實變函數(shù)第五章復習題及解答

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上實變函數(shù)第五章 復習題一、判斷題1、設(shè)是定義在上的實函數(shù)，由于總存在，所以一定是上的有界變差函數(shù)。（× ）2、設(shè)是定義在上的實函數(shù)，是上的有界變差函數(shù)。（ ）3、設(shè)是上的單調(diào)函數(shù)，則一定是上的有界變差函數(shù)。（ ）4、設(shè)是上的有界變差函數(shù)，則既可表示成兩個遞減函數(shù)的差，也可表示成兩個遞增函數(shù)的差。（ ）5、有界變差函數(shù)一定是幾乎處處連續(xù)的函數(shù)，也一定是幾乎處處可微的函數(shù)。（ ）6、設(shè)是定義在上的實函數(shù)，則。（ ）7、設(shè)，則是上的有界變差函數(shù)的充要條件是既是上的有界變差函數(shù)，也是上的有界變差函數(shù)。（ ）8、若是上的絕對連續(xù)函數(shù)，則既是上的一致連續(xù)函數(shù)，也是是上的

2、連續(xù)函數(shù)。（ ）9、若是上的絕對連續(xù)函數(shù)，則一定是上的有界變差函數(shù)。（ ）10、若是上的有界變差函數(shù)，則一定是上的絕對連續(xù)函數(shù)。（× ）11、若是上的絕對連續(xù)函數(shù)，是上的絕對連續(xù)函數(shù)，則，都是上的絕對連續(xù)函數(shù)。（ ）12、若是上的絕對連續(xù)函數(shù)，則在上勒貝格可積。（ ）二、填空題1、敘述有界變差函數(shù)的Jordan分解定理 閉區(qū)間上的有界變差函數(shù)必可分解成兩個單調(diào)遞增函數(shù)的差或兩個單調(diào)遞減函數(shù)的差 。2、若在上單調(diào)遞增，則 小于或等于 。3、若是上的絕對連續(xù)函數(shù)，則 等于 。三、證明題1、若是上的單調(diào)函數(shù)，則是上的有界變差函數(shù)，且。證明：不妨設(shè)是上的單調(diào)增函數(shù)，任取的一個分割則 ，所以，

3、。2、若在上滿足：存在正常數(shù)，使得對任意，都有，則 （1）是上的有界變差函數(shù)，且； （2）是上的絕對連續(xù)函數(shù)。證明：（1）由題設(shè)，任取的一個分割則 ，所以，是上的有界變差函數(shù)，且。（2）在內(nèi)，任取有限個互不相交的開區(qū)間，。由于，于是，對任意，取，則當時，有，即是上的絕對連續(xù)函數(shù)。3、若是上的絕對連續(xù)函數(shù)，則是上的有界變差函數(shù)。證明：由是上的絕對連續(xù)函數(shù)，取，存在，對任意有限個互不相交的開區(qū)間，只要時，有?，F(xiàn)將等分，記分點為，使得每一等份的長度小于。易得，即是上的有界變差函數(shù)。又，所以，即是上的有界變差函數(shù)。4、若是上的有界變差函數(shù)，則（1）全變差函數(shù)是上的遞增函數(shù)；（2）也是上的遞增函數(shù)。證明：（1）對任意，注意到，有，即是上的遞增函數(shù)。（2）對任意，注意到，有 ，即是上的遞增函數(shù)。5、證明Jordan分解定理：是上的有界變差函數(shù)可表示成上的兩個增