知識講解_《集合》全章復習與鞏固

1、集合全章復習鞏固【學習目標】1 .理解集合之間包含與相等的含義，能識別給定集合的子集;2 .理解兩個集合的并集與交集的含義，會求兩個簡單集合的并集與交集;3 .理解在給定集合中一個子集的補集的含義，會求給定子集的補集;4 .能使用Venn圖表達集合的關(guān)系及運算，體會直觀圖示對理解抽象概念的作用要點一：集合的基本概念1 .集合的概念一般地，我們把研究對象統(tǒng)稱為元素，如 110內(nèi)的所有質(zhì)數(shù)，包括 2要研究的對象，它是其中的一個元素，把一些元素組成的總體叫做集合，如上述一個集合。2 .元素與集合的關(guān)系(1)屬于：如果a是集合A的元素，就說a屬于A,記作a Ao要注意A顛倒過來寫.(2)不屬于：如果a

2、不是集合A的元素，就說a不屬于集合A,記作a5, 7,則3是我們所2, 3, 5, 7就組成了七”的方向，不能把a eAo3 .集合中元素的特征(1)確定性：集合中的元素必須是確定的。 任何一個對象都能明確判斷出它是否為某個集合的元素;(2)互異性：集合中的任意兩個元素都是不同的，也就是同一個元素在集合中不能重復出現(xiàn)。(3)無序性：集合與組成它的元素的順序無關(guān)。如集合 1 , 2, 3與3, 1, 2是同一個集合。4 .集合的分類集合可根據(jù)它含有的元素個數(shù)的多少分為兩類：有限集：含有有限個元素的集合。無限集：含有無限個元素的集合。要點詮釋：把不含有任何元素的集合叫做空集，記作,空集歸入有限集。

3、要點二：集合間的關(guān)系1. （1）子集：對于兩個集合 叫做集合B的子集，記作AA與B,如果集合A的任何一個元素都是集合B的元素，那么集合 AB,對于任何集合A規(guī)定Ao（2）如果A是集合B的子集，并且B中至少有一個元素不屬于A,那么集合A叫做集合B的真子集，記做7.兩個集合之間的關(guān)系如下:A/B其中記號AR BITI（或BA）表示集合A不包含于集合B （或集合B不包含集合A）。 T2.子集具有以下性質(zhì):(1)(2)(3)A A,即任何一個集合都是它本身的子集。如果如果A=B。A C。(4)如果B*C,那么A%C。3.包含的定義也可以表述成：如果由任一 xCA,可以推出xC B,那么A B （或B

4、不包含的定義也可以表述成：兩個集合 A與B,如果集合A中存在至少一個元素不是集合II素，那么Ai! B （或bJ A）。4.有限集合的子集個數(shù):(1)(2)(3)(4)n個元素的集合有 n個元素的集合有 n個元素的集合有 n個元素的集合有2n個子集。2n1個真子集。2n1個非空子集。2n2個非空真子集。要點詮釋：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.換言之，任何集合至少有一個子集.要點三：集合的基本運算1 .用定義求兩個集合的交集與并集時，要注意 兩者都有的意思，在使用時不要混淆。2 .用維恩圖表示交集與并集。已知集合A與B,用陰影部分表示 AAB ,或“且”的意義，或”是兩個皆可的意

5、思,AU B,如下圖所示。A）。B的元且”是3.關(guān)于交集、并集的有關(guān)性質(zhì)及結(jié)論歸結(jié)如下：(1) AnA=A , An = , An B=(BnA) A (或 B);A U A=A , AU =A , A U B=(B UA) A (或 B)。 A。A) ； aJ(Ua)U。(3)德摩根定律：(Qa)(Ub) (U(a|Jb) ；(Qa)U(Gb)G(ab)。；(4) ApB A AB; aJb ABA。4 .全集與補集(1)它們是相互依存不可分離的兩個概念。把我們所研究的各個集合的全部元素看成是一個集合，則稱之為全集。而補集則是在 A U時，由所有不屬于 A但屬于U的元素組成的集合，記作 Qa

