a3b4系數(shù)最大。練：若展開式前三項的二項式系數(shù)和等于79,求（十2x）n的展開式中系數(shù)最大2的項？11解

11、：由 C0+C：+C：=79，解出n=12j貿(mào)設丁.書項最大，:（1+2x）=（-）（1+4x）A-Ar!Ar1-Ar2C；24r-C4r，C；24r-。74r1,化簡得至U9.4r10.4,又丁0ErE12,1.,展開式中系數(shù)最大的項為 T”,有品，）1210/練：在（1+2x）10的展開式中系數(shù)最大的項是多少?解：假設 T4 項最大.=C；02rxrII A Ar”A ArC；02 2r母：2 2二解得 0 01111TMTM，化簡得到Ar1-Ar.2|C；02r_C1012r1,r1.2(10-r)6.3k7.3,又T0WrE10,二r=7,展開式中系數(shù)最大的項為%=C：027x7=15

12、360 x7.題型七：含有三項變兩項；例：求當（x2+3x+2）5的展開式中 x 的一次項的系數(shù)?解法：(x2+3x+2)5=(x2+2)+3x5,Tf=C5r(x2+2)(3x)，當且僅當r=1時，書的展開式中才有 x 的一次項，止匕時 TT=T2=C5（X2+2）43X,所以 x 得一次項為C；C：243x它的系數(shù)為C5C：243=240。解法：2555_05_14_5_05_14_5_5(x23x2)5=(x1)5(x2)5=(Cx5C5x4C；)(C；x5C5x42C；25)故展開式中含 x 的項為 c4xC；25+C；x24=240 x,故展開式中 x 的系數(shù)為 240.6-2r/口

13、,得62r=0,r=3,T31)(-1)3C；-20.題型八：兩個二項式相乘;練：求式子（x2）3的常數(shù)項?-1-2x26,設第r+1項為常數(shù)項，則_r,.rTr+=C6(T)x6r1r6-r(n)=(-1)C6x例：求(1+2x)3(1x)4展開式中 x2的系數(shù).解：:(1+2x)3的展開式的通項是 0(2x)m=C3n2m.xm,(1x)4的展開式的通項是 C4(x)n=C4-1n，xn,其中 m=0,1,2,3,n=0,1,2,3,4,令 m+n=2,則 m=0 且 n=2,m=1 且 n=1,m=2 且 n=0,因止匕(1+2x)3(1-x)4的展開式中 x2的系數(shù)等于 C；2C2,(-1)2+C；2104G1)1+C322C(-1)0=-6求（1+狼）6（1+J）10展開式中的常數(shù)項.xmn4m-3n(1+次)6(1+J)10展開式的通項為 C6mxC1n0 x?=C6n01n0，x124xm=0m=3-m=6其中 m=0,1,2,6,n=0,1,2,10，當且僅當 4m=3n,即/或或n-0,n=4,n-8,時得展開式中的常數(shù)項為 CC100-CC4C：C80=4246.練：21n.已知（