6、。數(shù)學表達式：若 A U ,則U中子集A的補集為a x|x U且x A)。(2)補集與全集的性質(zhì)(a) a A U , a U。Ku , 1 u。5 .空集的性質(zhì)卜硝空集的特殊屬性，即空集雖空，但空有所用。對任意集合A,有a|J A； Ao【典型例題】類型一：集合的含義與表示6 1.選擇恰當?shù)姆椒ū硎鞠铝屑稀?1) “mathematics中字母構(gòu)成的集合； 2(2)不等式x2 1 0的解集；(3)函數(shù)y 6 4的自變量的取值范圍。【思路點撥】集合的表示有兩種形式，我們必須了解每種方法的特點，選擇最佳的表達形式。【解析】(1) m,a,t, h,ei,c,s ；獴住心底學；專口一題禺中教學，

7、一、. 2 ，一 x|x 1 0或(3) x | y xx 4 或 x|x 0【總結(jié)升華】正確選擇、運用列舉法或描述法表示集合，關(guān)鍵是確定集合中的元素。然后根據(jù)元素的數(shù)量和特性來選用恰當?shù)谋硎拘问?。舉一反三：x【變式1】將集合 (x, y)| 2xA.2 , 3B. (2, 3) 【答案】By 5”表示成列舉法，正確的是（）y 1【變式2】已知集合A x, yx,y為實數(shù)，且x2 y2 1 , Bx, y x, y為實數(shù),且y x ,則A B的元素個數(shù)為A. 0B . 1C . 2【答案】C例2.若含有三個元素的集合可表示為a,b,1a值?！舅悸伏c撥】由集合中元素的確定性和互異性可解得?！敬鸢?/p>

8、】1【解析】( )D. 322009, 2009 ,也可以表不為a ,a b,0 ,求a b 的C.x=2 , y=3 D. （2, 3）由a,b,1 ,可得a 1且a 0, aa2 1,則有a a b,或a b 1,a2 a, 解得0.1,或a 0,（舍去）2009 , 2009,故ab1【總結(jié)升華】利用集合中元素特性來解題，既要用元素的確定性，又要利用互異性檢驗解的正確與否， 初學者在解題時容易忽視元素的互異性。必須在學習中高度重視。 另外，本類問題往往涉及分類討論的12, 2a2 5a,且一3 £A,求 a 的數(shù)學思想?！咀兪?】（2015秋 安徽省無為縣期末）已知集合 A=a

9、-2值.獴住心底學；?？谝活}禺中教學,3【答案】a 32【解析】一 3c A,2 . a2=3，或 2a 5a 3,一.3得：a=1，或 a -,2檢驗知：a=-l不滿足集合元素的互異性，3a 一.2例3.已知集合A x|mx2 2x 3 0,m R(1)若A是空集，求m的取值范圍。(2)若A中只有一個元素，求 m的值。(3)若A中至多只有一個元素，求 m的取值范圍。111 .【答案】(1) m - (2) 0, 一(3) m 一或者 m=0333【解析】3(1)當m 0時，xA不為空集，則 m 0不滿足題意。2當廿0時，若A為空集，則一元二次方程2mx 2x 3 0實數(shù)范圍內(nèi)無解,r1即 4

10、 12m 0,m 1。3,1綜上若A為空集，則m 1。3(2)由集合A中只含有一個元素可得，方程mx2 2x 3 0有一解，由于本方程并沒有注明是個二次方程，故也可以是一次方程，應分類討論：當m 0時，可得是一次方程，故滿足題意 .當mo時，則為一元二次方程，所以有一根的含義是該方程有兩個相等的實根，即判別式為0時m1 1的值，可求得為 m - .故m的取值為0,-.33(3) . A中元素至多只有一個，有以下兩種情況存在：集合A是空集；集合 A是只有一個元素.1綜合(1)(2)知，若A中兀素至多只有一個，m -或者m=0.3【總結(jié)升華】 集合A是方程mx2-2x+3=0在實數(shù)范圍內(nèi)的解集，所

11、以本題實際上是討論方 程mx2-2x+3=0解的個數(shù)問題。類型二：集合的基本關(guān)系例4.設集合A=x | K x< 3B=x I x- a> 0若A,B,則a的取值范圍是 【思路點撥】 此題考查判斷兩個集合的包含關(guān)系。由于題中所給集合為含不等式的描述法形式, 可以借助數(shù)軸進行直觀的分析?！窘馕觥緼 B=x I x>a,利用數(shù)軸作圖如下:B緞恒心點號：殺口一愚由甲款單I ，I 一 a a x 由此可知：a< lo【總結(jié)升華】 要確定一個集合的方法之一是：明確集合中元素的范圍及其滿足的性質(zhì)，借助Venn圖來分析，直觀性強。集合是由元素構(gòu)成的，要確定一個集合的方法之二是：把集合

12、中的元素一一找出 來，用列舉法表示。要確定一個集合的方法之三是：明確集合中元素的范圍及其滿足的性質(zhì)。用特征性質(zhì)描述法表示的集合，可借助數(shù)軸來分析，直觀性強。舉一反三：【變式1】已知集合A=x | x>l或xv1, B=x | 2avxva+1,若B A,求a的取值范圍?！窘馕觥?1)當B是空集，需要 2a>a+1得到a>l(2)當B不是空集且 B的上限小于等于-1,即a<1且a+141,得到a42(3)當B不是空集且B的下限大于等于1,即av 1且2a得到1/2 w抵1綜上，aV2或a>1/2【變式2】若集合B=1 , 2, 3, 4, 5, C=小于10的正奇數(shù)

13、,且集合A滿足A B, A C,則集合A的個數(shù)是【思路點撥】由題設，C=1 , 3, 5, 7, 9。因為 A B, AC,可用Venn圖發(fā)現(xiàn)集合B與C的公共元素為1, 3, 5,則集合A可能含有1, 3, 5三個數(shù)中的 的個數(shù)即為1, 3, 5的子集的個數(shù)?！窘馕觥坑梢阎?Venn圖。個，1個，2個，或3個。故集合A1 , 3, 5的子集中含。個元素的有 1,3, 5的子集中含1個元素的有 1 , 3, 5的子集中含2個元素的有 1 , 3, 5的子集中含3個元素的有1個：；3 個：1 , 3 , 5;3 個：1 , 3, 1 , 5, 3, 5;1 個：1 , 3, 5。1+3+3+1=

14、8 個。由上述分析知集合 A的個數(shù)為1,3, 5的子集的個數(shù):例5. (2017春華安縣期末)集合 A2一，一一入一一一一 一x x 3x 10 0 ,集合 B=x|m+2 wxW2m1.(1)若B?A,求實數(shù)m的取值范圍；(2)當xCR時，沒有元素x使x C A與xC B同時成立，求實數(shù) m的取值范圍.【思路點撥】(1)根據(jù)題意，對于 B?A,分2種情況討論：、當 m+2>2m-1即mv3時，B=?,、當m+2c2m-1即m>3時，要使B?A成立，則 m 22,分別求出m的范圍，綜合可得答案；2m 1 5(2)根據(jù)題意，求出集合 A,分2種情況討論：若 B=?,即m+2>2

15、m-1,若B豐？則要滿足條,m 2 2m 1 m 2 2m 1件或，分別求出m的范圍，綜合可得答案.m 2 5 2m 1 2【答案】(1) me 3; (2) m|mw3.【解析】(1)根據(jù)題意，分2種情況討論：當 m+2>2m1 即 m<3 時，B=?滿足 B?A;當m+發(fā)2m1即m>3時，要使B?A成立，則 m 22m 1綜上所述，當m<3時有B?A.(2)因為 xCR,且 A=x| 2WxW5 B=x|m+2WxW2m_ 1, 又沒有元素x使xCA與xC B同時成立，則若B=?,即m+2>2m- 1,得mv3時滿足條件；若Bw?,則要滿足條件m 2 2m 1

16、 m 2 2m 1或m 2 5 2m 1 2解得m>3或無解.綜上所述，實數(shù) m的取值范圍為m|mw 3.B? A時需要討論B是否為空集.【總結(jié)升華】考查集合的包含關(guān)系的應用，注意舉一反三：【變式】已知集合Ax x2 3x 2 0 ,B x ax 1 0 .(1)若a 2,求a|Jb ； (2)若B A ,求實數(shù)a的取值所組成的集合 C . 【答案】詳見解析【解析】(1)由題意，A 1,2八-1當a 2時，B21 A B ,1,22(2)由題意，B A.當 B時，a 0，一 ,，1當B時，a 1,21c 0,1,2類型三：集合的基本運算例6.已知全集 U=R,集合M=x| -2<x

17、- 1W2加N=x|x=2k -1, k=1 , 2,的關(guān)系的韋恩 (Venn) 圖如下圖所示，則陰影部分所示的集合的元素區(qū)有()A.3個 B.2個C. 1個 D.無窮多個【答案】B【變式1】已知全集U=R,則正確表示集合 M= 1, 0, 1和N= xx2【解析】二,陰影部分為 MT N=x| -2<x- 1W2 Ax|x=2k k=1 , 2,=穆,3室x短13解X|妲2k-1, k=1, 2, =1，3, 陰影部分所示的集合的元素區(qū)有2個，故選B項.【總結(jié)升華】具體集合(給出或可以求得元素的集合)的交、并、補運算，以及集合間關(guān)系的判定、子集的個數(shù)問題是每年高考重點考查的對象，因而也

18、是高考命題的熱點.舉一反三：x 0關(guān)系的韋恩圖是【變式2】設全集為R, A x|3x7,B x|2x10,求(a|Jb)及rA p B.【答案】R(aJb)= x|x 縱x 10； rA pB= x|2 x 3或7 x 10，且 An c二例 7.若集合 A=x | x2ax+a219=0,B=2 , 3 , C=2 , 4,滿足 APB 2則實數(shù)a的值是。【思路點撥】由題設，AAB且AH C= 知，2, 3與集合A的關(guān)系，再進行解答?！窘馕觥坑梢阎?CA, 2 A ,貝 U 323a+s2-19=0,即 a=5 或 a=2。當a=5時，A=2 , 3,與題意矛盾；當a=-2時，A=-5 ,

19、 3,符合題意。由上述分析知a=-2?！究偨Y(jié)升華】 集合是由元素構(gòu)成的，要確定一個集合首先明確集合中元素的范圍及其滿足的性質(zhì), 再把集合中的元素一一找出來。例8. (2016春 江西省撫州期末)已知集合A xx2 2x 8 0 ,-2 ，一、一B x x (2m 3)x m(m 3) 0 ,m R .(1)若AAB=2, 4,求實數(shù) m的值；(2)設全集為R,若A (b),求實數(shù)m的取值范圍.【思路點撥】(1)根據(jù)所給的兩個集合的不等式，寫出兩個集合對應的最簡形式，根據(jù)兩個集合的 交集，看出兩個集合的端點之間的關(guān)系，求出結(jié)果.(2)設全集為R,若A (1b),求實數(shù)m的取值范圍.【答案】【解析】(1)由已知得A x x2 2x 8 0 =2, 4,Bx x2 (2m 3)x m(m 3) 0 ,m R =m- 3, m.轂體祗北號:每日一高中餐單m 3 2. AnB=2, 4, ,m=5.m 4B=m-3, m, . b ( ,m 3)J(m,).A Qb),m 3>4 或 m< 2.m>7 或 m< 2.1. m